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2024-2025学年湖南省常德市汉寿县第一中学高二下学期 5月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合 = = lg( 1) = = 1， 2 , ≥ 1 ，则 ∩ =( )
A. 0, 1 12 B. 2 , 1 C. (0,1) D.
2.若复数 满足(1 i) = |1 + i|，则 的虚部是( )
A. i B. 1 C. 22 i D.
2
2
3.已知向量 = 1,2 , = 0,3 ，如果向量 + 2 与 垂直，则实数 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 17 1724 D. 24
4.等差数列 中， 1 = 1, 4 = 8，则 的公差 =( )
A. 3 B. 2 C. 2 D. 3
5.已知 , , 为 的三个内角，下列各式不成立的是( )
A. sin = sin( + ) B. cos = cos( + )
C. sin = cos + 2 2 D. cos

2 = sin
+
2
6.已知 ∈ R 时，直线 1: 2 + 4 = 0 与直线 2: + 2 4 = 0 相交于点 0, 20 ，则 0 +
20的值( )
A.无最大值，最小值为 8 B.最大值为 32，无最小值
C.最大值为 32，最小值为 8 D.不存在最值
2
7 ( ) = 2 + + 2, ≤ 1 .定义在 上的函数 满足对任意 ， ( ≠ )时，都有 1 2( 4) + 1, > 1 1 2 1 2 < 0 成立，1 2
则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞,1] B. (4, + ∞) C. [1,4) D. [1,3]
8.已知定义在( 3,3)上的函数 ( )满足 ( ) + e4 ( ) = 0, (1) = e2, ′( )为 ( )的导函数，当 ∈
[0,3)时， ′( ) > 2 ( )，则不等式e2 (2 ) < e4的解集为( )
A. ( 2,1) B. (1,5) C. (1, + ∞) D. (0,1)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.有一组样本数据 1， 2，…， ，由这组数据得到新样本数据 1， 2，…， ， ，其中 =

=1 ，则( )
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A.两组样本数据的样本平均数相同 B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同 D.两组样本数据的样本极差相同
10 π.已知函数 ( ) = sin 2 + 4 ，则下列选项正确的有( )
A. 2π不是 ( )的周期
B. ( ) = 1 π成立的充要条件是 = 8 + π， ∈
C. ( )的图象可通过 = sin2 π的图象上所有点向左平移8个单位长度得到
D. ( ) π 5π在区间 8 , 8 上单调递减
11.已知函数 ( )及其导函数 ′( )的定义域均为 ，记 ( ) = ′( )，若 ( )关于直线 = 1 对称， (3 +
2 )为奇函数，则( )
A. ′( 1) = 0 B. (2023) + ( 2025) = 1
C. (3) = 0 D. (2023) = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
5
12.在 2 的展开式中， 2的系数为 ，各项系数之和为 ．
13.在正六棱锥 中， = 2， = 2 5，则此正六棱锥的侧面积为 ；该正六棱锥的外接
球的表面积为 ．
14.某工厂由甲、乙两条生产线来生产口罩，产品经过质检后分为合格品和次品，已知甲生产线的次品率为
4％，乙生产线的次品率为 7％，且甲生产线的产量是乙生产线产量的 2 倍．现在从该工厂生产的口罩中任
取一件，则取到合格品的概率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0, | | < 2 的部分图象如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式；
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(2) 将函数 ( )的图象向左平移12个单位长度后得到函数 ( )的图象，求 ( )在区间 2 , 0 上的值域．
16.(本小题 15 分)
3
已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点 1, 2在 轴上，点 2 , 1 在 上，长轴长与短轴长之比为 2: 3．
(1)求椭圆 的方程．
(2)设 为 的下顶点，过点 (0,4)且斜率为 的直线与 相交于 , 两点，且点 在线段 上．若点 在线段
上，∠ = 2∠ ，证明：| | | | = | | | |．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， // ，且∠ = 120°， = = 2， = = 1， = 2， = 2 2，
为 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)在线段 2 5 上是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 5 ？若存在，求出 的值；若
不存在，说明理由．
18.(本小题 17 分)
考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考.现在有一张某驾校学员第一次考
试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据(见下表)：
成绩
合格不合格合计
性别
男性45 10
女性30
合计 105
(1)完成此表；
(2)根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试
说明理由．
参考公式：①相关性检验的临界值表：
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2
≥ 0 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.10
0
0.7081.3232.0722.7063.8415.0246.635
2
②卡方值计算公式： 2 = ( )( + )( + )( + )( + ) .其中 = + + + ．
19.(本小题 17 分)
对于给定的数列 ，如果存在实常数 、 ，使得 +1 = + 对于任意 ∈ N 都成立，我们称数列
是“优美数列”．
(1)若 = 2 , = 3 2 , ∈ N ，数列 、 是否为“优美数列”？若是，指出它对应的实常数 、 ，
若不是，请说明理由；
(2)已知数列 满足 = 2, + = 3 2 ∈ N 1 +1 .若数列 是“优美数列”，求数列 的通项公式．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 10
； 1
13.6 19
；25
14.0.95/1920
15. 5 2 【详解】解：(1)由最大值可确定 = 2，因为 = 4 12 6 = ，所以 = = 2，
5 5
此时 ( ) = 2sin(2 + )，代入最高点 12 , 2 ，可得：sin 6 + = 1，
5
从而 6 + =

2 + 2 ( ∈ )，结合| | <

2，于是当 = 0 时， = 3，

所以 ( ) = 2sin 2 3 ．
(2) ( ) = + 由题意， 12 = 2sin 2 + 12 3 = 2sin 2

6 ，
7 7 1
当 ∈ 2 , 0 时，2 6 ∈ 6 , 6 ，则有 sin 2 6 ∈ sin 2 , sin 6 ，即 sin 2 6 ∈ 1, 2 ，
( ) 所以 在区间 2 , 0 上的值域为[ 2,1]．
2 2
16. 【详解】(1)设椭圆 的方程为 2 + 2 = 1( > > 0)．
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1 + 9 = 1 2
由题意可知 2 4 2 ，解得 = 42 ,
3 = 2 = 3
2 2
故椭圆 的方程为 4 + 3 = 1．
(2)由(1)可知 (0, 2)．
设 1, 1 , 2, 2 , 0, 0 ，直线 的方程为 = + 4．
2 2
4 + 3 = 1由 ，得 3 2 + 4 2 + 24 + 36 = 0，
= + 4
24 36
则Δ = (24 )2 4 3 2 + 4 × 36 = 144 2 4 > 0, 1 + 2 = 3 2+4 , 1 2 =
2
3 2+4，所以 > 4．
由∠ = 2∠ ，得∠ + ∠ = 2∠ ，
所以∠ = ∠ ，则| | = | |，
| | 所以点 在线段 的垂直平分线 = 1 上，即 0 = 1.易知 1| | = ．2
设 = ，则 0 1, 0 1 = 2 0, 2 0 ，
则 0 1 = 2 0 .①
又点 0, 1 在直线 上，所以 1 = 0 + 4，
36
= 3 = 72
2×
3 2+4 2 则 1 20 24 = 24
= + ，
3 2
1 2
+4
所以 0 1 + 2 = 2 1 2，则 2 0 1 2 = 1 2 1 0．
整理，得 0 =
1
1 2

0 .②由①②，得 = 1 ．2 2

所以 = 1
| | = 1 | | | |，则| | ，所以
1
2 2 | |
= = ，故| | | | = | | | |．2 | |
17.【详解】(1)
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取 中点 ，连 , ，
由 为 的中点，则 // ，又 // ，
则 // 1，又 = 2 = ，
所以四边形 为平行四边形，
则 // ， 平面 ， 平面 ，
则 //平面 ．
(2)取 中点 ，连 ，
由 // 且 = ，则四边形 是平行四边形，
故 = = 1，又 = 1, = 2，则 2 + 2 = 2，
所以 ⊥ ，由 // ，则 ⊥ ，
在 中， = 2, = 1, ∠ = 120 ，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos120 = 1 + 4 + 2 × 2 × 12 = 7，
则 = 7，而 = 1, = 2 2，所以 2 + 2 = 2，
则 ⊥ ，即 ⊥ ，又 // ，所以 ⊥平面 ，
在平面 内作 ⊥ ．
以 , , 为 , , 轴正向建立空间直角坐标系 ，
则 (0,0,2), (0,1,0), 3, 1,0 , (0,1,1), 3 12 , 2 , 0 ，
所以 = 3, 1,2 , = 3 , 3 , 0 , 2 2 = (0,1, 1),
= 3 12 , 2 , 0 ，
假设存在点 满足题意，设 = (0 ≤ ≤ 1)，
3 2 1
则可得 = 3 , , 2 , = + = 2 (1 2 ), 2 , 2 ，
设平面 的法向量 1 = ( , , )，
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31 = 2 (1 2 ) +
2 1
则 2
+ 2 = 0
，令 = 1，
1 =
3
2
3
2 = 0
则 1 = 3, 1,
2 1
2 ；
设平面 的法向量 2 = ( , , )，
2 = 3 + + 2 = 0则 ，令 = 1，则 2 = 3, 1,1 ； 2 = = 0
2 5 4+
2 1
所以 5 = cos 1 , =
1 · 2 2
2 1
= ，
2
5 4+ 2 1
2
2
1
解得 = 2 ∈ [0,1]，
所以假设成立，即存在 2 5，且 = 1 时，使得平面 与平面 的夹角的余弦值为 5 ．
18.【详解】(1)
成绩
合格不合格合计
性别
男性45 10 55
女性30 20 50
合计75 30 105
2
(2)假设 20：性别与考试是否合格无关， =
105(45×20 30×10)
75×30×55×50 ≈ 6.109．
若 0成立， 2 ≥ 5.204 = 0.025，
∵ 2 ≈ 6.109 ≥ 5.204，
∴有 97.5%的把握认为性别与考试是否合格有关．
19.【详解】(1) ∵ = 2 , ∴ +1 = + 2, ∈ N ，
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∴数列{ }是“优美数列”，对应的实常数分别为 1，2．
∵ = 3 × 2 ，∴ +1 = 2 , ∈ N ，
∴数列{ }是“优美数列”，对应的实常数分别为 2，0．
(2)数列 是“优美数列”，
∴存在实常数 、 ，使得 +1 = + 对于任意 ∈ N 都成立，
则 +2 = +1 + 对于任意 ∈ N 都成立，
∴ + = + +1 +2 +1 + 2 对于任意 ∈ N 都成立，
又∵ + = 3 2 +1 ∈ N ，且 +1 +1 + +2 = 3 2 ∈ N ，
则有 3 2 +1 = 3 2 + 2 对于任意 ∈ N 都成立，
即 3 2 (2 ) = 2 对于任意 ∈ N 都成立，
因此 2 = 0,2 = 0；
此时， +1 = + = 2 ，且 1 ≠ 0，所以 是等比数列，
又∵ 1 = 2，∴ = 2 , ∈ N ．
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