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2024-2025 学年上海市嘉定区第一中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数是偶函数的是( )．
A. = sin B. = cos C. = 3 D. = 2
2.若 为 所在平面内任一点，且满足 + 2 = 0，则 的形状为( )
A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
3.已知 > 0，函数 = sin 在区间[ , 2 ]上最小值为 ，在区间[2 , 3 ]上的最小值为 , 变化时，下列不
可能的是( )
A. > 0 且 > 0 B. < 0 且 < 0 C. < 0 且 > 0 D. > 0 且 < 0
log1( + 3), < ≤
4.已知 、 都是实数， ( ) = 2 ，若函数 = ( )的值域为 ，且对任意的实数 ，关
log 22 + 1 , >
于 的方程 ( ) + = 0 有且只有一个实数解，则满足题意的实数对( , )的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D.无数
二、填空题：本题共 12 小题，共 60 分。
5.已知集合 = 0,1,2 ，集合 = 2 > 3 ，则 ∩ = ．
6.函数 = tan 的定义域为 ．
7.已知一个扇形的弧所对的圆心角为 40°，半径 = 36cm，则该扇形的弧长为__ ___ ．
8 π.已知点 的坐标为 1, 3 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转3至 ，则点 的坐标为 ．
9.已知正实数 、 满足 + 2 = 1，则 的最大值为 ．
10.已知向量 、 满足 = 1， = 2，且 + = 1，那么 与 的夹角大小为 ．
11.如图，在平行四边形 中， ⊥ ，垂足为 ， = 3 且 ．
12.向量 = (1,2)在向量 = (4,3)方向上的投影为 ．
3
13.已知函数 ( ) = 2 + 1，且 ( ) = , ≥ 0 ( ), < 0，则方程 ( ) = 2 的解为 ．
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14.新加坡摩天观景轮又名飞行者摩天轮(如图示)，其总高度 165 米，直径 150 米，匀速旋转一圈所需时间
为 40 分钟．已知摩天轮上一点 距离地面的高度 关于时间 的函数表达式为 = sin( + ) + ， ∈
π, π .而点 的起始位置在摩天轮的最低点处．请写出高度 (米)关于时间 (分钟)的函数解析式 ．
15.设 > 0，函数 ( ) = + 2(1 )sin( ), ∈ (0,1)，若函数 = 2 1 与函数 = ( )的图象有且仅有
两个不同的公共点，则实数 的取值范围是 ．
16.勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角
形 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角
形 边长为 2，点 为勒洛三角形上的一点(除去 , , 三点).记 + + = ，若对于某
个确定的实数 ，使得方程成立的点 的位置有且只有 3 处，则此时的 = ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
如图，在四边形 中， ， 分别为边 ， 的中点， // ，记 ， 相交于点 ．
(1)试用 、 表示 ；
(2)证明： ， ， 三点共线．
18.(本小题 14 分)
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在 中，内角 、 、 所对边的长分别为 、 、 ， = 5， = 6．
(1) = π若 6，求 外接圆半径 的值及角 的大小；
(2) 15 3若三角形的面积 = 2 ，求边 的值．
19.(本小题 14 分)
某小区拟用一块半圆形地块(如图所示)建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径 = 4 千米，
点 是半圆的圆心，在圆弧上取点 、 ，使得 = ，把四边形 建为居民活动区，并且在居民活动
π π
区周围铺上一条由线段 ， ， 和 组成的塑胶跑道，其它部分建立绿化区．设∠ = ，且6 ≤ < 2；
(1)求塑胶跑道的总长 关于 的函数关系式；
(2)当 为何值时，塑胶跑道的总长 最短，并求出 的最小值．(答案保留 2 位小数)
20.(本小题 14 分)
已知函数 = ( )，若在区间 内有且只有一个实数 ( ∈ )，使得 ( ) = 0 成立，则称函数 = ( )在区间
内具有唯一零点．
(1) ( ) =
2 1, 0 ≤ < 1
判断函数 在区间(0, + ∞)内是否具有唯一零点，并说明理由；
1, ≥ 1
(2)已知向量 = 3 , 12 2 ， = sin2 , cos2 ， ∈ 0, π ，证明 ( ) = + 1 在区间 0, π 内具有唯一零
点；
(3)若函数 ( ) = 2 + 2 + 2 在区间( 2,2)内具有唯一零点，求实数 的取值范围．
21.(本小题 14 分)
已知函数 = ( )的定义域为 ，若存在一个向量 = ( , ) , ∈ R, ≠ 0 ，对于任意 ∈ ，均有 ( +
) = ( )成立，则称向量 = ( , )为函数 = ( )的“伴随向量”．
(1)判断 = π2 , 1 是否是函数 ( ) = tan 的伴随向量，并说明理由；
(2)判断函数 ( ) = sin 是否存在伴随向量．若存在，求出函数 ( ) = sin 的所有“伴随向量”，若不存在，
请说明理由：
(3)若 = (1,1)， = (2, 1)都是函数 = ( )的“伴随向量”.当 1 ≤ < 2 时， ( ) = cos π2 ；当 = 2
时， ( ) = 0.求当 2021 ≤ ≤ 2025 时，函数 = ( )的解析式和零点．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 2
6. ≠ + 2 , ∈
7.8
8. 1, 3
9.18/0.125
10.π2
11.18
12.2
1
13.3 2/23
14. = 75sin π π20 2 + 90( ≥ 0)
15. 11π , 19π6 6
16.14 8 3．
17.【详解】(1)因为 为 的中点，所以 = ，
则 = + = + = + = 1，故 2
+ ．
(2)设 = ( ≠ 0)，又因为 // ，所以 = ， = ，
由(1)知 = 1 + ，同理 = 1 + 2 2 ，
1 → → → →
其中2 + =

2 + ，所以
= ，
// , , 有公共点，故 ， ， 三点共线．
18. (1) = = 2 5 6【详解】 由正弦定理，sin sin ，得 1 = sin = 2 ，
2
sin = 3解得 5， = 5，又 ∈ 0, π
3 1
，且 sin = 5 > 2 = sin
所以 = arcsin 35或 = π arcsin
3
5．
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(2) 1由 = 2 sin
15 3 1 3
，得 2 = 2 × 5 × 6sin ，所以 sin = 2 ，
又 ∈ 0, π ，所以 = π 2π3或 3，
当 = π3时，由余弦定理得
2 = 2 + 2 2 cos = 52 + 62 2 × 5 × 6 × 12 = 31，
= 2π当 时，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 52 + 62 + 2 × 5 × 6 × 13 2 = 91，
所以 = 31或 = 91．
19.【详解】(1)法一，由题意，在 中，∠ = π 2 ，
2 2sin
由正弦定理sin = π = ，所以 = = = 4sin ，sin 2 cos
cos 22 2

连接 ，因为 = ，则 = ，所以∠ = ，∠ = π 2 ，
在 中，由正弦定理sin π 2 = sin ，所以 =
2sin2
sin = 4cos ，
则 = 4 + 8sin 2 + 4cos
π π
，6 ≤ < 2．
法二：在 中，由余弦定理得 = 22 + 22 2 × 2 × 2cos = 8 8cos ，

因为 = ，则 = ，所以∠ = ，∠ = π 2 ，
在 中，由余弦定理得 = 22 + 22 2 × 2 × 2cos π 2 = 8 + 8cos2 ，
则 = 4 + 2 8 8cos + 8 + 8cos2 π，6 ≤ <
π
2．
(2)由(1)知 = 4 + 8sin 2 + 4cos = 4 + 8sin

2 + 4 1 2sin
2
2 = 8sin
2 + 8sin 2 2 + 8，
π π π
因为6 ≤ < 2，则12 ≤ 2 <
π
4，又 cos
π
6 = 1 2sin
2 π 3 π
12 = 2 ，得到 sin 12 =
6 2
4 ，
2
令 = sin 6 2 22 4 ≤ < 2 ，∴ = 8 + 8 8
2 = 8 12 + 10，
2 1 2 1 2 2 2 1 6 2 2+ 2 6
又 2 2 = 2 = 4 < 2 4 = 4 ，
= 6 2 π所以当 4 时，即 = 6， 的最小，
最小值为 = 4 + 8sin π12 + 4cos
π
6 = 4 + 8 ×
6 2
4 + 2 3 = 4 + 2 6 2 2 + 2 3 ≈ 9.53．
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220. (1) ( ) = 1, 0 ≤ < 1【详解】 函数 在区间(0, + ∞)内具有唯一零点，理由如下：
1, ≥ 1
当 = 1 时，有 (1) = 0，当 0 < < 1 时，有 = 2 1 < 0；
当 > 1 时， ( ) = 1是增函数，有 ( ) = 1 > 0，
2
故函数 ( ) = 1,0 ≤ < 1在区间(0, + ∞)内具有唯一零点．
1, ≥ 1
(2) 3 1由向量 = 2 , 2 ， = sin2 , cos2 ， ∈ 0, π ，
→ →
所以 ( ) = + 1 = 32 sin2 +
1
2 cos2 + 1 = sin 2 +
π
6 + 1， ∈ 0, π ，
令 ( ) = sin 2 + π6 + 1 = 0, ∈ 0, π , 2 +
π π
6 ∈ 6 ,
13π 2π
6 ，解得 = 3 ，
π 2π 2π
所以函数 ( ) = sin 2 + 6 + 1 在区间 0, π 内具有唯一零点 3 ，使得 3 = 0，
故函数 ( ) = + 1 在区间 0, π 内具有唯一零点．
(3) ( ) = 2 + 2 + 2 = 0，即：2 ( + 1) = 2， ∈ ( 2,2)，
当 = 1 时，左边= 0，右边= 1，显然不成立；
2 2
当 ≠ 1 ( +1) 2( +1)+1 1时，变量分离： 2 = +1 = +1 = + 1 + +1 2
即： 2 + 2 = + 1 + 1 +1，
令 = + 1, ∈ ( 1,0) ∪ (0,3) 1，令 ( ) = +
由 (1) = 2； ( 1) = 2； (3) = 103；
结合图像可知： 2 + 2 < 2 或 2 + 2 = 2
或 2 + 2 ≥ 103
∴ > 2 或 = 0 ≤ 2或 3；
2
综上所述：实数 的取值范围为 ∞, 3 ∪ (2, + ∞) ∪ 0 ．
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21. (1) tan π【详解】 因为 2 + =
1 π 1
tan ，tan 2 = tan ，
tan π所以 2 + = tan
π
2 ，
因此向量 = π2 , 1 是函数 ( ) = tan 的伴随向量．
(2)若 ( ) = sin 存在伴随向量 = ( , )，则 sin( + ) = sin( )，
所以 sin cos + cos sin = sin cos cos sin ，得到(1 + )cos sin + (1 )sin cos = 0，
即 2 + 2 cos2 + 1sin( + ) = 0(其中 为辅助角)，
由题知，上式对任意的 ∈ R 都成立，则 2 + 2 cos2 + 1 = 0，
即 cos2 = 1 + 1 + 12 ，由于 ≥ 2，当且仅当 =± 1 时，等号成立，
所以 cos2 ≥ 1，又因为 cos2 ≤ 1，故 cos2 = 1
π
当 = 1 时，cos2 = 1， = π + 2， ∈ ：
当 = 1 时，cos2 = 1， = π， ∈ ．
故函数 ( ) π的“伴随向量”为 π + 2 , 1 和 π, 1 ， ∈
(3)因为 = (1,1)， = (2, 1)都是函数 ( )的“伴随向量”，
所以 (1 + ) = (1 )且 (2 + ) = (2 )，由 (1 + ) = (1 )，得 (2 ) = ( )，
所以 (2 + ) = ( )，则 ( + 4) = ( + 2) = ( )，
故函数 ( )是以 4 为周期的函数．又当 1 ≤ < 2 时， ( ) = cos π2 ；当 = 2 时， ( ) = 0，
当 0 < < 1，则 1 < 2 < 2，此时 ( ) = (2 ) = cos π2 ；
由 (2 ) = ( )， (2 + ) = ( )，得 (4 ) = (2 ) = ( )，
所以当 2 < < 3，则 1 < 4 < 2，此时 ( ) = (4 ) = cos π2 ；
当 3 < < 4 π，则 0 < 4 < 1，此时 ( ) = (4 ) = cos 2 ，
由 (2) = 0 π，得 (0) = 0，又 (1) = cos 2 = 0，所以 (3) = (1) = 0，又 (4) = (0) = 0，
cos π2 , 0 < < 1
cos π2 , 1 < < 2
所以 ( ) = cos π , 2 < < 3，又 2021 = 505 × 4 + 1， ( )是以 4 为周期的函数，2
cos π2 , 3 < < 4
0, = 0,1,2,3,4
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cos π2 , 2021 < < 2022
cos π2 , 2022 < < 2023
故 ( ) = cos π2 , 2023 < < 2024
cos π2 , 2024 < < 2025
0, = 2021,2022,2023,2024,2025
当 2021 ≤ ≤ 2025 时，函数 = ( )的零点为 2021,2022,2023,2024,2025．
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