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2024-2025 学年上海市嘉定区第一中学等四校高二下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法一定正确的是( )
A.一名篮球运动员，号称“百发百中”，若罚球三次，不会出现三投都不中的情况
B.随机事件发生的概率与试验次数无关
C.若买彩票中奖的概率为万分之一，则买一万元的彩票一定会中奖一元
D. 1一个骰子掷一次得到 2 的概率是6，则掷 6 次一定会出现一次 2
2.若把英语单词“ ”的字母顺序写错了，则出现的错误写法共有( )
A. 840 种 B. 839 种 C. 2520 种 D. 2519 种
3 1 2 4.已知三棱锥 的体积为 6, 是空间中一点， = 15
+ 15 +

15
，则三棱锥 的体
积是( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
4.如图，直线 = + 与曲线 = ( )相切于两点，则函数 ( ) = ( ) 在(0, + ∞)上的极大值点个数
为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共 12 小题，共 60 分。
5.在正方体 1 1 1 1中，异面直线 1 与 所成的角为 ．
6.若C 7 = C37，则 = ．
7.已知函数 ( ) = e +1 (1+ ) (1)，则lim = ．
→0
8
2 2
.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的渐近线与 轴的夹角为3，则该双曲线的离心率为 ．
9.若点 (0,4)和点 ( 1,3)关于直线 : + + = 0 对称，则 + = ．
10.一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间为，测得刹车后 s 内列车前进的距离为 = 27
0.45 2m，则列车刹车后 s 车停了下来．
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11.某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装 7 个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力
相切，与包装盒接触的 6 个球形巧克力与圆柱形包装盒侧面及上下底面都相切，如图是平行于底面且过圆
柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为 ，球形巧克力的半径为 ，每个球形巧克力的体积为 1，包装
盒的体积为 2，则下列结论正确的有 ．
① = 3 ② = 6 ③ 2 = 9 1 ④2 2 = 27 1
12.已知直线 的一个方向向量为 = (1, 2,3)，平面 的一个法向量为 = ( , + 1, )，若 ⊥ ，则
+ = ．
13.函数 = ( )的导函数 = ′( )的图像如图所示，则下列说法正确的是 ．
①函数 ( )在区间(1,3)上严格递减；
② (1) < (2)；
③函数 ( )在 = 1 处取极大值；
④函数 ( )在区间( 2,5)内有两个极小值点．
14.已知 ( ) = 2 2 + 5 是定义域在 R 上的函数，若对于任意 ∈ ( 1,3)，都有 ′( ) > 4，则实数 的
取值范围是 ．
15.在正三棱柱每条棱的中点中任取 2 个点，则这两点所在直线平行于正三棱柱的某个侧面或底面所在平面
的概率为 ．
16.已知 0, 0 是抛物线 2 = 4 上一点，则 2 0 + 0 0 + 3 的最小值为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， = 2， 为棱 1的中点， 是正方形 1 1内(含边界)的一个动
点，且 1 //平面 1 ，
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(1)求平面 1 与平面 所成二面角的余弦值；
(2)求动点 的轨迹长度．
18.(本小题 14 分)
已知方程 2 2 3 + 2 2 + 1 + 6 2 = 0( ∈ ).
(1)求该方程表示直线的条件；
(2)当 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出此时的直线方程；
(3)直线是否过定点，若存在直线过定点，求出此定点，若不存在，说明理由．
19.(本小题 14 分)
骰子通常作为桌游小道具，最常见的骰子是一个质地均匀的正方体，六个面的点数从小到大分别为 1，2，3，
4，5，6.
(1)先后抛掷骰子两次，记 =“两次点数之和为 4”，求事件 的概率；
(2)甲、乙两人玩游戏，双方约定：游戏有 2 关，第一关抛掷一次，所得的点数不小于 2，则算闯过第 1 关；
第二关抛掷两次，所得的点数之和不小于 7，则算闯过第 2 关.假定每次闯关互不影响.由甲连续挑战两关并
均过关，则甲胜；否则，乙获胜.这种游戏规则公平吗？请说明理由．
20.(本小题 14 分)
2 2
已知椭圆 : 2 +

2 = 1( > > 0)
2
的离心率为 2 ，以 的短轴为直径的圆与直线 = + 6 相切.直线 过右
焦点 且不平行于坐标轴， 与 有两交点 ，B.
(1)求 的方程；
(2)若椭圆 上存在点 ，使得四边形 为平行四边形，求此时直线 的方程；
(3)在 轴上是否存在点 ( , 0)使得∠ = ∠ 恒成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
21.(本小题 14 分)
已知 ( ) = ln ， ( ) = 2 + 2．
(1)求 ( ) = ( ) ( )的最大值；
(2)设 ∈ ，试根据 的不同取值，讨论关于 的方程 ( ) = ( ) + 解的个数；
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(3)求证：有且只有两条直线与曲线 = ( )、 = ( )均相切．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 2
6.3 或 4
7.e2
8.2
9. 2
10.30
11.①④
12. 43
13.②④
14. 13 , 1
15.12/0.5
16.4 2/ 2 + 4
17.【详解】(1)如图，以 为原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向，
1为 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 1(0,0,2)， (2,0,0)， (0,2,1)， 1 = (2,0, 2)， 1 = (0,2, 1)，
设平面 的一个法向量为 = 0, 0, 0 ，
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2 0 2 0 = 0则 2 0
，取 0 = 2，则 = (2,1,2)，
0 = 0
′又平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
′
cos , ′ = = 2 3×1 =
2
3， ′
2
故平面 与平面 所成二面角的余弦值为3．
(2)由 1 //平面 1 ， 1 在经过点 1且与平面 1 平行的平面上，
取 1中点 ，取 1 1中点 ，连接 1 ， ， 1 ， ， 1，
由 // 1 1且 = 1 1，则四边形 1 1是平行四边形，
1 // 1 ， 1 平面 1 ， 1 平面 上，则 1 //平面 1 ；
因为 // 1且 1// 1，则 // 1，
又 平面 1 ， 1 平面 1 ，则 //平面 1 ，
又 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1 ，
所以平面 1 //平面 1 ，
又平面 1 ∩正方形 1 1 = ， 的轨迹是线段 ，
由 1 = 1 = 1，
所以 = 21 + 21 = 2．
18.【详解】(1)当 ， 的系数不同时为 0 时，方程表示一条直线，
令 2 2 3 = 0，解得 = 1 或 = 3；
令 2 2 + 1 = 0，解得 = 1 1或 = 2，
所以 ， 的系数同时为零时 = 1，
故若方程表示一条直线，则 ≠ 1，
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即实数 的取值范围为 ≠ 1 ；
(2)当 的系数不为 0， 的系数为 0 时斜率不存在，
由(1) 1知当 = 2时，2
2 + 1 = 0 且 2 2 3 ≠ 0，方程表示的直线的斜率不存在，
此时直线方程为 3 4 = 0；
(3)不过定点，证明如下：
证明：当 的系数为 0， 的系数不为 0 时斜率为 0，
由(1)知当 = 3 时， 2 2 3 = 0 且 2 2 + 1 ≠ 0，方程表示的直线的斜率为 0，
此时直线方程为 = 0，
由(2)知，直线的斜率不存在时直线方程为 3 4 = 0，
3 4 = 0, 4
由 = 0,得交点为 3 , 0 ，
4
若直线过定点，则定点为 3 , 0 ，
4
将 3 , 0 代入方程
2 2 3 + 2 2 + 1 + 6 2 = 0，
得 2 2 3 × 43 + 6 2 = 0，
整理得 2 2 7 + 3 = 0 1，解得 = 2或 = 3，
∴只有当 = 1 42或 = 3 时，直线过 3 , 0 ，
∴直线不过定点．
19.【详解】(1)先后抛掷骰子两次，基本事件总数 = 6 × 6 = 36，
事件 包含的基本事件有：(1,3), (2,2), (3,1)共 3 个，
∴事件 的概率为 ( ) = 3 = 136 12；
(2)抛掷 1 次骰子有 1,2,3,4,5,6 共 6 种结果，
5
出现的点数不小于 2 的情况有 2,3,4,5,6 共 5 种，则挑战第一关通过的概率为 1 = 6；
抛掷骰子两次，基本事件总数 = 6 × 6 = 36，
抛掷 2 次出现的点数之和不小于 7 的情况有(1,6), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3),
(4,4), (4,5), (4,6), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)共 21 种，
则挑战第 2 = 1+2+3+4+5+6 = 7关通过的概率为 2 6×6 12，
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2 = = 5 × 7 = 35则连续挑战 关并过关的概率为 1 2 6 12 72，
35 35 37
所以甲获胜的概率为72，乙获胜的概率为 1 72 = 72，
35 37
因为72 < 72，所以这种游戏不公平．
20. 2
2 2 2 1
【详解】(1)由椭圆 的离心率为 得： 2 = = = 2 22 2 2 2，即有 = 2 ，
由以 的短轴为直径的圆与直线 = + 6 6相切得： = ，
2+1
2 2
联立解得 2 = 8， 2 = 4，所以 的方程是 8 + 4 = 1．
= ( 2)
(2)设直线 的方程为 = ( 2)( ≠ 0)，联立 2 2 ，消去 得，
8 + 4 = 1
2 2 + 1 2 8 2 + 8 2 8 = 0，
则 = 64 4 4 2 2 + 1 8 2 8 = 32 2 + 1 > 0 恒成立，
设 1, 1 ， 2, 2 ， 3, 3 ，由四边形 为平行四边形，
2
∴ 8 3 = 1 + 2 = 2 2+1，
4 3 = 1 + 2 = 1 + 2 2 = 2 2+1，
∵ ∴ 8
2 2 4 2 2 1 2点 在椭圆上， 2 2+1 + 2 × 2 2+1 = 8，解得 = 2，即 =± 2 ，
∴当四边形 为平行四边形时，直线 的方程为 ± 2 2 = 0．
(3)由∠ = ∠ ，则 =
1 2
，即 1
+ 2
= 0，
1 2 2 + 2 2 则 1

= 0，则 2 1 2 ( + 2) 1 + 2 + 4 = 0，1 2
8 2 8 2
由(2) 81 + 2 = 2 2+1， 1 2 = 2 2+1，
2 8
2 8 2
所以 2 2+1 ( + 2)
8
2 2+1 + 4 = 0，
化简得 4 ( 4) = 0，又 ≠ 0，故 = 4．
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21.【详解】(1)有题意有 ( ) = ( ) ( ) = ln 2 + 2，定义域为(0, + ∞)，
′( ) = 1 2 + 1 = ( 1)(2 +1)所以 ，令 ′ ( ) = 0，解得 = 1
1
或 = 2 (舍去)，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0，函数 ( ) = ( ) ( )严格增；
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0，函数 ( ) = ( ) ( )严格减，
故当 = 1 时，函数 ( ) = ( ) ( )取到最小值，最大值为 2．
(2)令 ( ) = ( ) + ，
( ) ( ) = ，即 ( ) = ，由(1)， ( ) = ( ) ( )在(0,1)上严格增，在(1, + ∞)严格减，
又 → 0， ( ) = ln 2 + 2 → ∞，
→+∞， ( ) = ln 2 + 2 < 2 + 2 = 2 + 2 2 → ∞，
( )图像如图，求方程解得个数即求直线 = 与 = ( )图像的交点个数，
当 < 2 时，有两个交点，即方程有 2 个解；
当 = 2 时，有一个交点，即方程有 1 个解；
当 > 2 时，有零个交点，即方程有 0 个解；
(3)假设直线 = + 与曲线 = ( )、 = ( )均相切，与 = ( )相切于 1 1, ln 1 ，
与 = ( )相切于 2 2 22 2 + 2 ，
1
= 1
′( ) = 1， ′( ) = 2 1，则 2 2 1 = ,
ln 21 2+ 2 2
= 1 2
消去 1, 2得 4ln 2 2 + 11 = 0，令 ( ) = 4ln 2 2 + 11，
4 2( +2)( 1)
则 ′( ) = 2 2 = ，令 ′ ( ) = 0 得 = 2 或 = 1，又 > 0，所以 = 1，
当 ∈ (0,1)， ′( ) > 0， ( )严格增，
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又 3 = 6 2 2 1 < 0， (1) = 8 > 0，
则 ∈ 0, 3 ， ( ) < 3 < 0， ∈ 3, 1 ， ( )有唯一零点；
当 ∈ (1, + ∞)， ′( ) < 0， ( )严格减，
又 (1) = 8 > 0， 2 = 4 2 2 + 19 > 0，
则 ∈ 2, + ∞ ， ( ) < 2 < 0， ∈ 1, 2 ， ( )有唯一零点，
综上所述， ( )在区间 3, 1 和 1, 2 各有一个零点，
即证有且只有两条直线与曲线 = ( )、 = ( )均相切．
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