资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年九年级数学中考【阅读理解】类型题培优训练
一、阅读理解
1．（2024九下·武威模拟）数学课本中有《格点多边形的面积计算》、《有关正多边形的折纸》、《精彩的分形》等阅读材料．某兴趣小组准备采用抽签的方式确定学习内容，将题目制成外观相同的A，B，C三张卡片．现将这三张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）从三张卡片中随机抽取一张，则抽到《精彩的分形》的概率为___________．
（2）若从三张卡片中随机抽取两张，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中《格点多边形的面积计算》和《有关正多边形的折纸》的概率是多少？
2．（2017·德州模拟）阅读材料，回答问题
在边长为1的正方形ABCD中，E是AB的中点，CF⊥DE，F为垂足．
（1）△CDF与△DEA是否相似？说明理由；
（2）求CF的长．
3．（2024九上·绥阳期末）阅读材料，并回答问题：
佳佳解一元二次方程的过程如下：
解：
-------------------------------- ①
----------------------------- ②
-------------------------------③
--------------------------------④
．
问题：
（1）佳佳解方程的方法是______；
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
（2）上述解答过程中，从______步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是______；
（3）在下面的空白处，写出正确的解答过程．
4．（2023九上·资兴月考）阅读理解
定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．
例如，求函数的图象的“等值点”P的坐标．
解：在中，令，得，
所以，函数的图象的“等值点”P的坐标为．
（1）函数的图象的“等值点”的坐标是______；
（2）函数的图象的“等值点”的坐标是______；
（3）是否存在这样的函数：函数图象上任意一点都是这个函数图象的“等值点”．若存在，请举出一个这样的函数（写出函数表达式即可）；若不存在，请说明理由．
5．（2022九上·南宁月考）阅读理解：
画图可知道，一次函数的图象可由正比例函数的图象向右平移1个单位长度得到；类似函数的图象可以由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到．
（1）反比例函数的图象向右平移2个单位长度后的图象解析式是______．
解决问题：
如图，已知反比例函数的图象与直线相交于点和点B．
（2）求点B的坐标；
（3）若将反比例函数的图象向右平移n（n为整数，且）个单位长度后，经过点，求n的值及反比例函数平移后的图象对应的解析式．
6．（2018·潜江模拟）阅读下列材料：
社会消费品零售总额是指批发和零售业，住宿和餐饮业以及其他行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品零售额，在各类与消费有关的统计数据中，社会消费品零售总额是表现国内消费需求最直接的数据．
2012年，北京市全年实现社会消费品零售总额7702.8亿元，比上一年增长11.6%，2013年，全年实现社会消费品零售总额8375.1亿元，比上一年增长8.7%，2014年，全年实现社会消费品零售总额9098.1亿元，比上一年增长8.6%，2015年，全年实现社会消费品零售总额10338亿元，比上一年增长7.3%．
2016年，北京市实现市场总消费19926.2亿元，比上一年增长了8.1%，其中实现服务性消费8921.1亿元，增长10.1%；实现社会消费品零售总额11005.1亿元，比上一年增长了6.5%．
根据以上材料解答下列问题：
（1）补全统计表：
2012﹣2016年北京市社会消费品零售总额统计表
年份 2012年 2013年 2014年 2015年 2016年
社会消费品零售总额（单位：亿元） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
（2）选择适当的统计图将2012﹣2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率表示出来，并在图中表明相应数据；
（3）根据以上信息，估计2017年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率约为　 　，你的预估理由是　 　．
7．（2023九上·信都期末）阅读材料，解答问题：
为解方程，我们将视为一个整体，
解：设，则，
原方程可化为，
解得，，
当时，，
当时，，
∴原方程的解为或．
（1）上面的解题方法，利用（　　）法达到了降幂的目的．
（2）依据此方法解方程：．
8．（2023九上·高州月考）（阅读材料）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：原式＝a2+6a+9﹣1
＝（a+3）2﹣1
＝（a+3﹣1）（a+3+1）
＝（a+2）（a+4）．
②求x2+6x+11的最小值．
解：原式＝x2+6x+9+2
＝（x+3）2+2．
由于（x+3）2≥0，
所以（x+3）2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　；
（2）用配方法因式分解：a2﹣12a+35；
（3）求x2+8x+7的最小值．
9．（2020·山西模拟）阅读下列材料，并完成相应任务：
黄金分割
天文学家开普勒把黄金分割称为神圣分割，并指出毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠宝，历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆，19世纪以后“黄金分割”的说法逐渐流行起来，黄金分割被广泛应用于建筑等领域．黄金分割指把一条线段分为两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值为 ，用下面的方法（如图①）就可以作出已知线段AB的黄金分割点H：
①以线段AB为边作正方形ABCD，
②取AD的中点E，连接EB，
③延长DA到F，使EF＝EB，
④以线段AF为边作正方形AFGH，点H就是线段AB的黄金分割点．
以下是证明点H就是线段AB的黄金分割点的部分过程：
证明：设正方形ABCD的边长为1，则AB＝AD＝1，
∵E为AD中点，
∴AE＝ ，
∴在Rt△BAE中，BE＝
∵EF＝BE
∴EF＝
∴AF＝EF﹣AE＝ ，
…
任务：
（1）补全题中的证明过程；
（2）如图②，点C为线段AB的黄金分割点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连接BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（3）如图③，在正五边形ABCDE中，对角线AD、AC与EB分别交于点M、N，求证：点M是AD的黄金分割点．
10．（2018九上·翁牛特旗期末）阅读理解：已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离，可用公式d= 计算．
例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．
解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．
所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = = = ．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；
（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由；
（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．
11．（2023九上·郑州经济技术开发月考）阅读材料，解决问题.
相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，比如，他们研究过1、3、6、10…，由于这些数可以用图中所示的三角点阵表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和称为三角数.
则第个三角数可以用且为整数）来表示.
（1）若三角数是55，则n=　 　；
（2）把第n个三角点阵中各行的点数依次换为，，请用含的式子表示前行所有点数的和；
（3）在（2）中的三角点阵中前行的点数的和能为120吗 如果能，求出，如果不能，请说明理由.
12．（2022·吕梁模拟）阅读与思考
请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
阿基米德是伟大的古希腊数学家、哲学家物理学家，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．他的著作《阿基米德全集》的《引理集》中记述了有关圆的15个引理，其中第三个引理是：如图1， 是 的弦，点P在 上， 于点C，点D在弦 上且 ，在 上取一点Q，使 ，连接 ，则 ．小明思考后，给出如下证明：
如图2，连接 、 、 、 ． ∵ ， ∴ （依据1） ∴ ∵ ∴ （依据2） … 图1 图2
任务：
（1）写出小明证明过程中的依据：
依据1：　 　
依据2：　 　
（2）请你将小明的证明过程补充完整；
（3）小亮想到了不同的证明方法：如图3，连接 、 、 、 ．请你按照小亮的证明思路，写出证明过程；
（4）结论应用：如图4，将材料中的“弦 ”改为“直径 ”，作直线l与 相切于点Q，过点B作 于点M，其余条件不变，若 ，且D是 的中点，则 　 　．
13．（2016九上·黔西南期中）阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；
当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；
当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即
|a|= ，问：
（1）这种分析方法涌透了　 　数学思想．
（2）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式 的各种展开的情况．
（3）猜想 与|a|的大小关系．
（4）尝试用从以上探究中得到的结论来解决下面的问题：化简 （﹣3≤x≤5）．
14．阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB=30 ，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA.PB.PC，求PA+PB+PC的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折.旋转.平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60 ，得到△EDC，连接PD.BE，则BE的长即为所求．
（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值.
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60 ，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；
②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．
15．（2025九下·宝安开学考）阅读与思考
下面是小明同学的一篇数学读书笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
我在课外读物《怎样解题》中看到这样一个问题： 如图1，给定不在同一直线上的三个点，，，如何利用无刻度的直尺和圆规在点，之间画一条过点A的直线，且点和点到这条直线的距离相等？ 下面是我的解题步骤： 如图，第一步：以点为圆心，以的长为半径画弧； 第二步：以点C为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点； 第三步：作直线，则点和点到直线的距离相等． 下面是部分证明过程： 证明：如图．连接，，过点作于点，过点作于点，连接交于点． 由作图可知，， 四边形ABDC是平行四边形．（依据） ．（依据） …… 于是我得到了这样的结论：只要确定线段的中点，由两点确定一条直线即可确定问题中所求直线．
任务：
（1）填空：材料中的“依据”是指　 　；“依据”是指　 　．
（2）请将小明的证明过程补充完整．
（3）尺规作图：请在图中，用不同于材料中的方法，在点和点之间作直线，使得点和点到直线的距离相等．（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法）
16．（2022·任城模拟）阅读材料：求的值.
解：设①，
则②.
用②-①
.即.
.
以上方法我们称为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：
（1）（一）棋盘摆米
这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏，阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒...按这个方法放满整个棋盘就行.”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了.
国际象棋共有64个格子，则在第64格应放　 　粒米；（用幂表示）
（2）设国王输给阿基米德的米粒数为S，求S.
（3）（二）拓展应用：计算：.
17．（2024九上·德阳期中）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
（1）已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
（2）仿照上述方法，解方程：．
18．（2021九上·隆昌月考）阅读材料：选取二次三项式 （ ）中两项，配成完全平方式的过程叫配方，配方的基本形式是完全平方公式的逆写，即 .例如：
请根据阅读材料解决下列问题：
（1）比照上面的例子，将二次三项式 配成完全平方式；
（2）将 分解因式；
（3）已知a、b、c是 的三边长，且满足 ，试判断此三角形的形状.
19．新考法 阅读理解 阅读材料：
费马被誉为业余数学家之王.1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置.另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题，后来人们把这个距离之和最小的点 P 称为“费马点”.
问题解决：
（1）如图①，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC 交于点 P.
求证：PA+PC=PE；
（2）如图②，在△MNG 中，MN=6，∠M= 点O 是△MNG内一点，求点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值.
20．（2024·凉山州） 阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 　 　，前15行的点数之和为 　 　，那么，前n行的点数之和为 　 　．
（2）体验：三角点阵中前n行的点数之和 　 　（填“能”或“不能”）为500．
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
答案解析部分
1．【答案】（1）；
（2）
【知识点】用列表法或树状图法求概率
2．【答案】（1）解：△ADE∽△FCD，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB∥CD，
∴∠CDF=∠DEA．
又CF⊥DE，
∴∠CFD=90°，即∠CFD=∠A，
因而，△ADE∽△FCD
（2）解：由题意知，AD=CD=1，AE= ．
在直角△DEA中，有DE= = = ．
由（1）可得： = ，则CF= =
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
3．【答案】（1）B
（2）②，等号右边没有加9
（3），．
【知识点】配方法解一元二次方程
4．【答案】（1）
（2），
（3）存在，例如
【知识点】一次函数的概念；反比例函数的概念；正比例函数的性质
5．【答案】(1)
(2)
(3) ，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
6．【答案】（1）7702.8；8375. 1；9098.1；10338；11005.1
（2）解：2012﹣2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率统计图如下：
（3）5.45%；从2014到2016年北京市社会消费品零售总额比上一年的增长率的平均每年下降1.05%
【知识点】统计表；折线统计图；利用统计图表描述数据
7．【答案】（1）换元
（2）或
【知识点】换元法解一元二次方程
8．【答案】（1）4；
（2）（a﹣5）（a﹣7）；
（3）-9
【知识点】配方法解一元二次方程；配方法的应用
9．【答案】（1）证明：设正方形ABCD的边长为1，则AB＝AD＝1，
∵E为AD中点，
∴AE＝ ， ∴在Rt△BAE中，BE＝ ∵EF＝BE ∴EF＝ ∴AF＝EF﹣AE＝ ， ∵四边形AFGH是正方形， ∴AH＝AF＝ ， ∴ ＝ ＝ ，
∴点H是线段AB的黄金分割点；
（2）解：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形， ∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF， ∵点C为线段AB的黄金分割点， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ，
∴△EAB∽△BCD；
（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BAE＝∠AED＝ （5﹣2）×180°＝108°，AB＝AE＝DE， ∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝ （180°﹣108°）＝36°， ∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°， ∴△AME∽△AED， ∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定
10．【答案】（1）解：因为直线y=x﹣1，其中k=1，b=﹣1，
所以点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离为：d= = = = ；
（2）解：⊙Q与直线y= x+9的位置关系为相切．
理由如下：圆心Q（0，5）到直线y= x+9的距离为：d= = =2，
而⊙O的半径r为2，即d=r，所以⊙Q与直线y= x+9相切
（3）解：当x=0时，y=﹣2x+4=4，即点（0，4）在直线y=﹣2x+4，
因为点（0，4）到直线y=﹣2x﹣6的距离为：d= = =2 ，
因为直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，所以这两条直线之间的距离为2 ．
【知识点】点到直线的距离
11．【答案】（1）10
（2）解：由题意得：前行所有点数的和为（
（3）解：不能，理由如下：
假设能为120，则n（n+1）=120.
即，
解得：.
为正整数，
前行的点数和不能为120.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；探索图形规律
12．【答案】（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；等弧所对的圆周角相等；
（2）解：∵四边形 是⊙O的内接四边形
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴
∴
∵ = ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是⊙O的内接四边形
∴
即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（4）
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
13．【答案】（1）分类讨论
（2）解：当a＞0时，如a=5则 ，故此时 展开后是它本身，
当a=0时， ，故此时 是零，
当a＜0时，如a=﹣6，则 ，
故此时 的展开后是它的相反数，
∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况， =
（3）解：
（4）解： （﹣3≤x≤5）
=|x﹣5|+|x+3|
=5﹣x+x+3
=8
【知识点】二次根式的性质与化简
14．【答案】解：（1）如图2．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，
∴△APC≌△EDC，
∴∠ACP=∠ECD，AC=EC=5，∠PCD=60°，
∴∠ACP+∠PCB=∠ECD+∠PCB，
∴∠ECD+∠PCB=∠ACB=30°，
∴∠BCE=∠ECD+∠PCB+∠PCD=30°+60°=90°．
在Rt△BCE中，∵∠BCE=90°，BC=6，CE=5，
∴，
即PA+PB+PC的最小值为；
（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE.DE，则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段；
②当B.P.E.D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，
∴△APC≌△DEC，
∴CP=CE，∠PCE=60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PE=CE=CP，∠EPC=∠CEP=60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°，
∴∠PCB=∠EPC﹣∠CBP=60°﹣∠30°=30°，
∴∠PCB=∠CBP=30°，
∴BP=CP，
同理，DE=CE，
∴BP=PE=ED．
连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．
在Rt△BOC中，∵∠BOC=90°，∠OBC=30°，BC=4，
∴BO=BC cos∠OBC=，
∴BD=2BO=，
∴BP=BD=．
即当PA+PB+PC值最小时PB的长为．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定；勾股定理；菱形的性质；旋转的性质
15．【答案】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分
（2），
，
，
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
16．【答案】（1）263
（2）解：根据题意得：S=1+21+22+…+263，①
则有2S=21+22+…+264，②
②-①得：S=264-1；
（3）解：设S=，①
则有4S=，②
②-①得：3S=-，
则S=-.
【知识点】探索数与式的规律；定义新运算
17．【答案】（1）
（2）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程；竞赛类试题
18．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴此三角形为等边三角形.
【知识点】因式分解﹣公式法；等边三角形的判定；偶次方的非负性；配方法的应用
19．【答案】（1）证明：如解图①，在BC上截取BG=PD，连接AG，
在△ABG和△ADP中，
∴△ABG≌△ADP(SAS)，
∴AG=AP，∠BAG=∠DAP，∴GC=PE，
∵∠BAD=∠BAG+∠GAD=60°，
∴∠PAG=∠GAD+∠DAP=60°，
∴△AGP 是等边三角形，∴AP=GP，
∴PA+PC=GP+PC=GC=PE，
∴PA+PC=PE；
（2）解：如解图②，连接 OM，ON，OG，将△MON绕点 M 顺时针旋转60°至△MHI，连接HO，IN，IG，
∴MN=IM，MO=MH，∠IMN=∠HMO=60°，
∴△HMO 为等边三角形，∴OM=OH，
∵∠NMG=75°，∴∠IMG=135°，过点 G 作 IM 的垂线交 IM 的延长线于点 J，
∴∠GMJ=45°，
∴IJ=MN+MJ=6+4=10，
∴OM+ON+OG=OH+HI+OG≥IG，当I，H，O，G四点共线时取得最小值，即IG 的长，在Rt△IJG中，
∴MO+NO+GO 的最小值为 ，即点O到△MNG 三个顶点的距离和的最小值为
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；费马点模型
20．【答案】（1）36；120；
（2）不能
（3）解：由题知，
前n排盆景的总数可表示为，
令n（n+1）＝420得，
解得n1＝﹣21，n2＝20．
因为n为正整数，
所以n＝20，
即一共能摆20排．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的其他应用；用代数式表示图形变化规律
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
1 / 20

展开更多......

收起↑