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2024-2025 学年上海市川沙中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某家大型超市近 10 天的日客流量(单位：千人次)分别为：3.4、3.6、5.6、1.8、3.7、4.0、2.5、2.8、4.4、
3.6.下列图形中不利于描述这些数据的是( )
A.散点图 B.条形图 C.茎叶图 D.扇形图
2.若等式 1 + + 2 + 3 = 0 + 1(1 ) + 22(1 ) + 3(1 )3对一切 ∈ 都成立，其中 0， 1， 2，
3为实常数，则 0 + 1 + 2 + 3 =( )
A. 2 B. 1 C. 4 D. 1
3.已知函数 ( ) = e + ln ，其中正确结论的是( )
A.当 = 0 时，函数 ( )有最大值
B.对于任意的 > 0，函数 ( )是(0, + ∞)上的减函数
C.对于任意的 > 0，都有函数 ( ) > 0
D.对于任意的 < 0，函数 ( )一定存在最小值
4.假设聪明的你已掌握以下结论：函数 = ( )图像关于( , )中心对称的充要条件是 ( + ) + (
) = 2 对定义域内的任意 恒成立.请你解决下面问题：已知函数 ( )及其导函数 ′( )的定义域均为 R，记
( ) = ′( )，若 (3 + 2 )为偶函数， (1 + )为奇函数，则下列结论中正确的个数为( )．
① ( )的图象关于点(1,0)对称； ② ( )的图象关于点(3,0)对称；
③ =12024 ( ) = 1； ④ (2025) = 0
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 12 小题，共 60 分。
5.已知函数 = 2的驻点为 ．
6.若排列数 2025 = 2025 × 2024 × 2023，则 = ．
7.两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是 0.6 和 0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是 ．
8.已知一组数据 6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是 ．
9.已知函数 ( ) = ln(1 )，则lim ( 1+ ) ( 1)
→0
= ．
10.某果园种植了 100 棵苹果树，随机抽取的 12 棵果树的产量(单位：千克)分别为：20， 24，25，26，26，
27，28，29，30，32，33，36，据此预计，这 12 棵果树的产量 75 百分位数为 千克．
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11.已知常数 ∈ ，在( + ) 的二项展开式中， 3 3项的系数等于 160，则 = ．
12.从 5 名志愿者中选出 4 名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作(每项 1 人)，其中甲不参加测
温的分配方案有 种. (结果用数值表示)
13.若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的 6 个小球，其中红球有 2 个，白球有 4 个，每次取两个，
取后放回，连续取三次，设随机变量 表示取出后都是白球的次数，则 ( ) = ．
14.设甲盒有 3 个白球，2 个红球，乙盒有 4 个白球，1 个红球，现从甲盒任取 2 球放入乙盒，再从乙盒任
取两球，则从乙盒取出 2 个红球的概率是 ．
15.若曲线 = ( + 1 + )e 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是 ．
16 .已知函数 ( ) = ( ) + 2sin2 ，又当 ≥ 0 时， ′( ) ≥ 2，则关于 的不等式 ( ) ≥ 4 +
2sin 2 4 的解集为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， 是 1的中点．
(1)求证： 1 ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的大小．
18.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = ( )ln + 3( ∈ R)．
(1)若 = 0，求 ( )的极小值；
(2)讨论导函数 ′( )的单调性．
19.(本小题 14 分)
张先生每周有 5 个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直
行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件 为“张先生驾车从左侧直行车道通行”．
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(1)某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事
件 为“大货车从中间直行车道通行”，求 ( ∩ )；
(2)用 表示张先生每周工作日出行事件 发生的次数，求 的分布及期望 [ ]．
20.(本小题 14 分)
2 2
已知椭圆 8 + 4 = 1， 1， 2为左、右焦点，直线 过 2交椭圆于 ， 两点．
(1)若直线 垂直于 轴，求| |；
(2)当∠ 1 = 90°时， 在 轴上方时，求 、 的坐标；
(3)若直线 1交 轴于 ，直线 1交 轴于 ，是否存在直线 ，使得 1 = 1 ，若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由．
21.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = 2 , ∈ R
(1)若函数 ( )在 = 1 处的切线斜率是 2，求 的值；
(2)若函数 ( ) = ( )在 = 1 处有极值，且关于 的方程 ( ) = 有 3 个不同的实根，求实数 的取值
范围；
(3)记 ( ) = ( 是自然对数的底数).若对任意 1、 2 ∈ [0, ]且 1 > 2时，均有 ( 1) ( 2) < ( 1)
( 2) 成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.0
6.3
7.0.3
8. 153
9. 12或 0.5
10.31
11.2
12.96
13.65
14. 370
15.( ∞, 5) ∪ ( 1, + ∞)
16. π8 , + ∞
17.【详解】(1)证明：连接 1 ，在正方体 1 1 1 1中， 是 1的中点，
所以 是 1 的中点，且 1 ⊥ 1，即 ⊥ 1，
因为 ⊥平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 ⊥ 1，
又 ∩ = ， , 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ．
(2)过 作 ⊥ ，交 于 ，连接 ，
在正方体 1 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， // 1，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
所以∠ 是直线 与平面 所成的角．
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1
由题意，设 1 = = = 2 ，则 = 2 1 = ，
= 12 = ，所以 = 5 ，
5
所以在 Rt ，tan∠ = = 5 = 5 ，
arctan 5故直线 与平面 所成角的大小是 5 ．
18.【详解】(1)当 = 0 时， ( ) = ln 3， ( )的定义域为(0, + ∞)，
则 ′( ) = ln + 1 1 = ln ，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，当 > 1 时， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
所以当 = 1 时， ( )取得极小值 (1) = 4．
(2) ( ) = ( )ln + 3( ∈ R)的定义域为(0, + ∞)，
′( ) = ln + 1 = ln

，
令 ( ) = ′( ) = ln ( > 0) 1 + ，则
′( ) = + 2 = 2 ( > 0)，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0 恒成立，所以 ( )即 ′( )在 0, + ∞ 上单调递增．
当 < 0 时，由 ′( ) > 0，得 > ，由 ′( ) < 0，得 0 < < ，
所以 ( )即 ′( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
19. 1 1【详解】(1)依题意得，事件 的概率为 ( ) = 3，在事件 发生的条件下事件 发生的概率为 ( ) = 2，
则 ( ∩ ) = ( | ) ( ) = 1 1 12 × 3 = 6．
5
(2)依题意得，事件 发生的次数 可取：0,1,2,3,4,5，所以 ～ 5, 13 ，即 ( = ) = C
1 2
5 3 3 ，
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则 的分布为：
0 1 2 3 4 5
2 5 1 2 40 1 2 1
2 2 3 33 1 2
2 1 4 2 1 5
C5 3 C5 3 3 C5 3 3 C5 3 3 C
4
5 3 3 C
5
5 3
0 1 2 3 4 5
即 32 80 80 40 10 1 ，243 243 243 243 243 243
[ ] = 1 × 80 80 40则 243 + 2 × 243 + 3 × 243 + 4 ×
10 1 5
243 + 5 × 243 = 3，
5
则所求的 的期望 [ ] = 3．
2 2
20. (1) (2,0) ⊥ = 2 + 【详解】 解：依题意， 2 ，当 轴时，将 代入 8 4 = 1，解得 =± 2，
则 2, 2 ， 2, 2 ，所以| | = 2 2；
(2)解：设 ( 1, 1)，∵ ∠ 1 = 90°(∠ 1 2 = 90°)， 1( 2,0)， 2(2,0)，
所以 1 = ( 1 2, 1)， 2 = ( 1 + 2, 1)
∴ 1 2 = 12 4 + 12 = 0，
2
2
又 在椭圆上，满足 1 + 1 = 1，即 2 = 4(1 1
2
8 4 1 8 )，
12∴ 12 4 + 4(1 8 ) = 0，解得 1 = 0，即 (0,2)．
所以直线 : = + 2，
= + 2 = 83 = 0 8 , 2联立 2 +
2 ，解得 或 ，所以 ；
8 4 = 1 =
2 = 2 3 3
3
(3)设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， (0, 3)， (0, 4)，
直线 : = + 2，
则 1 =
1
2 | 1 2| | 1 2| = 2| 1 2|，
1 1 = 2 | 1 | | 3 4| = | 3 4|．
= + 2
联立 2 +
2 ，得( 2 + 2) 2 + 4 4 = 0．
8 4 = 1
则 1 + 2 =
4
2+2， 1 2 =
4
2+2．
由直线 2 1的方程： = 1 +2 ( + 2)，得 纵坐标 3 =
1
1 1+2
；
由直线 1的方程： =
2
+2 ( + 2)
2
，得 的纵坐标 4 = 2
2 2+2
．
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若 1 = 1 ，即 2| 1 2| = | 3 4|，
| | = | 2 1 2 2 | = | 2 1 2 2 | = | 8( 1 2)3 4 +2 +2 +4 +4 ( +4)( +4) | = 2| 1 2|，1 2 1 2 1 2
∴ |( 1 + 4)( 2 + 4)| = 4，| 2 1 2 + 4 ( 1 + 2) + 16| = 4，
4 2 4
代入根与系数的关系，得 2+2 + 4 2+2+ 16 = 4，解得 =± 3．
∴存在直线 + 3 2 = 0 或 3 2 = 0 满足题意．
21.【详解】(1) ′( ) = 2 ，
′(1) = 2 = 2，
所以 = 0，
(2) ( ) = ( )在 = 1 处有极值，因为 ( ) = 3 2 ，则 ′( ) = 3 2 2 ，故 ′(1) = 3
2 = 0，得 = 1；
( ) = 3 2 ，此时， ′( ) = 3 2 2 1 = ( 1)(3 + 1)，
当 < 1 13或 > 1 时，
′( ) > 0，当 3 < < 1,
′( ) < 0，
故 ∈ ( ∞, 13 )和(1, + ∞)上， ( )单调递增， ∈ (
1
3 , 1)上， ( )单调递减，
因此 = 1 是极值点，故 = 1 符合要求，
因为关于 的方程 ( ) = 有 3 1个不同的实根，根据函数的图象，当 (1) < < 3 时，满足题意，得
1 < < 5 527，故 ∈ 1, 27
(3) ( ) = e ， ( )单调递减，对任意 1、 2 ∈ 0, e 且 1 > 2时，
( 2) ( 1) > 0， ( 1) ( 2) < 0，
则对任意 1、 2 ∈ 0, e 且 1 > 2时，均有 1 2 < 1 2 成立，
转化为，对任意 1、 2 ∈ 0, e 且 1 > 2时，均有 1 2 < 1 2 < 2 1 成立，即
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( 1) + ( 1) < ( 2) + ( 2)
( 1) ( 1) > ( 2) (
,
2)
所以，函数 ( ) + ( )在[0, e]上单调递减，函数 ( ) ( )在[0, e]上单调递增，
①函数 ( ) + ( )在[0, e]上单调递减，即 ′( ) + ′( ) ≤ 0 在[0, e]上恒成立，
又因为， ( ) = 2 ， ( ) = e ，故 ′( ) + ′( ) = 2 e ≤ 0，
得 2 e ≤ 在[0, e]上恒成立，令 ( ) = 2 e ， ′( ) = 2 e ，令 ′( ) = 0，得 = ln2，当 0 < <
ln2, ′( ) > 0, ln2 < < , ′( ) < 0,所以， ( )在 0, ln2 上单调递增，在 ln2, e 上单调递减，故 ( )max =
(ln2) = 2ln2 2，故 ≥ 2ln2 2；
②函数 ( ) ( )在[0, e]上单调递增，即 ′( ) ′( ) ≥ 0 在[0, e]上恒成立，
又因为， ( ) = 2 ， ( ) = e ，故 ′( ) ′( ) = 2 + e ≥ 0，得
2 + e ≥ 在[0, e]上恒成立，因为函数 = 2 + e 在[0, e]上为单调递增函数，故 min = 1，此时， ≤ 1；
综上所述，实数 的取值范围为： 2ln2 2,1 ．
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