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2024-2025学年第二学期九年级二模数学试卷
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．据统计，2024年我国新能源汽车的产量为1316万辆，比上年增长，其中1316万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在Rt中，平分，垂足为点，则的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在中，对角线交于，已知，，，那么到的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的一元二次方程的两根之和是（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数中，y随x的值的增大而减小的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
8．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在矩形中，对角线，交于点，，点是边的中点，点在边上，且，连结交于点，连结，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知菱形的边长为8，，将菱形绕点按逆时针方向旋转得到菱形，、分别交直线于、，若是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分，每小题3分）
11．的平方根是 ．
12．若一组数据1，2，5，3，，的平均数是2，则众数是 ．
13．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
14．如图，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转得矩形，恰好落在对角线上，连接，如果与边相交，且，那么的长是 ．
15．某博物馆开设了A，B，C三个安检通道，甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆，则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为 ．
16．如图，点为正方形的边上两个动点，且，，连接，过点作，垂足为，连接，则面积的最大值为 ．
17．如图，在四边形中，与相交于点，，，，则 ．
18．如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为 ．
三、解答题（共66分）
19．（6分）如图，这是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，格点在直线上，按要求完成以下作图．
(1)若与关于直线成轴对称，作出．
(2)作线段关于点对称的线段．
(3)将线段绕点顺时针旋转，得到线段，并以线段为一条对角线，作正方形．
20．（8分）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
21．（6分）公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售100个，4月份销售169个，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率．
22．（6分）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．（8分）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求及的长．
24．（8分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值．
25．（8分）如图，为的直径，过点作的切线是半圆上一点（不与点、重合），连接，过点作于点，连接并延长交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为，求的长．
26．（6分）中国文字博物馆是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，小明设计了如下方案：在点处放一面镜子，他站在的位置，通过镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离，他到大门的距离，，请求出中华文字博物馆大门的高度．（结果精确到1米．参考数据）
27．（10分）【问题背景】
如图1，已知抛物线经过，，三点．

【知识技能】
（1）（3分）求此抛物线的解析式；
（2）（3分）在平面直角坐标平面内，求点的坐标，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形；
【深入探究】
（3）（4分）如图2，为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，直接写出的长．
答案
1-5 CBBDB 6-10 CDAAC
11． 12．2 13． 14． 15． 16． 17． 18．
19．（1）如图，即为所求．（2）如图，线段即为所求．（3）如图，线段及正方形即为所求．
20．（1）；（2），
21．设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）.
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
22．（1）由旋转可得，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）由（）知，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
，
∴．
23．（1）如图，连接，
∵与相切于点，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）如图，连接，
设，
∵，
∴，
由（1）已证：，
∴在中，，即，
解得，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴在中，，
∴，
综上，的长为，的长为．
24．（1）∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，都代入一次函数，得 ，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）如图，
对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于12，
∴，即，
解得：或；
∴或．
25．（1）切于点，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如下图所示，连接，
为的直径，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
26．如图，在中，，
，
．
由题知，
在Rt中，
．
中华文字博物馆大门的高度约为20米．
27．（1）设抛物线的解析式为，（，，为常数，），
∵抛物线经过，，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，有三种情况，
∵，，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
∴，，，，，，，
∴点在点的左边距离为处，坐标为，
点在点的右边距离为处，坐标为，
点与的连线的中点是点，坐标为．
（3）分类讨论：①当，点在点的左侧时，过点作于点，
则，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
∵点，
∴，
，解得：（舍去）或，
；
当，点在点右侧时，如图，过点作轴于点，
则轴，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
，解得：（舍去）或；
②如图，当时，过点作交轴于点，则，
设，则，
，
，解得：，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，解得：，
直线的关系式为，
，
，
③如图，当时，过点作交轴于点，则，
，，
，
，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，
，解得：，
直线的关系式为，
，
．
综上所述，的长为或或或16．

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