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2024-2025 学年上海市位育中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
3
.现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积 (单位： )与直径 (单位：dm)的关系式为 = 6 ，当 = 2dm
时，气球体积的瞬时变化率为( )
A. 2 B. C. 2 D. 4
2.已知 , 是两个随机事件，且 ，则下列选项中一定成立的是( )．
A. ( ∪ ) = ( ) + ( ) B. ( ∩ ) = ( ) ( )
C. ∪ = 1 ( ) D. ∪ = 1 ( )
3.已知函数 = ( )的导函数 = ′( )的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )．
A.函数 = ( )在点 = 2 处的切线斜率小于零
B.函数 = ( )在区间( 1,1)上严格增
C.函数 = ( )在 = 1 处取得极大值
D.函数 = ( )在区间( 3,3)内至多有两个零点
4.若曲线 ( ) = 13 cos3 在 = 1与 = 2处的切线互相垂直，且两条切线的交点 在直线 = 上，则 的值
可能是( )．
A. π3 B. 2π C. π D.
7π
6
二、填空题：本题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。
5.若C8 7 C = 0，则 的值为 ．
6.已知函数 ( ) = 3 + 1 的一个驻点为 = 1，则实数 = ．
7.5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有 种. (用具
体数字作答)
8.设函数 = ( )，其中 ( ) = sin π，则 ′ 4 = ．
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9.若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用 , 表示，两个女生分别用 , 表示，相应的样本
空间为 = , , , , , ，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 ．
10 (5+ ) (5).已知函数 = ( )图像在点 (5,3)处的切线方程是 = + 8，则lim = ．
→0
11.若(1 2 )2025 = + + … + 20250 1 2025 ( ∈ )
1 + ，则 2 20252 22 + … + 22025 = ．
12.设函数 ( ) = ln 2 ( 为实数)，若 ( )在[1, + ∞)上单调递减，则实数 的取值范围 ．
13.某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了 4，3，2 个节目，若高一的节目彼此都不相邻，
高三的节目必须相邻，共计有 种出场顺序．
14.在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的 5 位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个
小组有 3 位，另外一个小组有 2 位，则甲和乙分在不同小组的概率为 ．
15 1.已知事件 与 互斥，它们都不发生的概率是5 .且 ( ) = 3 ( )，则 = ．
′
16.函数 = ( )， ∈ ( 2,7)的图像如图所示，设 = ( )的导函数为 = ′( )，则 ( ) 的解集 ( ) > 0
为 ．
17.抛掷一枚质地均匀的硬币 次(其中 为大于等于 2 的整数)，设事件 ： 次中既有正面朝上又有反面朝上，
事件 ： 次中至多有一次正面朝上，若事件 与事件 是独立的，则 的值为 ．
18.设函数 ( ) = (3 )e + 5 , ∈ R，若有且仅有两个整数 ( = 1,2)满足 > 0，则实数 的取值
范围为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题 12 分)
1 12
在 2 3 + 的二项展开式中
(1)求第 5 项的系数；
(2)求常数项．
20.(本小题 12 分)
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2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)
3
的长轴长为 2 3，且点 ( 2, 3 )在椭圆 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 = + 2与椭圆 相交于不同的两点 和 ，当| | = 3时，求实数 的值．
21.(本小题 12 分)
已知 ( ) = 2ln ， ∈ ．
(1)当 = 3 时，求函数 = ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)设 ( ) = ( ) 2 + (2 ) ，若 > 1，求 1 ≤ ≤ e 时函数 = ( )的最大值．
22.(本小题 12 分)
某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小 、高二小 分别荣获了高一年级和高二
年级比赛的年级 (最有价值球员).以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．
二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率
小 100 次 80% 100 次 40%
小 190 次 70% 10 次 30%
现以两人的总投篮命中率(二分球+三分球)较高者评为校 (总投篮命中率=总命中次数÷总出手次数)
(1)小 认为，目测小 的二分球命中率和三分球命中率均高于小 ，此次必定能评为校 ，试通过计算判
断小 的想法是否准确？
(2)小 是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小 、小 轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：①游戏中小
的命中率始终为 0.4，小 的命中率始终为 0.3；②游戏中投篮总次数最多为 5 次，且同一个游戏人物不允许
连续投篮；③游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第 5 次投篮都没有命中，则规定
第二次投篮者获胜．若小 第一次投篮，试计算小 的获胜概率并判断谁的获胜概率更大．
23.(本小题 12 分)
对于函数 = ( )的导函数 ′ = ′( )，若在其定义域内存在实数 0和 ，使得 0 + = ( + 1) ′ 0
成立，则称 = ( )是“跃点”函数，并称 0是函数 = ( )的“ 跃点”．
(1)若函数 = sin ∈ R π是“2跃点”函数，求实数 的取值范围；
(2)若函数 = 2 + 1 是定义在( 1,3)上的“1 跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1 跃点”，
求实数 的取值范围；
(3)若函数 = e + ( ∈ )是“1 跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1 跃点”，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.15
6.3
7.32
8. 2/12 2 2
9. , , ,
10. 1
11. 1
12. 12 , + ∞
13.5760
14.35/0.6
15.25/0.4
16.(1,4) ∪ (6,7)
17.3
18. e , 32 5
12
19.【详解】(1)由二项式 2 3 + 1 1展开式的通项为： = (2 3)12 ( ) = 212 +1 12 12
36 4 , =
0,1,2, 12，
所以展开式的第 5 项的系数为28 412 = 126720．
(2)由(1)展开式的通项为 = 212 36 4 +1 12 , = 0,1,2, 12，
令 = 9，可得常数项为23 912 = 1760．
20.【详解】(1)由题意得：2 = 2 3，所以 2 = 3，
1
点 ( 2, 3 ) 23 在椭圆上，所以 +
3 2
3 2 = 1，解得 = 1，
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2
所以椭圆 的方程为： 3 +
2 = 1．
(2)
直线 的方程为： = + 2
= + 2
联立 2 2 ，消去 后，得关于 的一元二次方程
2 + 3( + 2)2 = 3，
+ 3 = 3
化简得(1 + 3 2) 2 + 6 2 + 3 = 0，
2
由题意知 = 6 2 4 × 3 × (1 + 3 2) = 36 2 12 > 0 < 3 3，解得 3 或 > 3 ，
由韦达定理可得 1 + 2 =
6 2 3
1+3 2， 1 2 = 1+3 2，
2
所以| | = 1 + 2 1 2 = 1 + 2
72 12
(1+3 2)2 1+3 2 = 3，
(1 + 2) 36
2 12
所以 1+3 2 = 3，化简得 9
4 + 6 2 15 = 0，解得 2 = 1，即 =± 1，
经检验 =± 1 符合题意．
21.【详解】(1) ( ) = 2ln 3 ′( ) = 2，则 3，
所以 ′(1) = 1, (1) = 0 3 = 3，
所以函数 = ( )在 = 1 处的切线方程为 ( 3) = ( 1)，即 = 2；
(2) ( ) = 2ln 2 + (2 2 ) ，
2
则 ′( ) = 2 2 + 2 2 =
2 +(2 2 ) +2 = 2( 1)( +1) ，1 ≤ ≤ e，
因为 > 1，则 ′( ) < 0 恒成立，所以函数 ( )在 1, e 上单调递减，
所以 ( )max = (1) = 3 + 2．
0 0
22. 100×80 +100×40 0【详解】(1)小 总命中率为 0 0100+100 = 60 0，
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190×70％+10×30％小 总命中率为 190+10 = 68％，
60 00 < 68
0
0，综上，小 想法错误，小 为校 ；
(2)情况一：小 第一次投篮就命中，其概率为 1 = 0.4；
情况二：小 第一次未命中，小 也未命中，然后小 第二次投篮命中，
其概率为 2 = (1 0.4) × (1 0.3) × 0.4 = 0.168；
情况三：小 第一次未命中，小 也未命中，小 第二次也未命中，小 第二次也未命中，小 第三次投篮命中，
其概率为 3 = (1 0.4) × (1 0.3) × (1 0.4) × (1 0.3) × 0.4 = 0.07056，
则小 的获胜概率为 = 1 + 2 + 3 = 0.63856 > 0.5，
所以小 获胜概率更大．
23.【详解】(1)函数 = sin 的导函数为 ′ = cos ，
π
因为函数 = sin ， ∈ R 是“2跃点”函数，
则方程 sin( 0 +
π
2 ) = (
π
2 + 1)cos
π
0有解，即 = 2 cos 0有解，
而 cos 0 ∈ [ 1,1]，因此 ∈ [
π , π2 2 ]，解得 ∈ [
π
2 ,
π
2 ]，
π π
所以实数 的取值范围是[ 2 , 2 ]．
(2)函数 = 2 + 1, ∈ ( 1,3)的导函数为 ′ = 2 ，
依题意，方程( 0 + 1)2 ( 0 + 1) + 1 = 2(2 )，即 20 0 ( + 2) 0 + + 2 = 0 在( 1,3)上有两个不
等实根，
令 ( ) = 2 ( + 2) + + 2, ∈ ( 1,3)，因此函数 ( )在( 1,3)上有两个不同零点，
= ( + 2)2 4( + 2) > 0
( 1) = 2 + 5 > 0 5
则 (3) = 2 + 5 > 0，解得 2 < < 2 或 2 < <
5
2，
1 < +22 < 3
5 5
所以实数 的取值范围是( 2 , 2) ∪ (2, 2 )．
(3)函数 = e + , ∈ R 的导函数为 ′ = e + ，
因为函数 = e + , ∈ R 是“1 跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1 跃点”，
+1
则方程e
0 0
0+1 + ( 0 + 1) = 2(e 0 + )
e 2e
，显然 0 ≠ 1，所以 = 在 R 上恰有一个实数根，0 1
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e +1 ( ) = 2e = (e 2)e

令 ，求导得 ′( ) = (e 2)e ( 2) 1 1 ( 1)2 ，
由 ′( ) > 0，得 > 2；由 ′( ) < 0，得 < 2 且 ≠ 1， (2) = e2(e 2)，
于是函数 = ( )在( ∞,1)上单调递减， ( ) < 0 恒成立，函数 = ( )的取值集合是( ∞,0)，
在(1,2]上单调递减，函数 = ( )的取值集合是[e2(e 2), + ∞),
在[2, + ∞)上单调递增，函数 = ( )的取值集合是[e2(e 2), + ∞)，函数 = ( )的图象，如图，
当 ∈ ( ∞,0) ∪ e2 e 2 时，直线 = 与函数 = ( )的图象有唯一公共点，
e +1 2e
即方程 = 2 1 恰有一个实数根，从而 ∈ (0, + ∞) ∪ e 2 e ，
所以 的取值范围为(0, + ∞) ∪ e2 2 e ．
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