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江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校2024 2025学年高一下学期第一次模块学习效果调查数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．函数的一个零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．设两个单位向量，的夹角为，则（ ）
A．1 B．21 C． D．
5．平面向量，满足，，，则在上投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知点为角终边上一点，点为角终边上一点，四边形为正方形，则 （ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，D为的中点，，，是圆心为C、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，，则（ ）.
A． B．向量在向量上的投影向量是
C． D．与向量方向相同的单位向量是
10．函数在一个周期内的图像如图所示，则（ ）
A．该函数的解析式为
B．该函数的对称中心为，
C．在区间上的值域为
D．把函数的图像上所有点的向左平移个单位可得到该函数图像
11．已知函数，若函数有零点，记为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．任意直线都与函数的图象有交点
C．当时，的取值范围为
D．当时，的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．在中，，，则 .
13．已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 .
14．在中，点是线段上的点，且满足，过点的直线分别交直线于点，且，，其中且，若的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值.
16．已知向量.
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若，求的值.
17．已知向量满足，
（1）若，求实数的值；
（2）求向量与夹角的最大值.
18．如图，在中，已知分别为上的点，且.

(1)求；
(2)求证：；
(3)若线段上一动点满足，试确定点的位置.
19．定义非零向量的“伴随函数”为（），向量称为函数（）的“伴随向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“伴随函数”构成的集合为S．
(1)设函数，求证：；
(2)记向量的伴随函数为，当时，求的值域；
(3)已知点满足：，向量的“伴随函数”在处取得最大值，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为向量，，且，
所以，解得.
故选B.
2．【答案】D
【详解】原式
.
故选D.
3．【答案】C
【详解】由题意知函数在R上单调递增，
，，
，，，
则函数的一个零点所在的区间是.
故选C.
4．【答案】D
【详解】由已知得，，，
所以
.
故选.
5．【答案】C
【详解】，
其中，所以，解得，
则在上投影向量为.
故选C.
6．【答案】D
【详解】∵
∴
∴，
∴，
∴
．
故选D
7．【答案】D
【详解】点是角终边上的一点，
，
，，
，
，
四边形为正方形，
∴，
∴
.
故选D.
8．【答案】C
【详解】
，
又
，
且，所以．
设与的夹角为，
则．
因为，所以．
故选C．
9．【答案】ABC
【详解】，所以，所以，故A正确；
在上投影向量为，故B正确；
，所以，故C正确；
与方向相同的单位向量，故D错误．
故选ABC.
10．【答案】AD
【详解】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，
从而，故A正确；
令，，得，，函数的对称中心为，故B错误；
因为
,故C错误；
把函数的图像上所有点的向左平移个单位可得到该函数图像,
可得到，故D正确．
故选.
11．【答案】ACD
【详解】
对于A，如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象，由图象知，故A正确；
对于B，过点作直线，与函数的图象没有交点，故B不正确；
对于C，当时，，
由，则，
由可得，从而，
所以，故C正确；
对于D，，则，故D正确；
故选ACD．
12．【答案】
【详解】在中，因为，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以.
13．【答案】
【详解】因为向量，的夹角为锐角，
所以，且，不同向共线.
因为当时，，同向共线，
所以，解得且，
所以实数λ的取值范围是 .
14．【答案】
【详解】依题意，作出图形如下，

因为，，，则，
所以 ，
因为三点共线，所以，
因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以；
（2）因为，所以，又，，
所以，，
因为，，所以，
所以.
16．【答案】（1），（2）
【详解】解：（1）由，得，
由，得，，所以，
设向量与夹角为，则；
（2）因为，
所以，即，
所以，解得.
17．【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，得到，展开整理得到，利用结合，确定方向关系，即可求解；
（2）设的夹角为，根据（1）求出，利用配方法求出的最小值，即可求出结论.
【详解】（1）因为，，所以，则与同向.
因为，所以，
即，整理得，解得，
所以当时，.
（2）设的夹角为，
则，
当，即时，取最小值，
又，所以，
即向量与夹角的最大值为.
18．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)是线段的中点
【详解】（1）依题意，记，
因为，所以，，
因为，
所以，
则，
故.
（2）因为，所以，
所以，
则，即.
（3）因为，所以是的中点，故，
因为，所以，即，
所以是线段的中点.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1），
,，故得证；
（2）由，得，
，
当时，，
，
；
（3），
在处取得最大值，
，
，
，
令，则由，得，
，
由于均为上的单调递增函数，
所以在单调递增，故，
得，
则的取值范围为

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