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江苏省扬州市广陵区扬州大学附属中学2024 2025学年高一下学期阶段测试1（3月）数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，，则
A． B． C． D．
2．已知，，，则（ ）
A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线
C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线
3．在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．某药厂为提高医药水平，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2022年全年投入研发资金250万元，之后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金超过800万元的第一年是（ ）（参考数据：）
A．2033年 B．2032年 C．2031年 D．2030年
5．如图，已知中，为的中点，，若，则
A． B． C． D．
6．已知a，b，c分别是函数的零点，则（ ）
A． B． C． D．
7．设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
8．已知函数，则方程实数根的个数为（ ）
A．6 B．7 C．10 D．11
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数有两个零点，则零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
10．对于向量，，，实数t，下列判断不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，且，则
C．若，且，则的充要条件是
D．若，且，则对任意实数t，都有
11．是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知点，，，则向量的坐标为 .
13．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位：）满足等式，其中为常数．现有的物体放到的空气中冷却2分钟后，物体的温度为，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到 ．
14．已知，是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知是同一平面内的三个向量，其中.
(1)若，且，求；
(2)若，且与垂直，求实数的值.
16．在中，，，且与的夹角为．P为线段AB上的一点，设．
(1)若，用基向量，表示，并求；
(2)若，求实数t的值．
17．为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间（单位：分钟）的函数关系，要求如下：
（i）函数的部分图象如图所示；
（ii）每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分；
（iii）每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分．
现有以下三个函数模型供选择：．
(1)选出你认为最符合要求的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)若学校要求每天的得分不少于75分，则每天至少阅读多少分钟？
18．在等腰梯形ABCD中，，，，设，，取，为基底，若点P是梯形ABCD内部（含边界）上一点，且（，）．
(1)设，求，的值；
(2)当时，求的最小值；
(3)若，求证的面积为定值，并求出这个定值．
19．已知函数，，其中．
(1)若的定义域是一切实数，求m的取值范围；
(2)若的值域是，求m的值；
(3)证明：对任意，函数存在零点；
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为，所以=（5，7），故选A.
考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.
2．【答案】A
【详解】，，，
，，与共线，
因为两向量有一个公共点B，、B、D三点共线，故A正确．
由，，可得，
所以不存在使得，故A、B、C三点不共线，故B不正确；
由，，可得，
所以不存在使，故B、C、D三点不共线，故C不正确；
因为，，
所以，
又，可得，
所以不存在使，故A、C、D三点不共线，故D不正确；
故选A.
3．【答案】C
【详解】假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果.
【详解】由题意知：是的重心，设，
则有解得
故.
故选C
4．【答案】B
【详解】设2022年起第年投入的研发资金为（2022年为第一年），
由，得，
两边取常用对数得，则，
所以2032年第一次研发资金超过.
故选B.
5．【答案】C
【详解】利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值.
【详解】因为，
所以，.故.
故选C.
6．【答案】B
【详解】令，
得，
在同一坐标系中作出函数的图象，
如图所示：
由图象知：即
故选B.
7．【答案】A
【详解】由向量在向量上的投影向量为，得，则，
由，
所以.
故选A.
8．【答案】D
【详解】因为，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，且，；
当时，所以在上单调递增，在上单调递减，又；
作出函数的图象，如图所示：
令，则有，
易得此时有4个解，分别为，，，，
结合图象可得：
当时，即，此时有1个解；
当，即时，有4个解；
当，即有3个解；
当，即有3个解；
所以原方程共有个解．
故选D.
9．【答案】AD
【详解】因为的定义域为，所以函数是连续不间断函数，
又，，
，，
，
且，，
所以由零点存在性定理可知函数在和上有零点.
故选AD.
10．【答案】AB
【详解】对于A，是零向量时，对任意和都成立，故A不正确；
对于B，，即，与可能垂直，不一定有，故B不正确；
对于C，的充要条件是，
即，所以，故C正确；
对于D，消去向量，则有，，
若，则，，
若，则，，所以，故D正确．
故选AB
11．【答案】BCD
【详解】如图：
对于A，．故A不正确；
对于B，
所以，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，在上的投影向量是．故D正确．
故选BCD.
12．【答案】
【详解】设，∵，，
∴，∴，解得，
∴，又，∴.
13．【答案】
【详解】依题意，，
故再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到：
.
14．【答案】
【详解】由，是两个单位向量，且，得，
，，
因此，而，
因此，
所以与的夹角为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，，
所以，，，
所以.
（2）因为，，
所以，，
又与垂直，所以，
即，则.
16．【答案】(1)，
(2)．
【详解】（1）在中，，则，因此；
由，，且与的夹角为，得，

所以．
（2）由，得，，
由，得，
因此，
，所以.
17．【答案】(1)选对数型模型，；
(2)70分钟
【详解】（1）根据图象是曲线且单调递增，
故选对数型模型，；
由题意可知在上，
所以，解得，
所以，
所以函数的解析式为；
（2）令，可得，
即解得，所以每天得分不少于75分，至少需要阅读70分钟．
18．【答案】(1)，；
(2)1；
(3)证明见解析，
【详解】（1）根据题意有，
，，
，
又，，由，
即，
所以，，则，；
（2）在等腰梯形ABCD中，，，，
过点作，过点作，则有，则，得，
所以，
，
当且仅当时，有最小值1，此时，
满足条件的点在梯形ABCD内部．
（3），
当时，，
所以，从而动点P在过点D且与BC平行的直线上，设过点D且与BC平行的直线与交点，
过点作，由，，
所以
所以的面积为定值，所以．
19．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）依题意对一切实数x恒成立，
则或，
解得：或，所以m的取值范围是；
（2）令，的值域是知，
t可以取中的一切实数，即t的最大值是8，
由，
则，且，所以．
（3），
令，
当时，，由，得，即函数有零点；
当时，若，则，函数在有定义，
且在上的图象连续不断，而，，
因此函数在内有零点；
当时，，恒成立，函数定义域为R，
由，，得函数在内有零点；
当时，，，，
函数在内有零点；
当时，，
当且仅当时取等号，，，
在，上各有一个根，
记在上的零点为，当x从小于的方向趋近于时，从大于0的方向趋近于0，
趋近于负无穷大，则趋近于正无穷大，而，函数在内有零点，
所以对任意，函数存在零点．

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