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2024-2025 学年广东省广州市第十六中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个小球从 5m 的高处下落，其位移 (单位：m)与时间 (单位：s)之间的关系为 = 4.9 2，则 = 0.5s
时小球的瞬时速度(单位：m/s)为( )
A. 4.9 B. 9.8 C. 4.9 D. 9.8
2.三名学生分别从 4 门选修课中选修一门课程，不同的选法有( )
A. 24 种 B. 81 种 C. 64 种 D. 32 种
3.下列式子错误的是( )
A. C2= C5 B. C3= C2+C3 C. A3 3 37 7 5 4 4 5= C5A3 D. A4 35= 4A6
4.已知函数 ( ) = 2 ′(1) 2 + ln ，则 ′(1) =( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 12 2
5.设 ( )是定义在[ 3,3]上的奇函数，其导函数为 ′( )，当 0 ≤ ≤ 3 时， ( )图象如图所示，且 ( )
在 = 1 处取得极大值，则 ( ) ′( ) > 0 的解集为( )
A. ( 3, 1) ∪ (0,1) B. ( 3, 1) ∪ (1,3)C. ( 1,0) ∪ (0,1) D. ( 1,0) ∪ (1,3)
6.在等比数列{ }中， 3,
1
7是函数 ( ) = 3 + 4 23 + 9 1 的极值点，则 5 =( )
A. 4 B. 3 C. 3 D. 4
7 ( ) = 2.已知函数 e 在区间(2,3)上为单调递增函数，则实数 的取值范围是( )
A. (0,1) B. [1, + ∞) C. [2, + ∞) D. ( ∞,1]
2 3
8 e e.已知 = e 1ln3， = e ， = 2ln2，则有( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于函数 ( )及其导函数 ′( )，下列说法正确的是( )
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A.若 ( ) = ln ，则 ′(e) = 2
B.若 ( ) = sin ，则 ( ′( π2 )) = 1
C.若函数 ( )为奇函数，则 ′( ) = ′( )
D.若 ′( ) ( ) > 0 (2024)，则 > (2023)
10.下列说法正确的是( )
A.已知A32 = 100A2 ∈ , ≥ 2 ，则 = 13
B.已知C +212 = C2 512 ，则 = 5
C. 4 个人排成一排，则甲不站首尾的排法有 12 种
D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有 12 种排法
11.已知函数 ( ) = e + sin ， ′( )为 ( )的导函数，则( )
A.曲线 = ( )在 0, (0) 处的切线方程为 = + 1
B. ( )在区间(0, + ∞)上单调递增
C. ( )在区间 π, 0 上有极小值点 0，且 1 < 0 < 0
D.若 1、 2 ∈ 0,
π
2 ， 1 e 1 1 = 2 e 2 1，且 ( ) = ( ) e 1 在 = 处取极值，则 1 +
2 > 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知二项式的展开式：(1 2 )6 = 0 + 2 61 + 2 + + 6 ，则 3 = ．
13.若曲线 = ln(3 8)与曲线 = 2 3 在公共点处有相同的切线，则该切线的方程为 ．
14.牛顿法求函数 = ( )零点的操作过程是：先在 轴找初始点 1 1, 0 ，然后作 = ( )在点 1 1, 1
处切线，切线与 轴交于点 2 2, 0 ，再作 = ( )在点 2 2, 2 处切线，切线与 轴交于点 3 3, 0 ，
再作 = ( )在点 3 3, 3 处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止.设函数 ( ) = 2 ，
初始点为 1(0,0)，若按上述过程操作，则 1 2 = ；所得前 个三角形 1 1 2， 2 2 3， ，
+1的面积和为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 2 + + ，若曲线 = ( )在 0, (0) 处的切线方程为 = + 1．
(1)求 ， 的值；
(2)求函数 = ( )的单调区间和极值；
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(3)求函数 = ( )在[ 2,2]上的最大值、最小值．
16.(本小题 125 分)
e
已知函数 ( ) = 2 1
(1)求函数 ( )的单调区间和极值；
(2)在坐标系中画出函数 ( )的简图(参考数据 e ≈ 1.6；要含有必要的说明和体现必要的图象特征)；
(3)若 ( ) = ( ) ，讨论函数 ( )的零点个数．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + 1)e ， ( ) = 1 22 + ，其中 为常数．
(1)若 = 2 时，求函数 ( )图象在点 0, (0) 处的切线方程与坐标轴围成的三角形的周长；
(2)讨论 ( ) = ( ) ( )在 ∈ [0, + ∞)上的单调性；
(3)若对任意 ∈ [0, + ∞)，不等式 ( ) ≥ ( )恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
( ) = 1已知函数 ( + 1)ln ( ∈ )．
(1)求证：当 = 0 时，曲线 = ( )与直线 = 1 只有一个交点；
(2)讨论 = ( )的单调性；
(3)若 ( )既存在极大值，又存在极小值，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = | e | ln ．
(1)当 = 1 时，求不等式 ( ) e + 1 的解集；
(2)若 ( ) > ，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 160
13. = 3 9
14. 1ln2 ； ； ； ；
e 1
； e 1 ln4 1 e
15.解：(1)由题意可知： ( ) = 3 2 + + ，则 ′( ) = 3 2 2 +
因为曲线 = ( )在 0, (0) 处的切线方程为 = + 1，
′ ′
则 (0) = ，即 (0) = = 1 = 1，解得 ．
(0) = (0) = = 1 = 1
(2)因为 ( ) = 3 2 + 1, ′( ) = 3 2 2 1，
当 ∈ ∞, 1 ′3 ∪ (1, + ∞)时， ( ) > 0；当 ∈
1 ′
3 , 1 时， ( ) < 0；
1
可知函数 ( )的单调递增区间为 ∞, 3 和(1, + ∞)；
( ) 1函数 的单调递减区间为 3 , 1 ，
( ) 1 32的极大值为 3 = 27， ( )的极小值为 (1) = 0．
(3)函数 = ( )在 2, 13 , (1,2]
1
上单调递增，在 3 , 1 上单调递减，
且 ( 2) = 9, (2) = 3， 1 323 = 27 , (1) = 0,
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函数 = ( )在[ 2,2]上的最大值 (2) = 3，最小值 ( 2) = 9．

16. e 1 1解：(1)由 ( ) = 2 1， ∈ ∞, 2 ∪ 2 , + ∞ ，
′( ) = e
(2 3)
则 (2 1)2 ，
令 ′( ) < 0 1 1 3，解得 < 2或
′
2 < < 2，令 ( ) > 0 >
3
，解得 2，
3
所以 ( )的单调增区间为 2 , + ∞ ，减区间为 ∞,
1 1 3
2 ， 2 , 2 ，
3
( ) 3 1的极小值为 2 = 2 e2，无极大值．

(2) 1 e由 < 2时， ( ) = 2 1 < 0，结合(1)中的单调性和极值， ( )的图象如下：
(3)由题， ( )的零点个数等价于 = ( )与 = 的交点个数；
结合(2)中图象可知：
当 < 0 时， = ( )与 = 有且仅有 1 个交点，
1 3
当 0 ≤ < 22 e 时， = ( )与 = 无交点，
1 3
当 = 2 e2时， = ( )与 = 有且仅有 1 个交点，
3
当 > 12 e2时， = ( )与 = 有 2 个不同的交点，
1 3 3
综上，当 0 ≤ < 2 e2时，函数 ( )无零点，当 < 0 或 =
1
2
2 e 时，函数 ( )有且仅有一个零点，
1 3
当 > 2 e2时，函数 ( )有两个不同的零点．
17.解：(1)当 = 2 时， ( ) = ( + 1)e ，
∴ ′( ) = e + ( + 1)e = ( + 2)e ， (0) = e0 = 1，∴ ′(0) = 2e0 = 2，
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∴由点斜式方程可知函数 ( )图象在点 0, (0) 处的切线方程为： 1 = 2( 0)，即 = 2 + 1．
令 = 0 得 = 1，即该切线与 轴相交于点(0,1)；
1 1
令 = 0 得 = 2，即该切线与 轴相交于点 2 , 0 ，
1 2∴ + 1 + 1 + 12 = 3+ 5 3+ 5该切线与坐标轴围成的三角形的周长为2 2 2 2 = 2 ．
即函数 ( ) 3+ 5图象在点 0, (0) 处的切线方程为 = 2 + 1，与坐标轴围成的三角形的周长为 2 ．
(2) ∵ ( ) = ( + 1)e ( ) = 1， 22 + ，
∴ ( ) = ( ) ( ) = ( + 1)e 12
2 ，∴ ′( ) = ( + )e = ( + ) e 1 ．
∵ ∈ [0, + ∞),
∴当 ≥ 0 时， + ≥ 0，e 1 ≥ 0，∴ ′( ) ≥ 0，
此时 ( )在[0, + ∞)上单调递增；
当 < 0 时，∵ e 1 ≥ 0，令 ′( ) > 0，解得 > ；
令 ′( ) < 0，解得 0 < < ，
此时 ( )在[0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
综上所述：当 ≥ 0 时， ( )在[0, + ∞)上单调递增；
当 < 0 时， ( )在[0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增．
(3)令 ( ) = ( ) ( )， ∈ [0, + ∞)．
依题意， ( ) ≥ 0 在 ∈ [0, + ∞)恒成立，故 ( )min ≥ 0．
由(2)知：当 ≥ 0 时， ( )在[0, + ∞)上单调递增，
此时 ( )min = (0) = ( 1)e0 = 1 ≥ 0，解得 ≥ 1；
当 < 0 时， ( )在[0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
此时显然当 ∈ [0, )时 ( ) < (0) = 1 < 1，不符合题意．
综上，实数 的取值范围 ≥ 1．
18.解：(1)当 = 0 1 1 时，函数 ( ) = ln ，求导得：
′( ) = 2 ，
令 ′( ) > 0，得 0 < < 1；令 ′( ) < 0，得 > 1；
则函数 ( )在(0,1)上递增，在(1, + ∞)上递减，故 ( )max = (1) = 1，
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所以曲线 = ( )与直线 = 1 只有一个交点．
(2)函数 ( ) = 1 ( + 1)ln 的定义域为(0, + ∞)，
′( ) = + 1 +1
2
= ( +1) +1 = ( 1)( 1) 2 2 2 ，
当 ≤ 0 时，对任意的 > 0， 1 < 0，
由 ′( ) > 0 可得 0 < < 1，由 ′( ) < 0 可得 > 1，
此时函数 ( )的增区间为(0,1)，减区间为(1, + ∞)；
当 0 < < 1 ′( ) > 0 1 1时，由 可得 0 < < 1 或 > ，由
′( ) < 0 可得 1 < < ，
此时函数 ( )的增区间为(0,1) 1、 , + ∞
1
，减区间为 1, ；
( 1)2
当 = 1 时，对任意的 > 0， ′( ) = ≥ 0，此时函数 ( )的增区间为(0, + ∞)；
当 > 1 时，由 ′( ) > 0 可得 0 < < 1 或 > 1
1
，由 ′( ) < 0 可得 < < 1，
1
此时函数 ( )的增区间为 0, 、(1, + ∞)
1
，减区间为 , 1 ，
综上所述，当 ≤ 0 时，函数 ( )的增区间为(0,1)，减区间为(1, + ∞)；
当 0 < < 1 时，函数 ( ) 1 1的增区间为(0,1)、 , + ∞ ，减区间为 1, ；
当 = 1 时，函数 ( )的增区间为(0, + ∞)，无减区间；
当 > 1 时，函数 ( )的增区间为 0, 1 1 、(1, + ∞)，减区间为 , 1 ．
(3)由(2)可知，若函数 ( )既存在极大值，也存在极小值，则 0 < < 1 或 > 1，
故实数 的取值范围是(0,1) ∪ (1, + ∞)．
19.解：(1) ∵ ( )的定义域为(0, + ∞)
∴当 = 1 时， ( ) = e + 1 + ln ，
令 ( ) = ( ) e 1 = 1 + ln 1( > 0)，
′( ) = 1 + 1 = 1 2 2 ．
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )在(0,1)上单调递减，当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上单调递
增，所以 ( ) ≥ (1) = 0，
则不等式 ( ) ≤ e + 1 的解集为{1}．
(2)①当 ≤ 0 时， ( ) = e ln ，此时 ( ) = e
( 1 + ln + 1)，
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( ) = 1 + ln + 1( > 0) ′( ) = 1 + 1 = 1令 ， 2 2 ．
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )在(0,1)上单调递减；
当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )在(1, + ∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ (1) = 2，
1
又 ≤ 0，则 ( + ln + 1) ≥ 0，又e
> 0，所以 ( ) = e ( 1 + ln + 1) > 0，
∴ ( ) > 0，∴ ( ) > ，此时 ≤ 0 符合题意．

> 0 ( ) = | e | ln = | e
|
②当 时， ln ( > 0)，
令 ( ) = e ( > 0)， ′( ) = ( + 1) > 0 恒成立，
则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，又 (0) = < 0，
( ) = (e0 1) > 0，存在唯一的 0 ∈ (0, )使 ( 0) = 0，且 = 0e 0，
e ln , 0 < < 0
所以 ( ) =
e ln , > 0
当 0 < ≤ 0时， ( ) =
′
e ln ，由 ( ) =

2 e < 0，
则 ( )在(0, 0]上单调递减，
当 > 0时， ( ) = e

ln ，由
′( ) = e + 2，(分开考虑导函数符号)
0
当 > 0时， = e

在[ 0, + ∞)

上单调递增，则e ≥ e
0 = e
0 0e
0
= 0，
0
所以当 > ′0时， ( ) = e

+ 2 > 0，所以 ( )在( 0, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) ≥ ( 0)，
1
由题意则 ( 0) = e 0 ln 0 = ln 0 > 0 < 0 < ，0 e
设 = e 1，则 ′ = ( + 1)e > 0 在(0, e )上恒成立，
1 1
所以 = e 在(0, 1e )上单调递增，此时 = e
0 ∈ (0, 1 ee)，即 ∈ (0, ee 10 e )，
1
综上所述，实数 的取值范围为( ∞, ee 1)．
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