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2024-2025 学年湖北省沙市中学高二下学期 5 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
5
1. 2 1 2 展开式中的常数项为( )
A. 10 B. 10 C. 80 D. 80
2.某校高三年级有 1000 人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布 100, 2 ，且成绩不低
于 110 分的人数为 200，则此次考试数学成绩高于 90 分的人数约为( )
A. 700 B. 800 C. 900 D. 950
3 .记 为等比数列 的前 项和.若 4 2 = 6， 5 3 = 12，则 =( )
A. 2 1 B. 2 21 C. 2 2 1 D. 21 1
4.曲线 = e + 在点(0,1)处的切线与直线 + 2 = 0 垂直，则 =( )
A. 2 B. 0 C. 1 D. 2
5.公共汽车上有 3 名乘客，在沿途的 4 个车站随机下车，3 名乘客下车互不影响，则恰有 2 名乘客在第 4
个车站下车的概率是( )
A. 13 B.
1 3 9
9 C. 64 D. 64
6.已知 = 1 = ln5e， 5 ， =
2ln3
9 ，则 ， ， 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
7
2 2
.设 1， 2是双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左，右焦点， 是坐标原点.过 2作 的一条渐近线的垂
线，垂足为 ，若 2 1 = 1 2 ，则 的离心率为( )
A. 5 B. 2 C. 3 D. 2
8.如图，在某城市中， ， 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 1， 2， 3， 4是道路网中位于一条对
角线上的 4 个交汇处.今在道路网 ， 处的甲、乙两人分别要到 ， 处，他们分别随机地选择一条沿街的
最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 ， 处为止，则甲、乙两人相遇的概率为( )
A. 1 B. 412 100 C.
81 81
200 D. 400
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 1 ≠ 2，且对于任意正整数 都有 ≥ 2025，则( )
A. < 0 B. 是公差为 2 11 2 的等差数列
C. 4049 ≤ 0 D. ∈ N ， +1 < 0
10.现有 5 个编号为 1，2，3，4，5 的不同的球和 5 个编号为 1，2，3，4，5 的不同的盒子，把球全部放
入盒子内，则下列说法正确的是( )
A.若自由放置，共有 3125 种不同的放法
B.恰有一个盒子不放球，共有 240 种放法
C.每个盒子内只放一个球，恰有 2 个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有 20 种
D.将 5 个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有 20 种

2 1 , < 0
11.设函数 ( ) = 2 ，则( )
e 1 , ≥ 0
A. ( )的单调递增区间为( ∞,0)，(0,1)
B. ( )有三个零点
C.若关于 的方程 ( ) 2 + (1 ) ( ) = 0 有四个不同实根，则 ∈ (0,1)
1
D.若 ( ) ≤ + 12 对于 ≥ 0
1
恒成立，则 ∈ 2 e2, + ∞
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.斜率为 1 的直线 经过抛物线 2 = 8 的焦点 ，且与抛物线相交于 ， 两点，则线段 的长为 ．
13.已知函数 ( ) = e cos + π4 在 ∈ 0, π 上存在零点，则实数 的最小值为 ．
14.现有 个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号——处理并产生新信号——发射
新信号．当处理器接收到一个 类信号时，会产生一个 类信号和一个 类信号并全部发射至下一个处理器；
当处理器接收到一个 类信号时，会产生一个 类信号和两个 类信号，产生的 类信号全部发射至下一个处
理器，但由接收 类信号直接产生的所有 类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个
类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第 个处理器发射的 类信号数量记作 ，即 1 = 0，则
4 = ，数列 的通项公式 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ln 2 + 2( ∈ ).
(1)若 = 1 是函数 = ( )的极值点，求 的值；
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(2)讨论 ( )的单调性．
16.(本小题 15 分)
已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个 1 号球，一个 2 号球和
一个 3 号球；乙袋内装有两个 1 号球和一个 3 号球；丙袋内装有三个 1 号球，两个 2 号球和一个 3 号球．
(1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量 为 1 号球的个数，求 的分布列；
(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出 1 个球，若摸出的是 1 号球放入甲袋，
摸出的是 2 号球放入乙袋，摸出的是 3 号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出 1 个球．求第
二次摸到的是 3 号球的概率．
17.(本小题 15 分)
对于数列 , ∈ , ∈ 且
1 1
∈ 4 , 4 ，则称数列 为 的“四分差数列”.已知数列 为数
列 的“四分差数列”．
(1)若 = 2 + 6 5，求 1, 2, 3的值．
(2)设 = + 1．
①求 的通项公式；
②若数列 满足 = 1，且 的前
2
项和为 ，证明： + 2 < ．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左焦点为 1，点 1,
3
2 在椭圆 上，且 1 ⊥ 轴.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知点 0(1,4)，证明：线段 1 0的垂直平分线与 恰有一个公共点；
(3)设 是坐标平面上的动点，且线段 1 的垂直平分线与 恰有一个公共点，证明 的轨迹为圆，并求该圆
的方程．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln ( 1)．
(1)当 ≥ 1 时， ( ) ≥ 0，求 的取值范围；
(2)函数 ( ) = ( ) 2 + ( 1) 有两个不同的极值点 1, 2(其中 1 < 2)，证明：ln 1 + 3ln 2 > 4；
(3) 1 1 1 1求证： +1+ +2 + +3 + … + 2 < ln2 ∈ ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.16
π
13. 22 e
2
14. 0, = 18； 3 2 2 , ≥ 2
15. 1【详解】(1)由题意可得 ( )的定义域为(0, + ∞)，且 ′( ) = 2 ，
∵ = 1 是函数 = ( )的极值点，
∴ ′( ) = 1 2 = 0，即 = 12．
2
当 = 12时，
′( ) = 1 =
1
，由
′( ) = 0 得 = 1 或 1(舍)，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 > 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
∴ 1满足 = 1 是函数 = ( )的极值点，因此 = 2．
2
(2) ′( ) = 1 2 = 1 2 ，
当 ≤ 0 时，因为 > 0，所以 1 2 2 > 0，则 ′( ) > 0， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 > 0 时， ′( ) = 0 得 1 =
1 1
2 (舍), 2 = 2 ，
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当 0 < < 12 时，
′( ) > 0， ( )单调递增；
当 > 12 时，
′( ) < 0， ( )单调递减；
则函数 ( ) 1 1的单调增区间为(0, 2 )，单调减区间为( 2 , + ∞)；
综上可知：当 ≤ 0 时， ( )的单调增区间为(0, + ∞)，无单调减区间；
当 > 0 时，函数 ( ) 1 1的单调增区间为(0, 2 )，单调减区间为( 2 , + ∞)．
0 2 1 1 2 0
16. (1) = 0,1,2 ( = 0) = C2C2 = 1 C C 2 C C 1【详解】 由题意，随机变量 ，则 ， ( = 1) = 2 2 = ， ( = 2) = 2 2 = ，
C2 2 24 6 C4 3 C4 6
所以 的分布列如下，

0 1 2
1 2 1
6 3 6
(2)记第一次从甲袋随机摸出 1 个球，摸出的是 1,2,3 对应事件分别为 1, 2, 3，
第二次摸到的是 3 1 1 1 2号球为事件 ，则 ( 1) = 2 , ( 2) = ( 3) = 4， ( | 1) = ( | 2) = 4 , ( | 3) = 7，
所以 ( ) = ( 1) ( | 1) + ( 2) ( | 2) + (
1 1 1 1 1 2 29
3) ( | 3) = 2 × 4 + 4 × 4 + 4 × 7 = 112．
17.【详解】(1)由题意可设： =
1 1
∈ 4 , 4 ，则 = ，
若 = 2 +
6 6 19 29
5，则 = 2
+ 5 ∈ 2 + 20 , 2 + 20 ，
且 ∈ ，可得 = 2 + 1，
所以 1 = 3, 2 = 5, 3 = 9．
(2)①由(1)可得 = ，
若 = + 1，则 = + 1 ∈ +
3 , + 54 4 ，
且 ∈ ，可得 = + 1，
所以 的通项公式 = + 1；
②因为 = 1，即 + 1 = 1，
1 2 2则 = +1 = 2 +1 < + +1 = 2 + 1 ，
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< 2 2 1 + 3 2 + + + 1 = 2 + 1 1 = 2可得 2，
所以 2 + 2 < ．
18.【详解】(1)
∵ 31 ⊥ 轴.， 1, 2 ，
∴ 1( 1,0)，则 = 1，
∵ 2 = 2 2，
∴ 2 = 2 + 1，
又∵ 1, 32 在椭圆 上，
3 22 9
∴ ( 1) + 2 2 2 = 1
1
即 4 2 + 2 = 1，
9
1 4
联立 2 + 2 = 1 ,
2 = 2 + 1
化简得：4 4 9 2 9 = 0 3，解得： 2 = 3， 2 = 4 (舍)，
∴ 2 = 4，
2 2
∴ 椭圆 的方程 4 + 3 = 1．
(2)
∵ 1( 1,0)， 0(1,4)，
∴ 4 01 0中点坐标为(0,2)， 1 0 = 1 ( 1) = 2，
∴ 1线段 1 0的垂直平分线的斜率为 2，
∴ 1 1线段 1 0的垂直平分线的方程为 2 = 2 ( 0)，即 = 2 + 2，
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2 2
4 +
= 1 = 1
联立 31 ，解得 = + 2 =
3 ,
2
2
线段 31 0的垂直平分线与 恰有一个公共点，公共点坐标为 1, 2 ．
(3)
, = 0 = 0 1设 0 0 ，当 0 时， 1 的垂直平分线方程为 2 ，
0 1此时 2 =± 2，解得 0 = 5 或 3；
2 2
当 0 ≠ 0 时， 1 的垂直平分线方程为 =
0+1 0 1 + 0 = 0+1 + 0+ 0 1 0 2 2 0 2
，
0
2 2
= 0+1 +
0+ 0 1
2
联立 0 0 得：
2 2
4 +

3 = 1
2
4 0+1 2 2 4 0+1
2
0+
2
0 1
2+ 2 1
3 + 2 2 +
0 0
2 12 = 0， 0 0 0
∵线段 1 的垂直平分线与 恰有一个公共点，
16 0+1 2 2 2
2 2
0+ 0 1 4 0+1 2
2+ 2
∴ Δ = 4 3 + 0 0
1
4 2 2
12 = 0，
0 0 0
整理得： 4 + 2 2 14 2 + 4 20 0 0 0 18 0 32 0 15 = 0，
即 40 + 2 20 14 20 + 2 20 + 2 0 + 1 0 2 0 15 = 0，
20 + 20 + 2 0 + 1 2 20 + 0 2 0 15 = 0，
∵ 2 + 2 2 20 0 + 2 0 + 1 = 0 + 1 + 0 > 0，
∴ 2 20 + 0 2 0 15 = 0，
∵ (5,0), ( 3,0)也满足方程，
∴点 的轨迹是圆，圆的方程为 2 + 2 2 15 = 0，即( 1)2 + 2 = 16．
19.【详解】(1)函数 ( ) = ln ( 1)， ′( ) = ln + 1 ，且 (1) = 0，
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①当 ≤ 1 时，因为 ≥ 1，故 ′( ) ≥ 0 恒成立，此时 ( )单调递增，所以 ( ) ≥ 0 成立；
②当 > 1 时，令 ′( ) = ln + 1 = 0，得 = e 1，
当 ∈ 1, e 1 时 ′( ) ≤ 0，此时 ( )单调递减，故 ( ) ≤ (1) = 0，不满足题意；
综上可知： ≤ 1．
即 的取值范围为( ∞,1]．
(2)由 ( ) = ( ) 2 + ( 1) = ln 2 + ，故 ′( ) = ln + 1 2 1 = ln 2 ，
因为函数有两个不同的极值点 1, 2(其中 1 < 2)，故 ln 1 = 2 1, ln 2 = 2 2．
要证：ln 1 + 3ln 2 > 4，只要证：4 < ln 1 + 3ln 2 = 2 1 + 6 2 = 2 1 + 3 2 ．
因为 0 < 1 < 2，于是只要证明 2 >
4
+3 即可．1 2
因为 ln 1 = 2
ln 1 ln 2
1, ln 2 = 2 2，故 2 = 1
，
2
ln ln 4 4
因此只要证 1 2 1 1 2 1
>
2
，等价于证 ln < ，
1+3 2 2 1+3 2
4 1
ln 1 <
1
2 = 即证 1 ，令
1
(0 < < 1)
4( 1)
，等价于证明 ln <
2 +3 2 +3
，
2
2
令 ( ) = ln 4( 1) +3 (0 < < 1),
′( ) = 1 16 = 10 +9 = ( 1)( 9) ( +3)2 ( +3)2 ( +3)2 ，
因为 0 < < 1，所以 ′( ) > 0，
故 ( )在(0,1)上单调递增，所以 ( ) < (1) = 0，得证．
(3) (1) > 1 ( ) = ln ( 1) > 0 ln > 1由 可知当 时， ，故 ，
1
= 1 + 1 ln 1 + 1令 ，所以 >

+1 =
1 1
+1，所以 +1 < ln( + 1) ln ，

1 1 1 1
+ 1 + + 2 + + 3 + … + 2 < ln( + 1) ln + ln( + 2) ln( + 1) + + ln(2 ) ln(2 1)
= ln2 ln = ln2，
1 1 1 1
所以 +1+ +2 + +3+ … + 2 < ln2．
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