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2024-2025 学年内蒙古赤峰曾军良实验学校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为 0～255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色
的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为( )
A. 2563 B. 27 C. 2553 D. 6
2 π.已知函数 ( ) = cos sin ，则 ′ 2 的值为( )
A. π2 B.
π
2 C. 1 D. π
3.已知具有线性相关的两个变量 , 之间的一组数据如表：
2 1 1 2 3
24 36 40 48 56
且回归方程为 = 5.5 + ，则当 = 4 时， 的预测值为( )
A. 59.5 B. 60.5 C. 61.5 D. 62.5
4.袋中装有 5 个红球、10 个黑球.每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球后则另外换 1 个红球放回袋中，直
到取得红球为止.若抽取的次数为 ，则表示事件“放回 3 个红球”的是( )
A. = 2 B. = 3 C. = 4 D. = 5
5.已知随机变量 的分布列如图所示，若 = 3 + 2，则 ( ) =( )
0 1
1 2
3 3
A. 23 B. 2 C.
8
3 D. 4
6.若(3 1)7 = 7 7 + 66 + 1 + 0，则 7 + 6 + 1的值是( )
A. 1 B. 127 C. 128 D. 129
7.从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中依次不放回地取 2 个数，事件 为“第一次取到的是偶数”，事件 为“第二次取到
的是 3 的整数倍”，则 ( ∣ )等于( )
A. 11 B. 3 C. 1132 8 45 D.
3
4
8.若函数 ( ) = ln 在 0,2e 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围是( )
A. ∞, ln2e B. 0, 1 1 ln2e 12e 2 C. 0, e D. 2e , e
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙、丙、丁、戊五个人并排站在一起拍照，下列说法错误的是( )
A.若甲站正中间，则共有 24 种排法
B.若甲、乙相邻，则共有 36 种排法
C.若甲不站两端，则共有 48 种排法
D.若甲、乙、丙各不相邻，则共有 12 种排法
10 1 1.已知 ( ) = 5， ( | ) = 4 .若随机事件 ， 相互独立，则( )
A. ( ) = 13 B. ( ) =
1 4 4
20 C. ( | ) = 5 D. ( + ) = 5
11.定义在[ 1,5]上的函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，函数 ( )的部分对应值如下表．下列关于
函数 ( )的结论正确的是( )
1 0 2 4 5
( ) 1 2 0 2 1
A.函数 ( )的极值点的个数为 3
B.函数 ( )的单调递减区间为(0,2) ∪ (4,5)
C.若 ∈ [ 1, ]时， ( )的最大值是 2，则 的最大值为 4
D.当 1 ≤ < 2 时，方程 ( ) = 有 4 个不同的实根
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在某项测量中，其测量结果 服从正态分布 3, 2 ( > 0) 1，且 ( > 4) = 5，则 ( > 2) = ．
13.某综合性大学数学系为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原
本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完，
且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有 种不同的选修方式
可选．(用数字填写答案)
14.已知定义在(0, + ∞)上的函数 ( )满足 ′( ) ( ) < 0，且 (2) = 2，则 e e > 0 的解集是 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设函数 ( ) = 3 3 2 9 + 8．
(1)求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程；
(2)求 ( )在区间[ 2,3]上的最大值和最小值．
16.(本小题 15 分)
3
已知在 2 + 3 的展开式中，第 3 项的二项式系数与第 2 项的二项式系数的比为 5 ∶ 2．
(1)求 的值；
(2)求展开式中含 2的项的系数；
(3)设 = 3 + C1 3 1 + C23 2 + + C 1 3，则当 = 2024 时，求 除以 15 所得余数．
17.(本小题 15 分)
为了推动足球运动的发展，某足球比赛允许不同俱乐部的运动员参加．现有来自甲俱乐部的运动员 4 名，
其中知名选手 2 名；乙俱乐部的运动员 5 名，其中知名选手 3 名．从这 9 名运动员选择 5 名参加比赛．
(1)求选出的 5 人中恰有 2 人是知名选手，且这 2 名知名选手来自同一俱乐部的概率；
(2)设随机变量 为选出的 5 人中知名选手的人数，求 的分布列与数学期望．
18.(本小题 17 分)
河北省高考从 2018 年秋季高中入学的新生开始新模式，即 3 + 1 + 2 模式；2021 年开始，高考总成绩由
语数外+物理、历史(选 1 门) +化学、生物、政治、地理(选 2 门)等六门科目构成．现将每门选考科目的考
生原始成绩从高到低划分为 、 +、 、 +、 、 +、 、 共 8 个等级．参照正态分布原则，确定各等级
人数所占比例分别为 3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将
至 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]、[81,90]、[71,80]、[61,70]、[51,60]、
[41,50]、[31,40]、[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共 2000 人，为给高一学生
合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布 (60,169)．
(1)求化学原始成绩在区间(47,86)的人数；
(2)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取 3 人，记 表示这 3 人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求
的分布列和数学期望．
(附：若随机变量 ～ , 2 ，则 ( < ≤ + ) ≈ 0.6827， ( 2 < ≤ + 2 ) ≈ 0.9545， (
3 < ≤ + 3 ) ≈ 0.9973)
19.(本小题 17 分)
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已知函数 ( ) = + 1e ，当 = 1 时， ( )有极大值e．
(1)求实数 ， 的值；
(2)当 > 0 1 1时，证明： < +1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.45/0.8
13.54
14. ∞, ln2
15.【详解】(1)由题意知， (1) = 3，即切点为(1, 3)，
由已知 ′( ) = 3 2 6 9，则 ′(1) = 12，
所以曲线 ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 + 3 = 12( 1)，即 12 + 9 = 0．
故 ( )在点 1, (1) 处的切线方程为：12 + 9 = 0
(2)令 ′( ) > 0，即 3 2 6 9 > 0 得 < 1 或 > 3，
令 ′( ) < 0，则得 1 < < 3，
所以 ( )在( ∞, 1), (3, + ∞)上单调递增，在( 1,3)上单调递减，
所以 ( )的极大值点为 = 1， ( 1) = 13，因为
( 2) = 8 12 + 18 + 8 = 6， (3) = 19，
故 ( )在区间[ 2,3]上的最大值为 13，最小值为 19．
16. (1)
2 5 ( 1) 5
【详解】 根据题意， 1 = 2，即 2 = 2 ，又 ≠ 0，故 = 6．
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6
(2) 2 + 33 = 2 +
3
3
，

3 4
其展开式的通项公式 6 6 6 +1 = 6(2 ) 3 = 6 2 3 3 ， = 0,1,2, , 6，
令 6 43 = 2，解得 = 3，则
3 3 3
6 2 3 = 4320，
故展开式中含 2的项的系数为：4320．
(3)当 = 2024 时， = 3 + C1 1 2 2 3 + C 3 + + C 1 3 = (3 + 1)2024 1 = 42024 1，
42024 1 = 161012 1 = (15 + 1)1012 1
= 0 1012 1 1011101215 + 101215 + + 1011 1012101215 + 1012 1
= 0 1012 1 1011 1011101215 + 101215 + + 101215，
而 01012151012 + 1 1011101215 + + 1011101215 能够被 15 整除，
故 除以 15 所得余数为 0．
17.【详解】(1)设“选出的 5 人中恰有 2 人是知名选手且这 2 名知名选手来自同一俱乐部”为事件 ，
C2C3 ( ) = 2 4+C
2C3 8
则 3 4 = ；
C59 63
(2)由题意可知， 的取值可能为 1，2，3，4，5．
1 4
( = 1) = C5C4 = 5
C5
，
9 126
2 3
( = 2) = C5C4 = 20
C5
，
9 63
3 2
( = 3) = C5C4 10
C5
= ，
9 21
( = 4) = C
4
5C
1
4 = 10
C59 63
，
5
( = 5) = C5 = 1
C59 126
，
所以随机变量 的分布列为
1 2 3 4 5
5 20 10 10 1
126 63 21 63 126
( ) = 1 × 5 + 2 × 20 + 3 × 10 + 4 × 10 + 5 × 1 = 25126 63 21 63 126 9．
18.【详解】(1)因为物理原始成绩 ～ 60, 132 ，
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所以 (47 < < 86) = (47 < ≤ 60) + (60 < ≤ 86) = 12 (60 13 < ≤ 60 + 13) +
1
2 (60 2 × 13 < ≤ 60 + 2 × 13) ≈
0.6827
2 +
0.9545
2 = 0.8186．
所以化学原始成绩在(47,86)的人数为 2000 × 0.8186 = 1637(人)．
(2)由题意得，随机抽取 1 人，其成绩在区间[61,80] 2内的概率为5．
所以随机抽取三人，则 的所有可能取值为 0，1，2，3，且 ～ 3, 25 ，
3 2
所以 ( = 0) = 1 2 = 27 1 2 2 545 125， ( = 1) = C3 × 5 × 1 5 = 125，
2 3
( = 2) = C23 ×
2
5 × 1
2 = 365 125， ( = 3) =
2 8
5 = 125．
所以 的分布列为
0 1 2 3
27 54 36 8
125 125 125 125
2 6
所以数学期望 ( ) = 3 × 5 = 5．
19. 【详解】(1) ′( ) = e ，
又当 = 1 1时， ( )有极大值e，
+ 1
所以 e
= e
，解得 = 1, = 0．
e = 0
(2) = 1 1 1 令 > 0，要证 < +1，即证 ( ) < +1，
由(1)知 ( ) = e ，即证e < +1，即证e > 1 + ，
令 ( ) = e 1 ，则 ′( ) = e 1 > 0，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) > (0) = 0，即e 1 > 0，即e > 1+ ．
1 1
故当 > 0 时， < +1．
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