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2024-2025学年河南省郑州市中牟县第一高级中学高二下学期 5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = 3 1 (1+△ ) (1) 2，则 lim =( ) →0 4
A. 1 B. 14 2 C.
5 5
2 D. 4
2. 2 + 2 + 5的展开式中 5 2的系数为( )
A. 30 B. 60 C. 90 D. 120
3.县委组织部拟派六位大学生村官对五个贫困村进行驻村帮扶，每位大学生村官只去一个贫困村，每个贫
困村至少派一位大学生村官，其中甲、乙两位大学生村官派遣至不同的贫困村，则不同的派遣方案共有( )
A. 1440 种 B. 1680 种 C. 1800 种 D. 2400 种
4.已知函数 ( ) = 2 + ln( + 1)有两个不同的极值点 1， 2，则实数 的取值范围为( )
A. ∞, 12 B.
1
4 ,
1 1 1
2 C. 0, 2 D. 0, 2
5.已知变量 与变量 的关系可以用模型 = 1 2 ( 1, 2为常数)拟合，设 = ，变换后得到一组数据如
下：
2 3 4 5 6
1.02 1.20 1.42 1.62 1.84
由上表可得经验回归方程为 则 1 =( )
A. 0.206 B. 0.206 C. 0.596 D. 0.596
6.如图所示，在杨辉三角中，斜线 上方箭头所示的数组成一个数列：1，1，2，3，3，6，4，10，…….
记这个数列的前 项和为 ，则 24 =( )
A. 442 B. 441 C. 364 D. 298
′
7.已知函数 = ( )在 上可导且 (0) = 6 ′( ) ( ) 2 ( )，其导函数 满足： e2 = 2 1，则 ( ) < 0 的解
集为( )
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A. ( ∞,3) B. (1,3) C. ( 2,1) D. ( 2,3)
8 1 1.已知连续型随机变量 服从正态分布 ( 2 , 4 )，记函数 ( ) = ( ≤ )，则 ( )的图象( )
A. 1关于直线 = 2对称 B.关于直线 =
1
4对称
C. ( 1 , 1 1 1关于点 2 2 )成中心对称 D.关于点( 4 , 4 )成中心对称
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8
9.关于 2 3 的展开式，下列说法正确的是( )
A.展开式共有 8 项 B.展开式的所有项系数之和为 1
C.展开式的二项式系数之和为 256 D.展开式中含有常数项
10.由一组样本数据 , ( = 1,2,3, , 8)得到的经验回归方程为 = 2 0.4, = 2，去除两个样本点(
2,7)和(2, 7)后，得到的新的经验回归直线的斜率为 3，则此时( )
A.相关变量 ， 具有正相关关系 B.新的经验回归方程为 = 3 3.2
C.随 值的增加， 值增加的速度变小 D.样本点(4,8.9)似残差为 0.1
11.定义：设 ′( )是 ( )的导函数， ″( )是函数 ′( )的导数，若方程 ″( ) = 0 有实数解 0，则称点
0, 0 为函数 ( )的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数
图象的对称中心．已知函数 ( ) = 3 + 2 3 + 的图象的对称中心为(0,3)，则下列说法中正确的有( )
A. = 0, = 6
B. ( )的极大值与极小值之和为 6
C. ( )有三个零点
D.对于任意实数 , ( )过(0, )的切线有且只有一条
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.C010 + C1 9 1010 + + C10 + C10 = ．
13.若随机变量 ～ (6,0.5)，且随机变量 = 2 + 1，则 ( ) = ．
14.曲线 = e 与曲线 = 2e 的公切线方程为 ．
四、解答题：本题共 4 小题，共 47 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 11 分)
已知 5 名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为 ．
(1)求 的值；
(2)设(1 3 ) = 0 + 1 + 2 2 + + ，
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①求 1 + 2 + + 的值；
②求奇次项的系数和．
16.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = 1 22 ( ∈ )．
(1)若 = 0，求 ( )的极小值；
(2)当 > 1 时，求 ( )的单调递增区间；
(3)当 > 0 时，设 ( ) 2的极大值为 ( )，求证： ( ) ≥ 2．
17.(本小题 12 分)
“停课不停学，停课不停教”，疫情防控静态管理期间，从高二年级随机抽取 120 名学生进行了问卷调查，
5
得到如下列联表：已知在这 120 人中随机抽取 1 人，抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是12．
男生 女生 合计
喜欢钉钉直播上课 20
不喜欢钉钉直播上课 30
合计 120
(1)请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有 95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关？
(2)校团委为进一步了解学生喜欢钉钉直播上课的原因，用分层抽样的方法从该类学生中抽取 5 人组成总结
交流汇报小组，从该小组中随机抽取 3 人进行汇报，记 3 人中男生的人数为 ，求 的分布列、数学期望．
附临界值表：
2 ≥ 0 0.10 0.05 0.010 0.005
0 2.706 3.841 6.63 7.879
( )2
参考公式： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
18.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = ( + )e ， ∈ ．
(1)当 ∈ [0,4]时，函数 ( )的最小值为 e，求实数 的值；
(2)当 < 1 时，试确定函数 ( ) = ( ) 2的零点个数，并说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1024/210
13.6
14.2 e 2 + e = 0
15.解：(1)首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，则所有不同的排法种数有 = 2A2A22 2 = 8；
(2)在(1 3 )8 = + + 20 1 2 + + 8 8，
令 = 0，得 0 = 1；
令 = 1，得 0 + 1 + 2 + + 8 = ( 2)8 = 256①；
∴ 1 + 2 + + 8 = 256 1 = 255．
令 = 1，得 8 160 1 + 2 3 + + 8 = 4 = 2 ②；
28 216
②，得 7 151 + 3 + 5 + 7 = 2 = 2 2 . ( 32640 也正确)
16.解：由题意知 ′( ) = ( + 1) ( ∈ )．
(1)若 = 0，则 ( ) = ，
所以 ′( ) = ( + 1)，
令 ′( ) = 0，得 = 1，
所以 ( )在( ∞, 1)单调递减，在( 1, + ∞)单调递增，
所以 ( ) 1的极小值等于 ( 1) = ．
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(2) > 1因为 ，
所以 ln > 1，由 ′( ) > 0，即( )( + 1) > 0，解得 < 1 或 > ln .
故 ( )的单调增区间为( ∞, 1)和(ln , + ∞).
(3) > 1当 时， ( )的极大值等于 ( 1) = ( ) =
1 + 1 > 1 2 2 >
2
2 ;
= 1当 时， ′( ) ≥ 0， ( )无极大值;
当 0 < < 1 时，由题意得， ( )的极大值等于 (ln ) = ( ) =
1 2
2 ( ) ，
令 ( ) = 12 ( )
2 1，所以 ′( ) = ln ( 2 ln + 1)，
( ) (0, 1 1 1因为 在 2 )上单调递减，在( 2 , )上单调递增，
1 2
所以故 ( ) ≥ ( 2 ) = 2，
2
综上所述， ( ) ≥ 2．
17. 5解：(1)由 120 人中随机抽取 1 人抽到喜欢钉钉直播上课的学生的概率是12，
故喜欢钉钉直播上课的学生共有 50 人，列联表补充如下：
男生女生合计
喜欢钉钉直播上课 20 30 50
不喜欢钉钉直播上课 40 30 70
合计 60 60 120
2 = 120×(20×30 30×40)
2 24
由已知数据可求得： 60×60×50×70 = 7 ≈ 5.429 > 3.841，
所以没有 95%的把握认为喜欢钉钉直播上课与性别有关．
(2)由(1)知喜欢钉钉直播上课的男女生比例为 2: 3，
按照分层抽样的方法，从该类学生中抽取 5 人组成总结交流汇报小组，抽取男生 2 人，
则 的可能取值为 0，1，2，
0 3 1 2 2 1
则 ( = 0) = C2C3 = 13 10， ( = 1) =
C2C3 3 C2C3 3
C C3
= 5， ( = 2) = 3 =5 5 C5 10
，
所以 的分布列为：
0 1 2
1 3 3
10 5 10
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的数学期望为： ( ) = 0 × 1 3 3 610 + 1 × 5 + 2 × 10 = 5．
18.解：(1)由 ( ) = ( + )e 求导得： ′( ) = ( + + 1)e ，因 ∈ [0,4]，
当 + 1 ≤ 4，即 ≤ 5 时， ′( ) ≤ 0，则函数 ( )在[0,4]上单调递减，
故 ( )min = (4) = ( + 4)e4 ≤ e4，显然不符合题意；
当 + 1 ≥ 0，即 ≥ 1 时， ′( ) ≥ 0，则函数 ( )在[0,4]上单调递增，
故 ( )min = (0) = ≥ 1，显然不符合题意；
当 4 < + 1 < 0，即 5 < < 1 时，由 ′( ) = 0 可得 = 1，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，则函数 ( )在(0, 1)上单调递减；
当 1 < < 4 时， ′( ) > 0，则函数 ( )在( 1,4)上单调递增，
故 ( ) 1 1min = ( 1) = e < 1，由 e = e，可得 = 2，符合题意．
故实数 的值为 2．
(2)由 ( ) = ( ) 2 = e 2 = 0，可得 e = 2，
显然 = 0 是该方程的一个实数解，故 = 0 是函数 ( )的一个零点；
当 ≠ 0 时，方程可化简为e = ，设函数 ( )= e ，则 ′( )= e 1，
由 ′( ) = 0 可得 = ，当 < 时， ′( ) < 0，则函数 ( )在( ∞, )上单调递减；
当 > 时， ′( ) > 0，函数 ( )在( , + ∞)上单调递增，
故函数 ( )的最小值为 ( )min = ( ) = 1 > 0，
即对任意的 ∈ R， ( ) > 0 恒成立，故方程 e = 2无实数解，即 ≠ 0 时，函数 ( )不存在零点．
综上，函数 ( )有且只有 1 个零点．
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