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2024-2025学年辽宁省沈阳七中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩.以下是巴黎奥运会部分项目的图标，其中是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若，则下列各式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
3.下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
4.用反证法证明“在中，，则”时，应先假设( )
A. B. C. D.
5.如图，点A、B的坐标为、，将AB平移到，已知坐标为，则点的坐标为( )
A. B.
C. D.
6.已知不等式的解是，下列有可能是函数的图象的是( )
A. B.
C. D.
7.两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在( )
A. 的平分线上
B. AC边的高上
C. BC边的垂直平分线上
D. AB边的中线上
8.若一个正多边形的每个内角均为，则这个多边形是( )
A. 正四边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正八边形
9.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10.如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；②以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；③分别以点D，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，AM和CD交于点N，连接若，，则ON的长为( )
A. 2 B. C. 4 D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若等腰三角形的周长为18，一边长为4，则其腰长是______.
12.随着几代航天人的努力，我国在载人航天领域取得了非凡的成就.某校航空兴趣小组利用课后服务时间开展了航空航天知识竞赛，共有20道题目，答对一题得5分，答错一题扣3分，小颖的得分在76分以上，则她至少答对了______道题.
13.如图，为了测量某工件的内槽宽，把两根钢条OA、OB的端点O连在一起，点C、D分别是OA、OB的中点.经测得，则该工件内槽宽AB的长为______
14.如图，将绕点O按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若，，则图中的旋转角的度数是______.
15.如图，线段AB与线段CD相交于点O，，，，，，则线段CD的长为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题10分
分解因式：
；
17.本小题8分
解不等式：；
解不等式组：
18.本小题8分
如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小方格的顶点叫格点，仅用无刻度的直尺完成下列作图.
在图①中画出向右平移4个单位后的图形注意标上字母；
连接，，线段和的关系是______；
在图②中画出绕点B顺时针旋转后的；
在图②方格纸中存在______个点 D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形.
19.本小题8分
【概念呈现】
设一个钝角三角形的两个锐角为与，如果，那么我们称这个钝角三角形是倍余三角形，这个锐角叫做这个三角形的倍余角.
【特例感知】
若一个三角形的三个内角分别为，和，则这个三角形______填写“是”或“不是”倍余三角形.
【深入探究】
若一个等腰三角形是倍余三角形，则这个三角形的倍余角的度数为______
【拓展延伸】
在中，，，点D是边BC上一点，若是倍余三角形，则的度数为______.
20.本小题8分
如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且，点F为线段DE上一点，且求证：
21.本小题8分
在学习完“因式分解”后，为了开拓学生的思维，宋老师在黑板上写了题目：
因式分解：下面是甜甜的解法：
解：
分组
提公因式
请利用上述方法，解答下列各题：
因式分解：；
已知的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由.
22.本小题12分
问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：
首先令，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究.
如表y与x的几组对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 1 3 5 3 1 …
如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数的图象，当时，y随x的增大而______；填“增大”“减小”或“不变”
若，为该函数图象上不同的两点，则______；
当时，自变量x的取值范围是______；
定义，例如，，则函数的最大值为______.
23.本小题13分
【问题初探】
在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，且，点D在CA的延长线上，连接DE，求证：
如图2，小明同学从这个条件出发，给出如下解题思路：过E作交AD的延长线于点F，则，是等腰直角三角形，，再证明两个三角形全等，转化等量线段.
如图3，小涛同学从结论的角度出发，给出如下解题思路：在线段CB上截取，则是等腰直角三角形，得到，将线段BC，DC之间的数量关系转化为线段BG与AD之间的数量关系.
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程.
【类比分析】
李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，构造全等转化等量线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，提出下面问题，请你解答.
如图4，在中，，延长CA至点D，使，射线，点E在线段AB上，点F在射线AM上，连接EF，DF，且，求证：
【拓展运用】
定义新知：给定一个锐角，可以作出以为其中一个内角的直角三角形ABC，其中AB是斜边.我们定义为的邻边与斜边长度的比值，即
在中，，，D为直线AC上任意一点不与A，C重合，连接BD，将线段DB绕点D按逆时针方向旋转得到线段DE，连接若，请直接写出的值.
答案和解析
1.C
2.B
3.D
4.D
5.C
6.D
7.A
8.B
9.C
10.C
11.7
12.18
13.11
14.
15.
16.解：原式
；
原式

17.解：，
，
，
，
，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为
18.解：如图①，即为所求．
由平移得，线段和的关系是平行且相等．
故答案为：平行且相等．
如图②，即为所求．
由图可得，在图②方格纸中存在1个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：
19.解：，
这个三角形是倍余三角形．
故答案为：是；
等腰三角形只有顶角才可能是钝角，设等腰三角形的底角是x，
等腰三角形是倍余三角形，
，
，
这个三角形的倍余角的度数是，
故答案为：30；
当时，
，
，
；
当时，
，
，
，
的度数为或
故答案为：或
20.证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
在和中，
，
≌，

21.解：原式
；
是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
22.解：函数的图象如图的所示，
根据图象可得：当时，y随x的增大而减小．
由题意，把，，分别代入，得
，
或
，是该函数图象上不同的两点，
故答案为：
由题意，如图所示，
当时，自变量x的取值范围是或
故答案为：或
由题意，如图所示，
结合图象可得，①当时，，
当时，y的最大值为；
②当时，
当时，y的最大值为；
③当时，，
当时，y的最大值为
当时，y的最大值为1；综上，y的最大值为
综上，函数的最大值为
故答案为：
23.解：选择小明的解题思路：
①证明：如图2，过E作，交AD的延长线于F，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
即，
；
选择小涛的解题思路；
②证明：如图3，在BC上截取，连接AG，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
证明：如图4，过D作于G，则，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
；
解：如图，点D在线段AC上时，
设，
，
，，
将线段DB绕点D按逆时针方向旋转得到线段DE，
，，
过E作于H，
，
，
，
≌，
，，
，
，
；
当点D在CA的延长线上时，如图，
设，
，
，，
将线段DB绕点D按逆时针方向旋转得到线段DE，
，，
过E作于H，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
综上所述，的值为或

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