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濮阳市一高高一年级（2024 级）下学期第三次质量检测
数学答案
1．B 由题意可得 ，
则 .故选：B.
2．D 因为 ，所以 ，
所以 即 ，故 ，故选：D.
3．B 因为 ，
所以由正弦定理得 ，即 ，
则 ，故 ，
又 ，所以 .故选：B.
4．C 对于 A，若 ， ，则 平行或相交，不一定垂直，故 A错误.
对于 B，若 ，则 或 ，故 B错误.
对于 C， ，过 作平面 ，使得 ，
因为 ，故 ，而 ，故 ，故 ，故 C正确.
对于 D，若 ，则 ，故 D错误.故选：C.
5．D ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又因为 ， ，则 ，
则 ，即 ，
即 ，又因为 ，则 ，
所以 ，即 .
即 一定是等边三角形，故 D正确.故选：D.
6．B 解法一：分别取 的中点 ，则 ，
可知 ，
设正三棱台 的为 ，
则 ，解得 ，
如图，分别过 作底面垂线，垂足为 ，设 ，
则 ， ，
可得 ，
结合等腰梯形 可得 ,
即 ，解得 ，
所以 与平面 ABC 所成角的正切值为 ；
解法二：将正三棱台 补成正三棱锥 ，
则 与平面 ABC 所成角即为 与平面 ABC 所成角，
因为 ，则 ，
可知 ，则 ，
设正三棱锥 的高为 ，则 ，解得 ，
取底面 ABC 的中心为 ，则 底面 ABC，且 ，
所以 与平面 ABC 所成角的正切值 .故选：B.
7．A 在四面体 中，由 平面 ， 平面 ，得 ，
而 ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，于是 ，又 ，取 中点 ，连接 ，
因此 ，即点 为四面体 外接球球心， 重合，
，球 的半径 ，
所以球 的体积为 .故选：A
8．C 设 ， ，根据题意得 ，
解得 ， ， ， ，
，
又 、 、 三点共线， ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．故选：C
9．BD 对于 A：令 、 ，则 ，显然不满足 ，故 A 错误；
对于 C：令 、 ，则 ， ，
所以 ，但是 ，故 C错误；
设 ， ，
所以 ，
则
，
又 ，
所以 ，故 B正确；
，又 ，
所以 ，故 D正确.故选：BD
10．AC 对于 A选项，在 中， ，
则 ，
所以 ，
因为三角形中最多只有一个钝角，所以 ，即三个角都为锐角，故 A
正确；
对于 B选项，因为 ，所以 ，所以 为锐角，但
无法判断角 和角 ，故 B错误；
对于 C选项，在 中，由 及正弦定理，得 ，根据三角形大边对大角的性
质知 ，故 C正确；
对于 D选项，由正弦定理 得 ，
又由 得 ，因此 有一解，故 D错误．故选：AC.
11．ABC A：如图，在正方体 中，连接 ．
因为 N，P 分别是 的中点，所以 ．
又因为 ，所以 ．
所以 四点共面，即当 Q 与点 重合时， 四点共面，故 A正确；
B：连接 ，当 Q 是 的中点时，因为 ，所以 ．
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，故 B正确；
C：连接 ，因为 ，则
，故 C正确；
D：分别取 的中点 E，F，构造长方体 ，
则经过 C，M，B，N 四点的球即为长方体 的外接球．
设所求外接球的直径为 ，则长方体 的体对角线即为所求的球的直径，
即 ，
所以经过 C，M，B，N 四点的球的表面积为 ，故 D错误．故选：ABC
12． 因 在 上的投影向量为 ，即 ，
则 ，又 ，则得 ，
所以 ，
又 ，故向量 与向量 的夹角为 ，故答案为： .
13． 由正弦定理及二倍角公式得：
，
因为在 中， ，
，
即 ，
即 ，因为在 中， ,所以 ，所以 .
14． 或 取 的中点 ，连接 、 ，
、 分别为 、 的中点， 且 ，
同理可得 且 ，
为异面直线 与 所成的角或其补角，则 或 .
在 中， ， ，
若 ，由余弦定理可得
；
若 ，由余弦定理可得
；
综上所述， 或 .故答案为： 或 .
15．【解】（1）由 得 ,.................1分
又因为 ，................................................................2分
所以 ,............................................................................................................3 分
又因为 ，......................................................................................................4分
所以 ,.............................................................................................................................5 分
又因为 ,所以 ......................................................................................................6分
（2）因为 ，.............................................................................................8 分
所以 ,............................10分
又因为 ,..............................................11分
所以 ,所以 ,...........................................................13 分
16．【解】（1）在正方形 中， ，因为 ，所以 ，又因为侧
面 是正方形，所以 ，....................................................................................2 分
因为 平面 ，所以 平面
，....................................................................................................................................3 分
而 平面 ，则 ，而 ，..........................................................4 分
∴ ，而 ，又 平面 ，.............................................5分
∴ 平面 ......................................................................................................................6 分
（2）连接 ，如图所示：
∵ 为正方形， ，
∴ ，.......................................................................................................8 分
而 平面 ，
∴ 平面 ，...............................................................................................................10 分
∴ 为直线 与平面 所成的角，......................................................................12分
∵ ，..........................................................................................................13分
∴ ，......................................................................................................................14分
所以直线 与平面 所成的角为 ..............................................................................15分
17．（1）解：由余弦定理得 ，....................................................1分
因为 ，所以 ，..................................................................................2 分
因为 ，则 ，所以 ，所以 ，......................................4 分
因为 ，所以 ，................................................................5 分
因为 ，所以 ..........................................................................................................6分
（2）解：由（1）知 ， ，所以 ，所以 ，.............7分
设 ，因为 ，所以 ，.........................................8分
因为 ，所以 ，..........................................................................9分
因为在 中 ，由正弦定理 ...................................................11分
可得 ，...............................................12 分
在 中， ，则 ，则 ，...............13 分
由正弦定理 ，即 ，所以， ，............................14 分
因为 ，所以 .......................................................................15 分
18．【详解】（1） ， 平面 ， 平面 ，.................................1分
平面 ，.................................................................................................................. 3分
又 平面 SBC，平面 平面 ，................................................................5 分
；...................................................................................................................................6 分
（2）在侧棱 上存在一点 ，使 平面 ，满足 ，.................................7分
理由如下：连接 交 于 ，连接 ，则 为 中点，..........................................8 分
取 中点 ，因为 ，则 ，.....................................................................9分
过 作 的平行线交 于 ，连接 ，...................................................................10分
在 中，有 ，....................................................................................................11分
平面 PAC， 平面 PAC， 平面 PAC，....................................................12 分
由于 ， ，...........................................................................................13分
又由于 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，...................14分
又 ， 平面 ，..........................................................................15 分
平面 平面 ，又 ，得 平面 ，.....................................16分
所以存在，且 ...............................................................................................................17分
19．【详解】（1）因为正方体 的棱长为 ，
所以四分之一圆柱体 的体积为： ．....................................3分
（2）如图：
曲线 是所求的一条交线．...........................................6分
（3）如图：截面位于八分之一“牟合方盖”内的部分为正方形 ．................................7分
因为 ，所以 ，而正方体 的棱长为 ，因此 ，
所以 ，因此正方形 的面积为 ，..........................9 分
即该截面位于八分之一“牟合方盖”内部分的面积为 ．...............................................10 分
用平行于八分之一“牟合方盖”底面 ，
且到“牟合方盖”底面 的距离为 的平面去截八分之一“牟合方盖”，
所得截面的面积为 ．所得截面如图：........................................................................12分
正方体 的棱长为 为底面 的中心，
把正方体 去掉正四棱锥 后剩下的部分的底面 与“牟合方盖”
底面 放到同一平面上，
则八分之一“牟合方盖”与所得几何体都夹在平面 与平面 之间，
则用平行于八分之一“牟合方盖”底面 ，且到“牟合方盖”底面 的距离为
的平面去截所得几何体，....................................................................................14 分
截面为图中的阴影部分，且面积为 ，........................................................................15分
因此八分之一“牟合方盖”的体积为 ，......................16分
所以当 时，八分之一“牟合方盖”的体积为 ．...............................................17 分濮阳市一高高一年级（2024级)下学期第三次质量检测
数学试题
一、
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的.
铷
1.设z=
2+i
+i2+护’
则z=()
舒
A.1-2i
B.1+2i
C.2-i
D.2+i
2.已知向量ā=(0,1)，6=(2，x),若⊥(6-4)，则x=（)
A.-2
B.-1
C.1
D.2
3.在△ABC中，(a+c)sinA-sinC=b(sinA-sinB),则∠C=()
D.
5π
长
A君
B.司
4.已知m,n是两条直线，&是一个平面，下列命题正确的是()
A.若m/1a,m⊥n,则n⊥
B.若m⊥a,m⊥n,则n⊥
C.若ml∥a,n⊥a,则m⊥n
D.若mLa,n⊥a&,则m⊥n
5,在△ABC中，若asin B=V3cosA,且sinC=2 sin Acos B,那么△ABC一定是()
A.等腰直角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形
D,等边三角形
郑
6.
已知正三棱台ABC-AB,C的体积为
3=6,4码=2，则44与平面B0
正切值为（)
A.
B.1
C.2
D.3
痴
7.在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC,AB⊥BC,AD=AB=BC=√3，四面体ABCD的四个顶
点都在球O的表面上，则球O的体积为（)
A.
2
B.3
C.326m
D.64V6π
8.
在△ABC中，AB·AC=9,sinB=cos AsinC,S4Bc=6,P为线段AB上的动点（不包括
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端点)，且可=x,可
C丽
+少，则二+二的最小值为()
A.+6
c.116
63
123
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分
9.已知名、22都是复数，下列正确的是（)
A.若=2，则名=2
B.2z=klkl
C.若名+z2=3-22,则名2=0
D.Z·22=Z122
10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是()
A.若tanA+tanB+tanC>0,则△ABC一定为锐角三角形
B.若AB.AC>0,则△ABC是锐角三角形
C.若sinA>sinB,则A>B
D.若A=60°，a=3,b=2√2，则△ABC有两解
11.在棱长为2的正方体ABCD-ABGD中，M,N,P分别是AA,CC,C,D,的中点，Q是线段
DA上的动点，则下列说法中正确的是()
A.存在点2，使B,N,P,Q四点共面
B.存在点2，使P21/平面MBW
C,三棱锥P-MN的体积为
D.经过C,M,B,N四点的球的表面积为四
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，
12.已知平面向量a,方满足-川-3，且ā在6上的投影向量为-56，则向量ā与向量6的
2
夹角为
13.在△ABC中，角A4,B,C的对边分别为ab,c,已知asin2B-Csin2A=asinAcosC.则角
B=
14.如图，在四面体A-BCD中，AC=2,BD=V2,AC与BD所成的角
为45°，M,N分别为AB,CD的中点，则线段MN的长为
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