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2024-2025 学年上海市嘉定区封浜高级中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2 21 .“1 < < 3”是“方程 1 m 3 = 1 表示椭圆”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知 (3,2), ( 3, 2) 1，若动点 满足直线 与直线 的斜率之积为3，则动点 的轨迹方程为( )
2 2
A. 2 23 = 1, ≠± 3 B. 3 = 1, ≠± 3
2 2C. 2 3 = 1 D. 3
2 = 1
3.已知 2 2 2 + ( + 1) 2 + 2 + 1 = 0 表示圆，则实数 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 12 D.
1
2
2 2 2 24 .双曲线 1: 2 2 = 1 和 2: 2 2 = 1 的离心率分别为 1和 2，若满足 1 > 2，则下列说法正确是( ) 1 1 2 2
A. 1的渐近线斜率的绝对值较大， 1的开口较开阔
B. 1的渐近线斜率的绝对值较大， 1的开口较狭窄
C. 2的渐近线斜率的绝对值较大， 2的开口较开阔
D. 2的渐近线斜率的绝对值较大， 2的开口较狭窄
二、填空题：本题共 12 小题，共 60 分。
2 2
5 .双曲线 6 3 = 1 的离心率为 ．
6.两条平行直线 5 12 + 5 = 0 与 5 12 8 = 0 之间的距离为 ．
7.已知点 (1,0)、 (0,1)，则直线 的方程是 ．
8.以点(3,4)为圆心，且经过原点的圆的方程为 ．
9.直线 经过点( 2,0)和 1, 3 ，则直线 的倾斜角为
10.设 为实数，若直线 : 2 + 1 = 0 在 1轴上的截距为2，则 的值为 ．
11.已知抛物线 2 = 2 过点 (2,2)，则点 到准线的距离为 ．
2 2
12 .已知椭圆10 + 2 = 1 的长轴在 轴上，若焦距为 4，则 = ．
2 2
13.若抛物线 2 = 2 的焦点与椭圆 8 + 4 = 1 的右焦点重合，则 = ．
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14
2
.以双曲线 29 = 1 的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 ．
15.已知圆 : 2 + 2 = 21 ，圆 2: 2 + 2 8 6 + 16 = 0，若圆 1与圆 2相外切，则 = ．
216
2
.点 为双曲线 9 16 = 1 上的点， 1、 2为左、右焦点，若∠ 1 2 = 60°，则 1 2的面积是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
π已知直线 经过点 ( 3, 3)，并且与直线 0: 3 + 1 = 0 的夹角为3，求直线 的方程．
18.(本小题 14 分)
已知圆 过点 (0,1)， ( 2, 1)，且圆心 在直线 = + 3 上．
(1)求圆 的标准方程；
(2)过点 ( 4,2)的直线 与圆 相切，求直线 的方程．
19.(本小题 14 分)
已知过点 (0,2)的直线 与抛物线 2 = 4 相交于 、 两点， 为坐标原点．
(1)若直线 过抛物线 2 = 4 的焦点，求弦 的长；
(2)若以 为直径的圆过坐标原点，求直线 的方程．
20.(本小题 14 分)
2 2
已知椭圆 : 2 +

2 = 1( > > 0)
2
的两个顶点 (0,2), (0, 2)，且其离心率为 2 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过椭圆 的右焦点 的直线与其相交于 ， 两点，若 ⊥ ( 为坐标原点)，求直线 的方程；
(3)设 为椭圆 上的一个异于 ， 的动点，直线 ， 分别与直线 = 4 相交于点 ， ，试求| |的最
小值
21.(本小题 14 分)
2 2
已知双曲线 的方程为 2 2 = 1( > 0, > 0)，虚轴长为 2，点 ( 4, 1)在 上.
(1)求双曲线 的方程；
(2)过原点 的直线与 交于 , 两点，已知直线 和直线 的斜率存在，证明：直线 和直线 的斜率之
积为定值；
(3)过点(0,1)的直线交双曲线 于 , 两点，直线 , 与 轴的交点分别为 , ，求证： 的中点为定点．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 62
6.1
7. + 1 = 0
8.( 3)2 + ( 4)2 = 25
9.π6/30

10.2
11.52
12.8
13.4
14.( 10)2 + 2 = 1
15.2
16.16 3
17.由于直线 0: 3 + 1 = 0
3 π
的斜率为 3 ，故它的倾斜角为6，
由于直线 和直线 0: 3 + 2 = 0
π 5π
的夹角为3，故直线 的倾斜角为2或 6，
故直线 3的斜率不存在或斜率为 3 ．
再根据直线 经过点 ( 3, 3)，得直线 的方程为 = 3 或 3 = 33 ( + 3)，
即 = 3 或 + 3 = 0．
18. (1) 1 ( 1)解： 直线 的斜率为0 ( 2) = 1，线段 的中点坐标为( 1,0)
直线 的垂直平分线的方程为 = ( + 1)，整理为 = 1
= + 3 = 2
联立方程 = 1，解得 = 1
由圆 的性质可知，圆心 的坐标为( 2,1)，可得圆 的半径为| | = 2
故圆 的标准方程为( + 2)2 + ( 1)2 = 4
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(2)①当直线 的斜率不存在时，直线 = 4 正好与圆 相切，
故此时直线 的方程为 = 4
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 2 = ( + 4)，
整理为 + 4 + 2 = 0
由直线 | 2 1+4 +2| 3与圆 相切，有 = 2，解得 =
2+1 4
3
可得直线 的方程为4 + 5 = 0，
整理为 3 4 + 20 = 0
故直线 的方程为 = 4 或 3 4 + 20 = 0．
19.(1)因为 2 = 4 ，所以 = 2，所以焦点坐标为(1,0)，
2 0
所以直线 的斜率为0 1 = 2，所以直线 的方程为 0 = 2( 1)，
即 = 2 + 2，
= 2 + 2
联立 2 2 = 4 ，整理得 3 + 1 = 0，
设 1, 1 ， 2, 2 ，所以 1 + 2 = 3， 1 2 = 1，
所以| | = 1 + 2 21 + 2 4 1 2 = 1+ 4 9 4 = 5；
(2)
由已知可知直线 的斜率存在且不为 0，设直线 的方程为 = + 2，
= + 2
联立 2 = 4 ，整理得
2 2 + (4 4) + 4 = 0，
因为直线 与抛物线有两个交点，所以 = (4 4)2 4 2 × 4 = 32 + 16 > 0，
所以 < 12且 ≠ 0，
4 4 所以 1 + 2 = 2 ， 1 2 =
4
2，
所以 1 2 = 1 + 2 2 + 2 = 2 1 2 + 2
8
1 + 2 + 4 = ，
因为以 为直径的圆过坐标原点，所以 = 0，
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又 = 1, 1 ， = 2, 2 ，所以 1 2 + 1 2 = 0
4 8
，即 2 + = 0，
解得 = 1 12，满足 < 2且 ≠ 0，
1
所以直线 的方程为 = 2 + 2，即 + 2 4 = 0．
= 2
20.(1) 2 2由条件 = ，解得 = 2 2， = = 2．
= 2 2
2 2
故椭圆 的方程为 8 + 4 = 1．
(2)易知椭圆 右焦点 的坐标为(2,0)，设直线 的方程为 = + 2，
= + 2
( 1, 1), ( 2, 2)，则由 2 2 2 + 2 2 = 8，得( + 2) + 4 4 = 0，
显然 = (4 )2 + 16( 2 + 2) > 0. 4 4于是 1 + 2 = 2+2， 1 2 = 2+2①
因为 ⊥ ，故 = 0，
即( 1, 1) ( 2, 2) = 1 2 + 1 2 = ( 1 + 2)( 2 + 2) + 1 2 = 0.
于是( 2 + 1) 1 2 + 2 ( 1 + 2) + 4 = 0②
4 4 2
将①代入②：( 2 + 1)( 2+2 ) + 2 ( 2+2 ) + 4 = 0，解得 =± 2 ．
2
故直线 的方程为： =± 2 + 2，即 2 ± 2 2 = 0．
(3)设 ( 0, )( 2 20 0 ≠ 0), ( , 4), ( , 4)，则 0 + 2 0 = 8．
因 = 0 2 2 6 ，故直线 的方程为 2 =
0
，其与直线 = 4 的交点 的横坐标为 =
0
0 0 0 2
；
= 0+2 0+2 2 又 0 ，故直线 的方程为 + 2 = ，其与直线 = 4 的交点 的横坐标为 = +2．0 0 0
= 6 0 2 0 12
2
0 12(8 2
2
于是 0
)
2 +2 = 2 = 2 = 24，即 = 24．0 0 0 4 0 4
故| | = | | = | | + | | = | | +
24
| | ≥ 4 6．
当且仅当 = =± 2 6，即点 坐标为( 6, 1)或( 6, 1)时，| |取得最小值 4 6．
21.(1)因为虚轴长 2 = 2，所以 = 1．
又因为点 ( 4, 1) 16 1在双曲线上，所以 2 2 = 1，
解得 2 = 8．

2
故双曲线 的方程为 8
2 = 1．
(2)证明：如下图所示：
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设 0, 0 , 0 ≠ 4，则 0, 0
+1 +1 1 2
所以 0 0 0 = 0+4
+4 =0 16 20
2 2
因为 0, 0 在双曲线 上，所以 0 28 0 = 1，可得 1
2 = 2 00 8；
2
1 20 2
0
= = 8 = 1于是 16 2 16 20 0 8
，
1
所以直线 和直线 的斜率之积为定值，定值是8．
(3)证明：设 1, 1 , 2, 2 ，直线 的方程为 = + 1，如下图所示：
= + 1
联立 2 2 ，消去 整理可得 1 8
2 2 16 16 = 0①
8 = 1
则Δ = ( 16 )2 4 1 8 2 × ( 16) = 64 256 2 > 0,
所以 1 + 2 = 1 + 1 + 2 + 1 = 1 + 2 + 2 =
2
1 8 2②
21 2 = 1 + 1 2 + 1 = 1 2 + 1 + 2 + 1 = 1③
+1
直线 的方程为 = 1 +4 ( + 4) 1，令 = 0，得点 的横坐标为 =
1+4

1 +1
4；
1
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+4
同理可得点 的横坐标为 = 2 2+1
4；
所以 + =
1+4 2+4
+1+ +1 81 2
1 2 + 2 1 + 1 + = 2 +4
1 + 2 +8
1 +1 2 +1
8
1 2 +1 + = 2 1
+1 + 1 + 2 +4 1 + 2 +8
1 2 + 1 + 2 +1
8
2 1 2 +2 1 + 2 +4 1 + 2 +8= + + +1 8.1 2 1 2
将①②③式代入上式，并化简得到
8+ 8 1 8 2
+ = 8 = 4 8 = 4,2+ 2 1 8 2
+ 所以 的中点的横坐标为 = 2 = 2，
故 的中点是定点( 2,0)．
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