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2024-2025 学年河北省邢台市临西县翰林高级中学高二下学期期中考
试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. ( ) = ln 在 = e 处的导数 ′ e =( )
A. 1 B. 2 C. D. + 1
2.函数 = sin + 的零点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

3.函数 ( ) = e + 2 2 ( > 0)，若恒有 ( ) ≥ 0，则 的取值范围是( )
A. (e, + ∞) B. [e 1, + ∞) C. ( ∞, e 1] D. ( ∞,0]
4.将 4 封不同的信投入 3 个不同的信箱，不同的投法种数为( )
A. 3 3 4 34 B. 4 C. 3 D. 4
5. 1 + 2 2 (1 + )
6展开式中 2的系数是( )
A. 24 B. 9 C. 24 D. 9
6.用数字 1，2，3，4，5，6 组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列，这个数列的项数为( )．
A. 24 B. 46 C. 48 D. 120
7.已知函数 ( ) = ln( + 1) + 2 ，在区间(2,3)内任取两个实数 1， 2，且 1 ≠ 2，若不等式 1 2 1
> 1
2
恒成立，则实数 的取值范围为( )
A. [ 9, + ∞) B. [ 7, + ∞) C. [9, + ∞) D. [7, + ∞)
8.已知函数 ( ) = 3 3 ， ∈ ( , + 4)存在最小值，则实数 的取值范围为( )
A. [ 2,1) B. ( 2,1) C. [ 3,1) D. ( 3,1)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 3
6
.对于 2 的展开式，下列说法正确的是( )
A.所有项的二项式系数和为 64 B.所有项的系数和为 64
C.常数项为 1215 D.二项式系数最大的项为第 3 项
10.由数字 1，2，3，5 组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是( )
A.可以组成 24 个数 B.可以组成 18 个奇数
C.可以组成 10 个偶数 D.可以组成 18 个比 2000 大的数
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11.若(2 1)10 = 0 + 1( 1) + 2( 1)2 + + 1010( 1) ， ∈ ，则( )
A. 0 = 1 B. 1 + 2 + + 1010 = 3
C. 2 = 180 D. 1 + 2 2 + 3 3 + + 10 = 10 × 3910
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知( 1)4(3 + 2)3 = + + 20 1 2 + + 77 ，则 1 + 2 + + 7 = ．

13.已知 2 + 3 的展开式中各项系数和为 1024，则 2 + + 展开式中不含 5 2 的所有项系数和等
于 ．
14.已知(1 + 2024 )50 + (2024 )50 = 0 + 1 + 22 + + 5050 ，其中 0, 1, 2, , 50 ∈ R，若 < 0，
∈ 0,1,2, , 50 ，则实数 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知(1 )6(1 + )6 = + + 2 + + 120 1 2 12 ．
(1)求 21 + 23 + + 211的值；
(2)求 2 + 4 + + 12的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ln ( ∈ )．
(1)当 = 2 时，求曲线 = ( )在点 (1, (1))处的切线方程；
(2)求函数 ( )的极值．
17.(本小题 15 分)
1
在二项式 + 3 展开式中，第 3 项的系数和第 4 项的二项式系数比为 3: 40．2
(1)求 的值及展开式中的无理项有几项；
(2)求展开式中系数最大的项是第几项．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 22 + (2 1) 2ln , ∈ R．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)对于 ∈ 1, e , ∈ [2, + ∞)，使得 ( ) ≥ ，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = e ∈ R 有两个零点．
(1)求实数 的取值范围；
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(2)设 ( )的两个零点分别为 1, 2，证明： 1 + 2 > 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 8
13.213
14.23
15.【详解】(1)因为(1 )6(1 + )6 = 1 2 6，
则展开式的通项为 = C 2 = C +1 6 6( 1) 2 (0 ≤ ≤ 6 且 ∈ N)，
所以展开式中不含 的奇数次幂的项，
又(1 )6(1 + )6 = 0 + + 2 + + 121 2 12 ，
所以 1 = 3 = = 11 = 0，
所以 2 + 21 3 + + 211 = 0；
(2)因为(1 )6(1 + )6 = + + 20 1 2 + + 1212 ，
令 = 1，得 0 + 1 + 2 + … + 12 = 0；
令 = 0，得 0 = 1；
又 1 = 3 = = 11 = 0，则 0 + 2 + 4 + + 12 = 0，
所以 2 + 4 + + 12 = 1．
16.【详解】(1)函数 ( ) 的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 1 ．
当 = 2 时， ( ) = ln ， ′( ) = 1 2 ( > 0)，
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因而 (1) = 1, ′(1) = 1，
所以曲线 = ( )在点 (1, (1))处的切线方程为 1 = ( 1)，即 + 2 = 0．
(2) 由 ′( ) = 1 = ( > 0)，
①当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，函数 ( )为(0, + ∞)上的增函数，函数 ( )无极值；
②当 > 0 时，令 ′( ) = 0，解得 = ，
所以 ∈ (0, )时， ′( ) < 0， ( )在(0, )上的单调递减，
∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )在( , + ∞)上的单调递增．
所以函数 ( )在 = 处取得极小值，且极小值为 ( ) = ln ，无极大值．
综上所述，当 ≤ 0 时，函数 ( )无极值；
当 > 0 时，函数 ( )在 = 处取得极小值，且极小值为 ( ) = ln ，无极大值．
4
17 1 1 1【. 详解】(1)解：二项式 + 展开式的通项公式为 = C = C 3 3 +1 3 2 (0 ≤ ≤ , ∈2 2
)，
第 3 项的系数和第 4 项的二项式系数比为 3: 40，
2 1 2 ( 1) 1C 2 = 2所以 22 3 3C3 ( 1)( 2) = 4( 2) = 40，解得 = 12． 6
1 4
所以 12 +1 = C12 32 (0 ≤ ≤ 12, ∈ )，
4当 +1为无理项时，12 3 不能为整数，
所以， ∈ 1,2,4,5,7,8,10,11 ，故展开式中的无理项有 8 项.
(2)解：设展开式中系数最大的项是第 + 1(0 ≤ ≤ 11, ∈ )项，
1
1 +1 12! 1 ≥ 12! 1 +1C 2 ≥12 C
+1
12 2 ! (12 )!
2 ( +1)! (11 )! 2
则 1 ，即 , 1
2 ≥ 1 1 12! 1
≥
12! 1
1
C 12 C12 2 ! (12 )! 2 ( 1)! (13 )! 2
2( + 1) ≥ 12 10 ≤ ≤ 13整理可得 13 ≥ 2 ，解得 3 3，
因为 ∈ ，所以 = 4，所以，展开式中系数最大的项是第 5 项.
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2 218. (1) ′( ) = + 2 1 = +(2 1) 2 = ( 1)( +2)【详解】 由题设 且 ∈ (0, + ∞)，
当 ≤ 0 时 ′( ) < 0, ( )在(0, + ∞)上递减；
当 > 0 1时，令 ′( ) = 0 = ，
当 0 < < 1 时
′( ) < 0, ( )在区间 0, 1 上递减；
> 1当 时
′( ) > 0, ( ) 1在 , + ∞ 上递增．
所以当 ≤ 0 时， ( )的减区间为(0, + ∞)，无增区间；
当 > 0 时， ( ) 1的增区间为 , + ∞ ，减区间为 0,
1
．
(2)由题设知 ( ) ≥ min = 2 对 ∈ 1, e 恒成立．
< 1 (1) = 5 当 时，此时 2 1 < 2，不合题设，舍去．
当 ≥ 1 时， ′( ) ≥ 0, ( ) 5 6在 1, e 上递增，只需 (1) = 2 1 ≥ 2 ≥ 5符合．
综上： ≥ 65．
19.【详解】(1)因为 ( ) = e ∈ R 有两个零点，所以关于 的方程 e = 0，

即 = e 有两个根，
所以直线 = 与曲线 = e 有两个不同的交点
( ) = ′( ) = 1 令 e ，则 e ，令
′( ) = 0，得 = 1，
令 ′( ) > 0，得 < 1，令 ′( ) < 0，得 > 1，
所以 ( )在( ∞,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
1
所以 ( )max = (1) = e．
又 (0) = 0，当 →+∞时， ( ) → 0 1，所以 0 < < e，
1
故实数 的取值范围为 0, e ．
(2)由(1)知 1 > 0, 2 > 0，因为 1 = 2 = 0，所以 e 1 = 1, e 2 = 2，
所以 ln + 1 = ln , ln +
2 1
1 2 = ln 2，所以ln 2 ln
= 1．
1
要证 1 + > 2
+ +
2 ，只需证
1 2 2 1 1 2
2 > 1，即证；ln 2 ln
< ，
1 2
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2 2 1
不妨设 0 < < 2 ，要证上式，只需证 ln ln > 2 1 ，即证 ln 2 > 11 2 2 1 + ．2 1 1 2 +11

令 = 2 ，即证 ln >
2( 1)
+1 ( > 1)．1
2
设 ( ) = ln 2( 1) ′ 1 4 ( 1) +1 ( > 1)，则 ( ) = ( +1)2 = ( +1)2 > 0，
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) > ln1 2×(1 1) = 0 2( 1)1+1 ，所以 ln > +1 ( > 1)成立，
所以 1 + 2 > 2．
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