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高考数学高频易错押题预测 空间向量及其运算
一．选择题（共8小题）
1．（2025 深圳一模）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，则＝（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024 高碑店市校级模拟）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A． B．
C．（﹣2，4，4） D．
3．（2024 新郑市校级二模）如图，M为四面体OABC的棱BC的中点，N为OM的中点，点P在线段AN上，且AP＝2PN，设，，，则＝（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024 龙岗区校级模拟）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A． B．（2，﹣1，2）
C． D．（1，﹣2，1）
5．（2024 襄城区校级模拟）已知直线l过点A（1，﹣1，﹣1），且方向向量为，则点P（1，1，1）到l的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024 嘉定区校级模拟）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OC上，且，N为AB的中点，则＝（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024 昌黎县校级模拟）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体ABCD中，则＝（　　）
A． B．4 C． D．
8．（2024 番禺区校级二模）已知空间向量，，，cos＜＞＝，则||＝（　　）
A．3 B． C． D．21
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 朝阳区校级模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1边长为2，动点M满足（x≥0，y≥0，z≥0），则下列说法正确的是（　　）
A．当时，则直线AM⊥平面A1BD
B．当时，B1M+MD的最小值为
C．当x+y＝1，z∈[0，1]时，AM的取值范围为
D．当x+y+z＝1，且时，则点M的轨迹长度为
（多选）10．（2024 烟台模拟）已知空间向量，，则（　　）
A．
B．在上的投影向量为（0，2，﹣1）
C．若向量，则点E在平面ABC内
D．向量是与平行的一个单位向量
（多选）11．（2024 民乐县校级一模）下列命题错误的是（　　）
A．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若，其中x，y，z∈R且x+y+z＝1，则P，A，B，C四点共面
B．已知，，与的夹角为钝角，则d的取值范围是d＜1
C．若，共线，则
D．若，共线，则一定存在实数λ使得
（多选）12．（2024 淄博模拟）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三．填空题（共5小题）
13．（2025 河南一模）在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F为线段BD1的三等分点（E在B，F之间），一动点P满足PF＝2PE，则的取值范围是 　 　．
14．（2024 故城县校级模拟）已知向量，，，若，，三个向量共面，则λ＝　 　．
15．（2024 金山区校级三模）已知空间向量＝（2，1，2），＝（1，1，﹣1），则在上的投影向量的坐标是 　 　．
16．（2024 东湖区校级三模）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是　 　．
17．（2024 黄浦区校级三模）已知空间向量，，共面，则实数m＝　 　．
四．解答题（共3小题）
18．（2016 静安区二模）设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点．如图，以C为坐标原点，射线CD、CB、CC1分别是x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系
（1）求向量与的数量积；
（2）若点M，N分别是线段D1E与线段C1F上的点，问是否存在直线MN，MN⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2016 南通模拟）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD＝1，D1D＝λ（λ＞0），若棱C1C上存在唯一的一点P满足A1P⊥PB，求实数λ的值．
20．（2008 南汇区二模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝a，∠BCA＝90°，AA1＝2a，M，N分别是A1B1、AA1的中点．
（I）求BN的长；
（II）求BA1，CB1夹角的余弦值．
高考数学高频易错押题预测 空间向量及其运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 深圳一模）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，则＝（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量及其线性运算．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理可得答案．
【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，
．
故选：B．
【点评】本题考查空间向量基本定理，属基础题．
2．（2024 高碑店市校级模拟）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A． B．
C．（﹣2，4，4） D．
【考点】空间向量的投影向量与投影．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据已知求出，即可根据投影向量的定义求出答案．
【解答】解：因为，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为：．
故选：B．
【点评】本题考查空间向量的数量积和投影向量，属于基础题．
3．（2024 新郑市校级二模）如图，M为四面体OABC的棱BC的中点，N为OM的中点，点P在线段AN上，且AP＝2PN，设，，，则＝（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量及其线性运算；空间向量的共线与共面．
【专题】数形结合；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据空间向量的基本定理求解．
【解答】解：由题意，＝+＝+＝+（﹣）＝+＝+＝+×（+）＝++．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的应用，属于基础题．
4．（2024 龙岗区校级模拟）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（　　）
A． B．（2，﹣1，2）
C． D．（1，﹣2，1）
【考点】空间向量的投影向量与投影．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据投影向量的求解公式计算即可．
【解答】解：，，
故向量在向量上的投影向量是：＝＝（）．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量条件下投影向量的计算，属于中档题．
5．（2024 襄城区校级模拟）已知直线l过点A（1，﹣1，﹣1），且方向向量为，则点P（1，1，1）到l的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；点、线、面间的距离计算．
【专题】计算题；整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】利用空间中点到直线的距离公式求解．
【解答】解：∵点A（1，﹣1，﹣1），点P（1，1，1）∴＝（0，2，2），
∴||＝＝2，
又∵直线l的方向向量为，
∴点P（1，1，1）到l的距离d＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查了空间中点到直线的距离公式，属于基础题．
6．（2024 嘉定区校级模拟）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OC上，且，N为AB的中点，则＝（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量的数乘及线性运算．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解．
【解答】解：，N为AB的中点，，，，
则
＝
＝
＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量的线性运算，是基础题．
7．（2024 昌黎县校级模拟）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体ABCD中，则＝（　　）
A． B．4 C． D．
【考点】空间向量及其线性运算；平面向量的概念与平面向量的模．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题中条件确定，设底面△ABD的中心为O，则CO⊥平面ABD，可求得，又的方向与相同，代入计算可得答案．
【解答】解：由题意，，
设底面△ABD的中心为O，连接CO，AO，
则OC⊥平面ABD，又AO，AB，AD 平面ABD，
故OC⊥AO，OC⊥AB，OC⊥AD，
则，
，
在△ACO中，，
则，
又的方向与相同，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量及其运算，考查三角形中的几何计算，属中档题．
8．（2024 番禺区校级二模）已知空间向量，，，cos＜＞＝，则||＝（　　）
A．3 B． C． D．21
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据空间向量数量积的性质及运算即可求解．
【解答】解：由，可得，
由，，cos＜＞＝，
可得
＝
＝．
故选：C．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，属基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 朝阳区校级模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1边长为2，动点M满足（x≥0，y≥0，z≥0），则下列说法正确的是（　　）
A．当时，则直线AM⊥平面A1BD
B．当时，B1M+MD的最小值为
C．当x+y＝1，z∈[0，1]时，AM的取值范围为
D．当x+y+z＝1，且时，则点M的轨迹长度为
【考点】空间向量及其线性运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．
【答案】BC
【分析】由时，得到M为CC1的中点，可判定A错误；在DC上取点K，得到求得M点在HK上，将平面B1HKC1与平面AHKD沿着HK展开到同一平面内，可判定B正确；证得AC⊥平面BDD1B1，求得AM的最大值与最小值，可判定C正确；求得点M的轨迹在△A1BD内，根据题意得到M点轨迹是以P为圆心，为半径的圆的一部分，且，可判定D错误．
【解答】解：对于A中，由于时，则，此时M为CC1的中点，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AC1⊥平面A1BD，所以直线AM不会垂直平面A1BD，所以A错误；
对于B中，在AB上取点H，使，在DC上取点K，使，
因为，即，可得M点在HK上，
将平面B1HKC1与平面AHKD沿着HK展开到同一平面内，如图（1）（2）所示，
连接B1D交HK于P，此时B，P，D三点共线，B1M+MD取到最小值即B1D的长，
由于，所以，则，
所以，所以，
即此时B1M+MD的最小值为，所以B正确；
对于C中，当x+y＝1，z∈[0，1]时，可得点M的轨迹在平面BDD1B1内（包括边界），
在正方形ABCD中，可得AC⊥BD，
因为BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以AC⊥BB1，
又因为BD∩BB1＝B，且BD，BB1 平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1，
所以，又由，
所以AM的取值范围为，所以C正确；
对于D中，当x+y+z＝1时，可得点M的轨迹在△A1BD内（包括边界），
由于CC1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，可得CC1⊥BD，
又因为BD⊥AC，AC∩CC1＝C，AC，CC1 平面ACC1，故BD⊥平面ACC1，
因为AC1 平面ACC1，可得BD⊥AC1，同理可证A1B⊥AC1，
又因为A1B∩BD＝B，A1B，BD 平面A1BD，所以AC1⊥平面A1BD，
设AC1与平面A1BD交于点P，由于，
△A1BD为边长为的正三角形，则点A到平面A1BD的距离为，
若，则，即M点落在以P为圆心，为半径的圆上，
此时P点到△A1BD三边的距离均为，
即M点轨迹是以P为圆心，为半径的圆的一部分，
又由，其轨迹长度为3倍的弧长，所以D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查的知识点：正方体的性质，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）10．（2024 烟台模拟）已知空间向量，，则（　　）
A．
B．在上的投影向量为（0，2，﹣1）
C．若向量，则点E在平面ABC内
D．向量是与平行的一个单位向量
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】进行向量坐标的数量积运算即可判断A的正误；
根据投影向量的计算公式即可判断B的正误；
根据共面向量基本定理判断，是否共面，从而判断C的正误；
根据共线向量基本定理及单位向量的定义即可判断D的正误．
【解答】解：∵，∴，A正确；
＝（1，4，3） （0，2，﹣1）＝5，∴在上的投影向量为：＝，B正确；
若，即（1，0，6）＝x（1，2，4）+y（0，﹣2，1），∴，方程组无解，∴不共面，点E不在平面ABC内，C错误；
向量是单位向量，且，∴向量是与平行的一个单位向量，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，向量加法的几何意义，共面和共线向量基本定理，单位向量的定义，是基础题．
（多选）11．（2024 民乐县校级一模）下列命题错误的是（　　）
A．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若，其中x，y，z∈R且x+y+z＝1，则P，A，B，C四点共面
B．已知，，与的夹角为钝角，则d的取值范围是d＜1
C．若，共线，则
D．若，共线，则一定存在实数λ使得
【考点】空间向量及其线性运算；空间向量的共线与共面；数量积表示两个平面向量的夹角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】BCD
【分析】直接利用向量共线的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角运算判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：由于，其中x，y，z∈R且x+y+z＝1，则，
整理得：，故，所以P，A，B，C四点共面，故A正确；
对于B：由于，，与的夹角为钝角，故d﹣1＜0，且d≠﹣1，故d的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1），故B错误；
对于C：若，共线且方向相反时，则，故C错误；
对于D：若，共线，则一定存在实数λ使得（），故D错误．
故选：BCD．
【点评】本题考查的知识点：向量共线的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）12．（2024 淄博模拟）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量及其线性运算．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】由题意可知，＝＝＝＝，再利用空间向量的线性运算和数量积运算逐个判断各个选项即可．
【解答】解：由题意可知，＝＝＝＝，
对于A，＝＝+＝＝﹣﹣，故A正确；
对于B，又因为＝＝，
所以＝（﹣﹣） （）＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣＝0，
所以＜，＞＝，故B错误；
对于C，＝＝﹣＝﹣，故C错误；
对于D，＝ （﹣）＝﹣＝1，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算进而数量积运算，属于基础题．
三．填空题（共5小题）
13．（2025 河南一模）在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F为线段BD1的三等分点（E在B，F之间），一动点P满足PF＝2PE，则的取值范围是 　　．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用．
【答案】．
【分析】建立空间直角坐标系，根据空间间距离公式分析可知点P的轨迹为以为圆心，半径的球，根据数量积可得，结合球的性质可得PO的范围即可得结果．
【解答】解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则E（2，2，1），F（1，1，2），设P（x，y，z），
因为PF＝2PE，则，
整理可得，
可知点P的轨迹为以为球心，半径的球，
取AA1，CC1的中点分别为M，N，
则M，N的中点为，
又因为，则H在球外，
则OH﹣R≤PO≤OH+R，即，
则，
可得
＝
＝，
所以的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量数量积的运算，考查球体性质，属中档题．
14．（2024 故城县校级模拟）已知向量，，，若，，三个向量共面，则λ＝　﹣4　．
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】﹣4．
【分析】根据向量共面定理求解．
【解答】解：由题意，设，
即（3，5，λ）＝m（3，﹣2，1）+n（﹣1，3，﹣2）＝（3m﹣n，﹣2m+3n，m﹣2n），
所以解得m＝2，n＝3，λ＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查空间向量共面定理的应用，属于基础题．
15．（2024 金山区校级三模）已知空间向量＝（2，1，2），＝（1，1，﹣1），则在上的投影向量的坐标是 　　．
【考点】空间向量的投影向量与投影．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：空间向量＝（2，1，2），＝（1，1，﹣1），
则＝2×1+1×1+2×（﹣1）＝1，，
故在上的投影向量的坐标是：＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
16．（2024 东湖区校级三模）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是　（2，0，2）　．
【考点】空间向量的投影向量与投影．
【专题】计算题；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（2，0，2）．
【分析】由向量在向量上的投影向量为||cos＜，＞，计算即可求出答案．
【解答】解：向量，，
则||＝，||＝3， ＝4，
所以向量在向量上的投影向量为
||cos＜，＞＝|| ＝3×××（1，0，1）＝（2，0，2），
故答案为：（2，0，2）．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，投影向量的定义，属于基础题．
17．（2024 黄浦区校级三模）已知空间向量，，共面，则实数m＝　3　．
【考点】空间向量的共线与共面；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】3．
【分析】根据已知条件，结合空间向量的共面定理，即可求解．
【解答】解：，，共面，
则存在实数λ，μ使得，，即，解得．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查空间向量的共面定理，属于基础题．
四．解答题（共3小题）
18．（2016 静安区二模）设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点．如图，以C为坐标原点，射线CD、CB、CC1分别是x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系
（1）求向量与的数量积；
（2）若点M，N分别是线段D1E与线段C1F上的点，问是否存在直线MN，MN⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】空间向量的数量积运算；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在给定空间直角坐标系中，求出，，由此能求出向量与的数量积．
（2）若MN⊥平面ABCD，则与平面ABCD的法向量（0，0，1）平行，由此利用向量法能求出点M，N的坐标．
【解答】解：（1）在给定空间直角坐标系中，
相关点及向量坐标为C1（0，0，2），F（2，2，1），＝（2，2，﹣1），
…（2分）…（4分
所以． …（6分）
（2）存在唯一直线MN，MN⊥平面ABCD． …（8分）
若MN⊥平面ABCD，则与平面ABCD的法向量（0，0，1）平行，
所以设…（10分）
又因为点M，N分别是线段D1E与线段C1F上的点，
所以，即，…（12分）
（a﹣2，a，m﹣2）＝（﹣λ，2λ，﹣2λ），（a，a，n﹣2）＝（2t，2t，﹣t），
所以且，解得
所以点M，N的坐标分别是，． …（14分）
【点评】本题考查向量的数量积的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
19．（2016 南通模拟）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，设AD＝1，D1D＝λ（λ＞0），若棱C1C上存在唯一的一点P满足A1P⊥PB，求实数λ的值．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】以点D为原点O，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出实数λ的值．
【解答】解：如图，以点D为原点O，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则D（0，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，λ），
设P（0，1，x），其中x∈[0，λ]，
因为A1P⊥PB，
所以，即（﹣1，1，x﹣λ） （﹣1，0，x）＝0，
化简得x2﹣λx+1＝0，x∈[0，λ]，
由点P（0，1，x）的唯一性知方程x2﹣λx+1＝0只有唯一解，
所以，判别式Δ＝λ2﹣4＝0，且λ＞0，
解得λ＝2．
【点评】本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
20．（2008 南汇区二模）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝a，∠BCA＝90°，AA1＝2a，M，N分别是A1B1、AA1的中点．
（I）求BN的长；
（II）求BA1，CB1夹角的余弦值．
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；棱柱的结构特征．
【专题】计算题．
【答案】（I）．
（II）．
【分析】（I）以C为原点建立空间直角坐标系，B（0，a，0），N（a，0，a），由此能求出．
（II）A1（a，0，2a），C（0，0，0），B1（0，a，2a），＝（a，﹣a，2a），＝（0，a，2a），再由cos＜＞，能求出BA1，CB1夹角的余弦值．
【解答】解：以C为原点建立空间直角坐标系
（I）B（0，a，0），N（a，0，a），
∴．…（4分）
（II）A1（a，0，2a），C（0，0，0），B1（0，a，2a），
∴＝（a，﹣a，2a），＝（0，a，2a），
∴ ＝a×0+（﹣a）×a+2a×2a＝3a2，…（8分）
||＝，
||＝，
∴cos＜＞＝．…（14分）
【点评】本题考查线段的长和两异面直线夹角余弦值的求法，解题时要恰当地建立空间直角坐标系，合理地运用cos＜＞进行求解．
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