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2024-2025 学年上海外国语大学附属浦东外国语学校高二下学期期中
考试数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“ = 0”是“函数 ( ) = 3 是增函数”的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
2.若圆 1: ( 1)2 + ( 2)2 = 4 与圆 : ( + )22 + ( + 1)2 = 9 外切，则实数 的值为( )
A. 3 B. 5 C. 3 或 5 D. 5 或 3
3.如图是函数 = ( )的导函数 ′( )的图象，则下面判断正确的是( )
A. ( )在( 3,1)上是增函数 B. ( )在(1,2)上是减函数
C.当 = 2 时， ( )取得极小值 D.当 = 4 时， ( )取得极小值
4.已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)，点 为抛物线 的焦点，点 、 在抛物线 上( 在第一象限)，点 为点
关于原点 的对称点，且 ⊥ ，若 = ，①点 在一条定直线上；② 是定值.则( )
A.①正确，②不正确 B.①不正确，②正确
C.①正确，②正确 D.①不正确，②也不正确
二、填空题：本题共 12 小题，共 60 分。
5.抛物线 2 = 12 的准线方程是 ．
2 26.双曲线 2 3 = 1 的焦距为 ．
7.设函数 ( ) = 2 1，则lim (1+ ) (1) = ． →0
8.已知点 1,0 ， (2,0)，动点 满足 2| | = | |.则动点 的轨迹方程 ．
9.已知圆 : 2 + 2 4 = 0，点 1, 3 ，则经过点 且与圆 相切的直线方程为 ．
10 :
2

2
.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线与直线 : + 3 + 2025 = 0 垂直，则 的离心率
为 ．
11.已知 为抛物线 : 2 = 2 上的动点， 为 的焦点，若点 (1,2)，则| | + | |的最小值为 ．
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12.某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 (单位：m)与跳起后的时间 (单位：s)存在函
数关系 ( ) = 4.9 2 + 4.8 + 11， ( )的图象如图所示，已知曲线 ( )在 = 0处的切线 0平行于 轴，根据
图象，给出下列四个结论：
①在 = 0时高度 关于时间 的瞬时变化率为 0；
②曲线 ( )在 = 2附近比在 = 1附近下降得慢；
③曲线 ( )在 = 3附近比在 = 4附近上升得快；
其中所有正确结论的序号是 ．
13 1.已知函数 = ( )的导函数为 = ′( )，且 ( ) = 3
3 + ′(1) 2 + 1，则 = ( )的图象在 = 3 处的
切线方程为 ．
14.设 ∈ , ( ) = 2 + + ln ，若函数 = ( )存在两个不同的极值点，则 的取值范围为 ．
15.定义两个点集 、 之间的距离集为 ( , ) = | | ∈ , ∈ ，其中| |表示两点 、 之间的距离，
已知 、 ∈ R， = ( , ) = + , ∈ R ， = ( , ) = 4 2 + 1, ∈ R ，若 ( , ) = (1, + ∞)，则
的值为 ．
2
16.已知实数 , 满足 > e2 > 1 2 2，且 ln ln = e2 ，若实数 ,

使得关于 的方程 + + = 0 在区间
[1,2]上有解，则 2 + 2的最小值是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = 3 2 + , ∈ 的图象过点(2,4)，且 ′(1) = 1．
(1)求 ， 的值；
(2)求函数 ( )的单调区间和极值．
18.(本小题 14 分)
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某公司生产的某批产品的销售量 万件(生产量与销售量相等)， > 0，已知生产该批产品共需投入成本 3 +
12 2 + 36 200万元，产品的销售价格定为 180 + 元/件．
(1)将该产品的利润 万元表示为销售量 万元的函数；
(2)当销售量 投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？
19.(本小题 14 分)
已知抛物线 : 2 = 4 ，定点 (0,1)．
(1)过点 且过抛物线 的焦点 的直线，交抛物线 于 、 两点，求| |；
(2)求过点 且与抛物线 有且仅有一个公共点的直线方程．
20.(本小题 14 分)
:
2
已知椭圆 22 + = 1 的左、右焦点分别为 1、 2，过 2的直线 与椭圆 交于 、 两点．
(1)求 的短轴长及 1 的周长；
(2)若直线 过点 (2,1)，求弦长| |；
(3)若直线 不平行于坐标轴，点 为点 关于 轴的对称点，直线 与 轴交于点 ，求 1 面积的最大值．
21.(本小题 14 分)
设 是坐标平面 上的一点，曲线Γ是函数 = ( )的图像．若过点 恰能作曲线Γ的 条切线( ∈ )，则称
是函数 = ( )的“ 度点”．
(1)判断点 (0,0)是否为函数 = ln 的 1 度点，并说明理由;
(2)已知 0 < < π， ( ) = sin .证明：点 0, π 是 = ( )(0 < < )的 0 度点；
(3)求函数 = 3 的全体 2 度点构成的集合．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. = 3
6.2 5
7.1
8.( + 2)2 + 2 = 4
9. 3 + 2 = 0
10. 10
11.52
12.①③
13. = 3 8
14. ∞, 2 2
15. 5
4
16.e2
17.【详解】(1)对函数 ( )求导得 ′( ) = 3 2 2 ，故 ′(1) = 3 2 = 1，解得 = 1，
由题意可知 (2) = 8 4 + = 4 + = 4，解得 = 0，
故 = 1, = 0．
(2)由(1)可知函数 ( ) = 3 2，定义域为 ，
′( ) = 3 2 2 = (3 2)，令 ′( ) = 0，得 = 0 2或3，
当 ∈ ( ∞,0) ∪ 23 , + ∞ 时，
′( ) > 0 2；当 ∈ 0, 时， ′3 ( ) < 0，
故函数 ( ) 2的单调递增区间为( ∞,0)和 3 , + ∞
2
，单调递减区间为 0, 3 ，
极大值为 (0) = 0，极小值为 23 =
4
27．
18.【详解】(1)由题意知，
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= 180 + 200 3 2 + 12 + 36 = 180 + 200
3 12 2 36 ，
= 3 12 2 + 144 + 200( > 0)．
(2) ′ = 3 2 24 + 144 = 3 2 + 8 48 = 3( + 12)( 4)，
当 ∈ (0,4)时， ′ > 0，函数 = 3 12 2 + 144 + 200( > 0)单调递增；
当 ∈ (4, + ∞)时， ′ < 0，函数 = 3 12 2 + 144 + 200( > 0)单调递减，
则当 = 4 时，利润最大，最大为 520 万元．
19.【详解】(1)由题意可得 (1,0) 1 0，直线 的方程为 = 0 1 + 1，即 = + 1，
= + 1
联立解方程组 ，可得 2 2 = 4 6 + 1 = 0，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 1 + 2 = 6，
| | = 1 + 2 + = 1 + 2 + 2 = 8，
(2)当直线斜率不存在时，直线方程为 = 0，与抛物线只有一个交点(0,0)，
当直线斜率存在时，设直线方程为 = + 1，
= + 1
联立 2 = 4 ，得
2 4 + 4 = 0，
当 = 0 时，方程的解为 = 1，此时直线与抛物线只有一个交点，
当 ≠ 0 时，则 = 16 16 = 0，解得 = 1，直线方程为 = + 1
20.【详解】(1)由题意 = 1，短轴长为 2 = 2，
又 = 2， 1 + 2 = 2 = 2 2， 1 + 2 = 2 = 2 2，
所以 1的周长为| | + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 + 1 = 4 2；
(2) = 2 2 = 1， 2(1,0)，又直线 过点 (2,1) =
1 0
，所以 2 1 = 1，直线方程为 = 1，
= 1 4 1 = 0 2 =由 2 2 ，得 = 1 ,
3 4 1
1，不妨取 (0, 1)， ( , )，
2 + = 1 1 =
3 3
2 3
所以| | = ( 4 0)2 + ( 1 + 1)2 = 4 23 3 3 ；
(3)由题意设直线 方程为 = + 1( ≠ 0)，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，则 ( 1, 1)，
= + 1
由 2 ，得( 2 + 2) 2 + 2 1 = 0，
2 +
2 = 1
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1 + 2 =
2
2+2， 1 2 =
1
2+2，
+
直线 方程为 = 2 12 ( 2)，2 1
令 = 0，得 = 1 2+ 2 1 = ( 1+1) 2+( 2+1) ，所以 1 = 2 1 2 + 1 2 1+ 2 1+
+ 1 = 2，
2
1( 1,0)， 1 = 2 ( 1) = 3，
1
所以 1 = 2 1 2 =
3
2 2 ，
所以当 3是短轴端点时， 2 max = 1，即 1 面积的最大值为2．
21. 1【详解】(1)依题意， ′ = ，则曲线 = ln 在点( 0 , ln ) ln =
1
0 处的切线方程为 0 ( 0)，0
该切线过点 当且仅当 ln 0 = 1，即 0 = e，
所以原点 是函数 = ln 的一个 1 度点．
(2)设 > 0， ′ = cos ，
则曲线 = sin 在点( , sin )处的切线方程为 sin = ( )cos ，
则该切线过点(0 , π)，当且仅当 sin = cos ，
设 ( ) = sin cos π，则当 0 < < π时， ′( ) = sin > 0，函数 ( )在(0 , π)上严格增，
因此当 0 < < < 时， ( ) < (π) = 0，则方程 sin = cos 无解，
所以点(0 , π)是 = ( )的一个 0 度点．
(3)函数 = 3 ，求导得 ′ = 3 2 1，
对任意 ∈ ，曲线 = 3 在点( , 3 )处的切线方程为 ( 3 ) = (3 2 1)( )，
则点( , )为函数 = 3 的一个 2 度点当且仅当关于 的方程 ( 3 ) = (3 2 1)( )恰有两个不
同的实数解，
设 ( ) = 2 3 3 2 + ( + )，则点( , )为函数 = 3 的一个 2 度点当且仅当 = ( )两个不同的零点，
若 = 0，则 ( ) = 2 3 + 在 上严格增，只有一个实数解，不合要求；
若 > 0，求导得 ′( ) = 6 2 6 ，当由 < 0 或 > 时， ′( ) > 0；当 0 < < 时， ′( ) < 0，
函数 = ( )在( ∞,0), ( , + ∞)上严格增；在(0, )上严格减．
则函数 ( )在 = 0 时取得极大值 (0) = + ，在 = 时取得极小值 ( ) = + 3，
3 3 3
又 ( + 2 ) = 3 (
+ 2 3
2 ) < 0， (3 + | |) = 27
3 + 36 2 3 | | + 9 2 + 2| | + + ≥ > 0，
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因此当 (0) > 0 > ( )时，由零点存在定理， = ( )在( ∞ , 0)、(0 , )、( , + ∞)上各有一个零点，不
合要求；
当 0 > (0) > ( )时， = ( )仅( , + ∞)上有一个零点，不合要求；
当 (0) > ( ) > 0 时， = ( )仅( ∞ , 0)上有一个零点，也不合要求，
因此 = ( )两个不同的零点当且仅当 (0) = 0 或 ( ) = 0，
若 < 0，同理可得 = ( )两个不同的零点当且仅当 (0) = 0 或 ( ) = 0，
所以 = 3 的全体 2 度点构成的集合为 ( , ) = 或 = 3 , ≠ 0 ．
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