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高考数学高频易错押题预测 空间直角坐标系
一．选择题（共10小题）
1．（2024 太湖县校级四模）如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子M，N分别在对角线CA，BF上移动，且CM＝BN，则MN的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 东城区校级模拟）在空间直角坐标系O﹣xyz中．正四面体P﹣ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（　　）
A．[﹣1，+1] B．[1，3] C．[﹣1，2] D．[1，+1]
3．（2022 淮北一模）在空间直角坐标系中，已知A（1，﹣1，1），B（3，1，1），则点P（1，0，2）到直线AB的距离为（　　）
A． B． C． D．
4．（2012 湘潭三模）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）和点B（2，﹣1，6）的距离是（　　）
A． B． C．9 D．
5．（2019 杨浦区校级模拟）λ＞2是圆锥曲线的焦距与实数λ无关的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
6．（2017 大连模拟）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（1，0，2），（1，2，0），（1，2，1），（0，2，2），若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
7．（2016 乌鲁木齐模拟）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，），（1，1，0），（0，，1）（1，0，1），画该四面体三视图中的正视图时，以yOz平面为投影面，则得到的正视图可以为（　　）
A． B． C． D．
8．（2016 湖南校级模拟）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（　　）
A．S1＝S2≠S3 B．S2＝S3≠S1 C．S1＝S3≠S2 D．S1＝S2＝S3
9．（2015 江西一模）空间直角坐标系中，点M（2，5，8）关于xOy平面对称的点N的坐标为（　　）
A．（﹣2，5，8） B．（2，﹣5，8） C．（2，5，﹣8） D．（﹣2，﹣5，8）
10．（2018 岳阳楼区校级一模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝11，AD＝7，AA1＝12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为li（i＝2，3，4），l1＝AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共1小题）
（多选）11．（2010 普陀区一模）如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点A在x轴上，AB平行于y轴，侧棱AA1平行于z轴．当顶点C在y轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（　　）
A．该三棱柱主视图的投影不发生变化
B．该三棱柱左视图的投影不发生变化
C．该三棱柱俯视图的投影不发生变化
D．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化
三．填空题（共9小题）
12．（2025 邵阳模拟）已知在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是底面ABCD内的动点，点N为棱BC上的动点，且tan∠AMA1＝2tan∠BMB1，则MN+ND的最小值为 　 　．
13．（2024 辽宁模拟）已知空间中的三个点A（1，1，1），B（2，1，﹣1），C（3，0，0），则点A到直线BC的距离为 　 　．
14．（2024 苏州模拟）空间内四点A（0，0，0），B（1，0，0），，D可以构成正四面体，则点D的坐标是 　 　．
15．（2024 荔湾区校级模拟）在空间直角坐标系中，定义点A（x1，y1，z1）和点B（x2，y2，z2）两点之间的“直角距离”d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|+|z1﹣z2|．若A和B两点之间的距离是，则A和B两点之间的“直角距离”的取值范围是 　 　．
16．（2024 闵行区校级二模）在空间直角坐标系中，点A（﹣2，4，3）关于xOz平面对称的点的坐标是 　 　．
17．（2023 黄浦区模拟）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，﹣1，3）关于平面yOz对称的点的坐标是 　 　．
18．（2020 梅州一模）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体OABC各顶点坐标分别为：O（0，0，0），A（0，0，2），B（，0，0），C（0，，0）．假设蚂蚁窝在O点，一只蚂蚁从O点出发，需要在AB，AC上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是　 　．
19．（2018 晋城一模）已知空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体P﹣ABC的棱长为2，点A（m，0，0），B（0，n，0），mn≠0，则|OP|的取值范围为　 　．
20．（2017 清新区校级一模）在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），则A，B两点间的距离为　 　．
高考数学高频易错押题预测 空间直角坐标系
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2024 太湖县校级四模）如图所示的实验装置中，两个互相垂直的正方形框架的边长均为1，活动弹子M，N分别在对角线CA，BF上移动，且CM＝BN，则MN的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】以B为坐标原点，以BA所在直线为x轴，BE所在直线为y轴，BC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：以B为坐标原点，以BA所在直线为x轴，BE所在直线为y轴，BC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），C（0，0，1），
设CM＝tCA，则M（t，0，1﹣t），B（0，0，0），F（1，1，0），
BN＝tBF，N（t，t，0），
则，
所以．
故选：B．
【点评】本题考查空间中两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（2023 东城区校级模拟）在空间直角坐标系O﹣xyz中．正四面体P﹣ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（　　）
A．[﹣1，+1] B．[1，3] C．[﹣1，2] D．[1，+1]
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离．
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，
原点O到点P的最近距离等于PM减去球的半径，最大距离是PM加上球的半径．
【解答】解：
如图所示，若固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，
设AB的中点为M，则PM＝＝；
所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，
最大距离是PM加上球M的半径；
所以﹣1≤|OP|≤+1，
即|OP|的取值范围是[﹣1，+1]．
故选：A．
【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，是综合题．
3．（2022 淮北一模）在空间直角坐标系中，已知A（1，﹣1，1），B（3，1，1），则点P（1，0，2）到直线AB的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】求出，，利用向量法能求出点P（1，0，2）到直线AB的距离．
【解答】解：A（1，﹣1，1），B（3，1，1），
∴＝（2，2，0），
＝（0，1，1），
则点P（1，0，2）到直线AB的距离为：
d＝||
＝
＝．
故选：C．
【点评】本题考查点到直线的距离的求法，考查向量法求点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（2012 湘潭三模）空间直角坐标系中，点A（﹣3，4，0）和点B（2，﹣1，6）的距离是（　　）
A． B． C．9 D．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】根据题目中所给的两个点的坐标，把点的坐标代入求两点之间的距离的公式，进行式子的加减和平方运算，得到结果．
【解答】解：∵A（﹣3，4，0），B（2，﹣1，6）
∴代入两点间的距离公式可得：|AB|＝＝
故选：D．
【点评】本题考查两点之间的距离公式的应用，这种问题一般不会单独出现，要和其他的知识点结合在一起考查，本题是一个基础题．
5．（2019 杨浦区校级模拟）λ＞2是圆锥曲线的焦距与实数λ无关的（　　）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件
【考点】空间两点间的距离公式；充分条件与必要条件．
【专题】计算题；分类讨论；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑；运算求解．
【答案】A
【分析】分类讨论圆锥曲线情况，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【解答】解：先讨论充分性：
若λ＞2，则λ﹣2＞0，λ﹣2＜λ+5，则圆锥曲线表示焦点在y轴上的椭圆，a2＝λ+5，b2＝λ﹣2，c2＝a2﹣b2＝（λ+5）﹣（λ﹣2）＝7，故焦距与λ无关．
λ＞2是圆锥曲线的焦距与实数λ无关的充分条件．
再讨论必要性：
若圆锥曲线的焦距与实数λ无关，
当圆锥曲线为椭圆时，（λ+5）＞0，（λ﹣2）＞0，可得λ＞2，
可知圆锥曲线的焦距与实数λ无关．
当圆锥曲线为双曲线时，（λ+5）＞0，（2﹣λ）＞0，即﹣5＜λ＜2，
可得c2＝（λ+5）+（2﹣λ）＝7，可得圆锥曲线的焦距与实数λ无关，
综上：圆锥曲线的焦距与实数λ无关，则﹣5＜λ＜2或λ＞2，
所以λ＞2不是圆锥曲线的焦距与实数λ无关的必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了向量共线定理、充要条件的判定，圆锥曲线的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（2017 大连模拟）在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（1，0，2），（1，2，0），（1，2，1），（0，2，2），若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【考点】空间中的点的坐标；简单空间图形的三视图．
【专题】计算题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离．
【答案】B
【分析】若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左（侧）视图为三角形，底高分别为1，2，即可得出结论．
【解答】解：若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左（侧）视图为三角形，底高分别为1，2，面积为1，
故选：B．
【点评】本题考查三视图，考查学生的计算能力，确定该四面体左（侧）视图为三角形，底高分别为1，2是关键．
7．（2016 乌鲁木齐模拟）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（1，0，），（1，1，0），（0，，1）（1，0，1），画该四面体三视图中的正视图时，以yOz平面为投影面，则得到的正视图可以为（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间中的点的坐标；简单空间图形的三视图．
【专题】作图题；数形结合；数形结合法；立体几何．
【答案】A
【分析】根据题意，在空间直角坐标系下画出空间四面体ABCD的图形，并且写出四面体在yOz平面的投影点，由此得到正视图的图形．
【解答】解：根据题意，在空间直角坐标系下画出空间四面体ABCD的图形，如图所示，
则该四面体在yOz平面的投影是点（0，0，），
（0，1，0），（0，，1），（0，0，1）组成的平面图形，
所以正视图是A所示的图形．
故选：A．
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，也考查了几何投影的应用问题，是基础题目．
8．（2016 湖南校级模拟）在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（　　）
A．S1＝S2≠S3 B．S2＝S3≠S1 C．S1＝S3≠S2 D．S1＝S2＝S3
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】空间位置关系与距离．
【答案】B
【分析】求出几何体在三个平面上的射影面的面积，即可得到结果．
【解答】解：由题意可知，D在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影分别为：H（1，1，0）；F（0，1，），
E（1，0，），
S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，如图：
所以S1＝，S2＝＝，S3＝，
显然S2＝S3≠S1．
故选：B．
【点评】本题考查空间点的坐标的求法，射影面的面积的解法，考查计算能力以及空间想象能力．
9．（2015 江西一模）空间直角坐标系中，点M（2，5，8）关于xOy平面对称的点N的坐标为（　　）
A．（﹣2，5，8） B．（2，﹣5，8） C．（2，5，﹣8） D．（﹣2，﹣5，8）
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】空间位置关系与距离．
【答案】C
【分析】根据关于平面xoy对称的点的规律：横坐标、纵坐标保持不变，第三坐标变为它的相反数，即可求得答案．
【解答】解：由题意，关于平面xoy对称的点横坐标、纵坐标保持不变，第三坐标变为它的相反数，从而有点M（2，5，8）关于平面xoy对称的点的坐标为（2，5，﹣8）．
故选：C．
【点评】本题以空间直角坐标系为载体，考查点关于面的对称，属于基础题．
10．（2018 岳阳楼区校级一模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝11，AD＝7，AA1＝12．一质点从顶点A射向点E（4，3，12），遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第i﹣1次到第i次反射点之间的线段记为li（i＝2，3，4），l1＝AE，将线段l1，l2，l3，l4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间中的点的坐标；点、线、面间的距离计算．
【专题】空间向量及应用．
【答案】C
【分析】根据平面反射定理，列出反射线与入射线的关系，得到入射线与反射平面的交点，再利用两点间的距离公式，求出距离，即可求解．
【解答】解：根据题意有：
A的坐标为：（0，0，0），B的坐标为（11，0，0），C的坐标为（11，7，0），D的坐标为（0，7，0）；
A1的坐标为：（0，0，12），B1的坐标为（11，0，12），C1的坐标为（11，7，12），D1的坐标为（0，7，12）；
E的坐标为（4，3，12）
（1）l1长度计算
所以：l1＝|AE|＝＝13．
（2）l2长度计算
将平面A1B1C1D1沿Z轴正向平移AA1个单位，得到平面A2B2C2D2；显然有：
A2的坐标为：（0，0，24），B2的坐标为（11，0，24），C2的坐标为（11，7，24），D2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A2B2C2D2和平面ABCD关于平面A1B1C1D1对称．
设AE与的延长线与平面A2B2C2D2相交于：E2（xE2，yE2，24）
根据相似三角形易知：
xE2＝2xE＝2×4＝8，
yE2＝2yE＝2×3＝6，
即：E2（8，6，24）
根据坐标可知，E2在长方形A2B2C2D2内．
根据反射原理，E2在平面ABCD上的投影即为AE反射光与平面ABCD的交点．
所以F的坐标为（8，6，0）．
因此：l2＝|EF|＝＝13．
（3）l3长度计算
设G的坐标为：（xG，yG，zG）
如果G落在平面BCC1B1；
这个时候有：xG＝11，yG≤7，zG≤12
根据反射原理有：AE∥FG
于是：向量与向量共线；
即有：＝λ
因为：＝（4，3，12）；＝（xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0）＝（3，yG﹣6，zG）
即有：（4，3，12）＝λ（3，yG﹣6，zG）
解得：yG＝，zG＝9；
故G的坐标为：（11，，9）
因为：＞7，故G点不在平面BCC1B1上，
所以：G点只能在平面DCC1D1上；
因此有：yG＝7；xG≤11，zG≤12
此时：＝（xG﹣8，yG﹣6，zG﹣0）＝（xG﹣8，1，zG）
即有：（4，3，12）＝λ（xG﹣8，1，zG）
解得：xG＝，zG＝4；
满足：xG≤11，zG≤12
故G的坐标为：（，7，4）
所以：l3＝|FG|＝＝
（4）l4长度计算
设G点在平面A1B1C1D1的投影为G’，坐标为（，7，12）
因为光线经过反射后，还会在原来的平面内；
即：AEFGH共面
故EG的反射线GH只能与平面A1B1C1D1相交，且交点H只能在A1G'；
易知：l4＞|GG’|＝12﹣4＝8＞l3．
根据以上解析，可知l1，l2，l3，l4要满足以下关系：
l1＝l2；且l4＞l3
对比ABCD选项，可知，只有C选项满足以上条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查的空间中点坐标的概念，两点间的距离公式，解法灵活，属于难题．
二．多选题（共1小题）
（多选）11．（2010 普陀区一模）如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点A在x轴上，AB平行于y轴，侧棱AA1平行于z轴．当顶点C在y轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（　　）
A．该三棱柱主视图的投影不发生变化
B．该三棱柱左视图的投影不发生变化
C．该三棱柱俯视图的投影不发生变化
D．该三棱柱三个视图的投影都不发生变化
【考点】空间直角坐标系．
【专题】阅读型；直观想象；运算求解．
【答案】AB
【分析】从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断．
【解答】A、该三棱柱主视图的长度是AB在y轴上的投影，随C点得运动发生未变化，故正确．
B、设O1是z轴上一点，且AA1＝OO1，则该三棱柱左视图就是矩形AOO1A1，图形不变．故正确．
C、该三棱柱俯视图就是△ABC，随C点得运动发生变化，故错误．
D、与 B矛盾．故错误．
故选：AB．
【点评】本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点．
三．填空题（共9小题）
12．（2025 邵阳模拟）已知在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是底面ABCD内的动点，点N为棱BC上的动点，且tan∠AMA1＝2tan∠BMB1，则MN+ND的最小值为 　　．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】．
【分析】由正切函数定义结合几何位置关系，得到MB＝2MA，结合解析几何中的圆的知识，得到M，N，D三点共线时，MN+ND取得最小值，得到结果．
【解答】解：如图（一），因为，，
又tan∠AMA1＝2tan∠BMB1，所以MB＝2MA，
如图（二），建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），D（0，3），设点M（x，y），
根据MB＝2MA，所以，化简得：（x+1）2+y2＝4（x≥0，y≥0），
该方程表示圆心为P（﹣1，0），r＝2的圆的一部分，又点D（0，3）关于BC的对称点D′（6，3），
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查空间两点间的距离公式，属于中等题．
13．（2024 辽宁模拟）已知空间中的三个点A（1，1，1），B（2，1，﹣1），C（3，0，0），则点A到直线BC的距离为 　　．
【考点】空间两点间的距离公式；点、线、面间的距离计算．
【专题】方程思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出＝（﹣1，0，2），＝（1，﹣1，1），点A到直线BC的距离为：d＝||，由此能求出结果．
【解答】解：空间中的三个点A（1，1，1），B（2，1，﹣1），C（3，0，0），
∴＝（﹣1，0，2），＝（1，﹣1，1），
∴点A到直线BC的距离为：
d＝||＝
＝ ＝．
故答案为：．
【点评】本题考查空间向量坐标运算法则、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2024 苏州模拟）空间内四点A（0，0，0），B（1，0，0），，D可以构成正四面体，则点D的坐标是 　　．
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由题意可知，正四面体的棱长为1，设D（x，y，z），根据AD＝BD＝CD＝1列出方程组，解出x，y，z的值即可．
【解答】解：由题意可知，正四面体的棱长为1，设D（x，y，z），
则，解得或，
所以D（，，）．
故答案为：（，，）．
【点评】本题主要考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式，属于基础题．
15．（2024 荔湾区校级模拟）在空间直角坐标系中，定义点A（x1，y1，z1）和点B（x2，y2，z2）两点之间的“直角距离”d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|+|z1﹣z2|．若A和B两点之间的距离是，则A和B两点之间的“直角距离”的取值范围是 　[，3]　．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；立体几何；运算求解．
【答案】[，3]．
【分析】根据题意，求出|AB|的表达式，结合三角代换法、辅助角公式对其变形，利用正弦型函数的最值性质进行求解即可．
【解答】解：根据题意，因为A和B两点之间的距离是，即，
所以设，
其中，
则有d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|+|z1﹣z2|＝|x1﹣x2|＝＝，
由于，所以，因此，
设t＝sin（θ+），则t∈[，1]，
于是有＝，
因为，所以，
因此当t＝1且时，即当t＝1且时，
d（A，B）有最大值，其最大值为，
当且φ＝0或时，d（A，B）取得最小值，
此时，，
所以d（A，B）的最小值，
综上，A和B两点之间的“直角距离”的取值范围是[，3]．
故答案为：[，3]．
【点评】本题考查合情推理的应用，涉及三角恒等变形的应用，关键是利用三角代换的方法、运用正弦函数的最值的性质，属于中档题．
16．（2024 闵行区校级二模）在空间直角坐标系中，点A（﹣2，4，3）关于xOz平面对称的点的坐标是 　（﹣2，﹣4，3）　．
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据空间中的点的性质对称即可．
【解答】解：点A（﹣2，4，3）关于xOz平面对称的点的坐标是（﹣2，﹣4，3）．
故答案为：（﹣2，﹣4，3）．
【点评】本题考查空间中的点的坐标的应用，属于基础题．
17．（2023 黄浦区模拟）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，﹣1，3）关于平面yOz对称的点的坐标是 　（﹣2，﹣1，3）　．
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】（﹣2，﹣1，3）．
【分析】根据点关于平面yOz对称的点坐标的特点可直接得到结果．
【解答】解：∵点（a，b，c）关于平面yOz对称的点为（﹣a，b，c），
∴A（2，﹣1，3）关于平面yOz对称的点的坐标为（﹣2，﹣1，3）．
故答案为：（﹣2，﹣1，3）．
【点评】本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题．
18．（2020 梅州一模）在空间直角坐标系O﹣xyz中，四面体OABC各顶点坐标分别为：O（0，0，0），A（0，0，2），B（，0，0），C（0，，0）．假设蚂蚁窝在O点，一只蚂蚁从O点出发，需要在AB，AC上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是　　．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】将四面体OABC沿着OA剪开铺成平面五边形OAO'BC，那么△AOO'的边OO'的长度即为所求．由O，A，B，C四点的坐标可分别求得AO＝2，BO＝，AB＝AC＝，BC＝．由余弦定理知，在△OAB中，cos∠OAB＝＝，所以∠OAB＝30°＝∠O'AC；在△ABC中，cos∠BAC＝＝，所以cos∠OAO'＝cos（∠BAC+60°），利用余弦的两角和公式展开计算得cos∠OAO'＝；在△AOO'中，OO'2＝AO2+AO'2﹣2AO AO'cos∠OAO'，代入所有数据进行运算即可．
【解答】解：将四面体OABC沿着OA剪开，展开后如下图所示，
最短路径就是△AOO'的边OO'，
∵O（0，0，0），A（0，0，2），B（，0，0），C（0，，0），
∴AO＝2，BO＝，AB＝AC＝，BC＝，
由余弦定理知，在△OAB中，cos∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°＝∠O'AC，
在△ABC中，cos∠BAC＝＝，
∴sin∠BAC＝，
∴cos∠OAO'＝cos（∠BAC+∠OAB+∠O'AC）＝cos（∠BAC+60°）
＝cos∠BAC cos60°﹣sin∠BAC sin60°＝．
在△AOO'中，OO'2＝AO2+AO'2﹣2AO AO'cos∠OAO'
＝，
∴OO'＝．
故答案为：．
【点评】本题考查立体几何中线段的计算，将几何体转化为平面图形，结合解三角形的知识进行求解是整道题的解题思路，考查学生的空间立体感、转化能力和运算能力，属于中档题．
19．（2018 晋城一模）已知空间直角坐标系O﹣xyz中，正四面体P﹣ABC的棱长为2，点A（m，0，0），B（0，n，0），mn≠0，则|OP|的取值范围为　　．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意画出图形，结合图形，固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，原点O到点P的最近距离等于PM减去球的半径，最大距离是PM加上球的半径．
【解答】解：如图所示，若固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，
设AB的中点为M，则PM＝＝，
所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，
最大距离是PM加上球M的半径；
所以﹣1≤|OP|≤+1，
即|OP|的取值范围是[﹣1，+1]．
故答案为：[﹣1，+1]．
【点评】本题主要考查了点到直线以及点到平面的距离与应用问题，也考查了数形结合思想的应用问题，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20．（2017 清新区校级一模）在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），则A，B两点间的距离为　5　．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】计算题；方程思想；定义法；空间向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用空间中两点间的距离公式求解．
【解答】解：∵在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），
∴A，B两点间的距离：
|AB|＝＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查空间中两点间距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中两点间的距离公式的合理运用．
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