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江西省南昌市江西师范大学附属中学2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．的值（ ）
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
2．若角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
3．在半径为2的圆中，长度为的弦与其所对劣弧围成的弓形的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
5．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为 B．点是函数图象的一个对称中心
C．函数的定义域为 D．函数在区间单调递增
6．已知实数的较大者可以表示为，若函数，则的值域是（ ）
A． B． C． D．
7．南昌市摩天轮的高为160米（即最高点离地面的距离），转盘直径为153米，摩天轮在开放时匀速旋转，并且旋转一周需30分钟，若从最低点处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间变化而变化，以你登上摩天轮的时间开始记时，则下列选项不正确的是（ ）
A．你与地面的距离与时间的函数解析式为
B．第1次距离地面121.75米时，用了10分钟的时间
C．第4次距离地面121.75米时，用了40分钟的时间
D．当你距离地面121.75米，你所用的时间的取值集合为或
8．设是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．与的图象相同
C．不等式的解集为
D．函数的定义域为；
10．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象向左平移个单位长度后得到函数
C．的图象关于直线对称
D．若方程在上有且只有6个根，则
11．已知函数的定义域均为，关于直线对称，且，若，则（ ）
A． B．的图象关于点中心对称
C．是奇函数 D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数是奇函数，那么的值为 .
13．已知，且，则 .
14．已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
16．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式及单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移，再向下平移个单位，得到函数的图象.若，求的值域.
17．如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.

(1)当米时，求的长；
(2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值.
18．已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点.
(1)求函数的解析式；
(2)若方程在区间上恰有三个实数根，，，且，求的取值范围.
19．已知函数，的最大值为，最小值为，，且.
(1)求的值及函数的解析式；
(2)已知函数，若有且只有一个实数，对于，，使得，求实数的值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由余弦函数性质，当时，，
由，，
由正切函数性质，当时，，
由，，故，
故选.
2．【答案】A
【详解】角的终边过点，则，
则.
故选A.
3．【答案】A
【详解】先求出扇形（圆心角为）的面积为，再结合弦与其所对劣弧围成的弓形的面积为，计算即可.
【详解】如下图，圆的半径为2，弦的长度为2，则△为正三角形，，
所以扇形（圆心角为）的面积为，
又△的面积为，
所以弦与其所对劣弧围成的弓形的面积为.
故选A.
4．【答案】C
【详解】因为，所以或.
对，当时，与对应；
当时，与对应.
所以“”是“”的充要条件.
故选C.
5．【答案】B
【详解】对于A：根据正切函数周期公式，得函数的最小正周期为，故A错；
对于B：根据正切函数对称中心令，
所以当时得到图象的一个对称中心为，故B正确；
对于C：令，
得到的定义域为，故C错；
对于D，令时，，函数没有意义，故D错.
故选B.
6．【答案】B
【详解】，
令，即，即，
解得；
令，即，即，
解得，
所以，
则的图象如下所示：
所以的值域是.
故选B.
7．【答案】C
【详解】如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，
设，
根据题意，，，
∴，故A正确；
令121.75，得，，
若，则，∴或，，=20.
所以第1次距离地面121.75米时，用了10分钟的时间，故B正确；
第2次距离地面121.75米时，用了20分钟的时间，第4次距离地面121.75米时，用了50分钟的时间，故C不正确；
故距离地面121.75米所用的时间的取值为，或，，故D正确.

故选C.
8．【答案】B
【详解】由已知条件及三角函数诱导公式得：
所以函数的周期，
在同一直角坐标系中作出函数的图象，如图所示：
因为为连续三交点，（不妨设在轴下方），为的中点，由对称性知，是以为底边的等腰三角形，
所以，
由展开整理得：，
又，所以，
设点的纵坐标分别为，则，即，
要使为锐角三角形，则，又，
所以当且仅当时满足要求，
此时，解得，
所以的取值范围是.
故选B.
9．【答案】ABC
【详解】对于A：由得，所以不等式的解集为，故A正确；
对于B：因为,所以;又，所以与的图象相同，故B正确；
对于C：由，可得，则，即，
所以不等式的解集为，故C正确；
对于D：由函数得，解得，所以的定义域为且，故D不正确.
故选ABC.
10．【答案】ACD
【详解】由图象得，，而，则，
由的图象过点，得，解得，
而的周期有，即，解得，
因此，A正确；
函数的图象向左平移个单位长度后得到的新函数是：
，非奇非偶函数，B错误；
，C正确；
显然，
若方程在上有且只有6个根，则，D正确.
故选ACD.
11．【答案】AB
【详解】因为于直线对称，
所以，所以.故C不正确；
当时，，又，所以，故A正确；
，又，所以，即，
所以的图象关于点中心对称，故B正确；
，所以是以6为周期的周期函数，
由以上分析可知，
，D不正确.
故选AB.
12．【答案】
【详解】由题意知函数是奇函数，
则，结合，可得.
13．【答案】
【详解】∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
，
故.
14．【答案】
【详解】因为恒成立，则，
所以，则，
当时，，
因为，则，
因为在区间上恰有个零点，则，
即，，解得，，
因为，由题意可知. 所以，可得；
即的取值范围是.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
（2）.
16．【答案】(1)，单调递减区间为.
(2)
【详解】（1）由图象可得，
所以，所以，
又，所以，
又，所以，所以
，
令，可得，
所以单调递减区间为.
（2），
由可得
.
17．【答案】(1)
(2)当时取等号，栅栏长度的最小值为40米.
【详解】（1）利用扇形的面积公式可得，
所以，
于是米.

（2）依题意可得弧长，弧长，
所以栅栏的长度，将代入上式，整理可得，
当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为图象相邻两条对称轴之间的距离为，所以，
所以，又，即，所以，所以，
又因为函数的图象过点，所以，即，又因为，解得，
所以；
（2）当时，
令或，解得或，
所以在上单调递增，
令，解得，所以在上单调递减，
且当时，则的图象）如下所示：
因为方程在区间上恰有三个实数根，且，
即与在区间上恰有三个交点，则，
且与关于对称，与关于对称，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
所以.
19．【答案】(1)，
(2)或
【详解】（1）因为函数的最大值为1，最小值为，所以，且，
，
，
，
所以；
（2）由（1）知，，当时，，
因此在上单调递增，函数值集合为值域为，
由有且只有一个实数，对于，使得，
得函数在上的值域包含，并且实数唯一
①当时，函数在[0，2]上单调递增，的值域为，
由，得，
解得，显然符合条件的实数不唯一；
②当时，函数的图象对称轴为，当，即时，在[0，2]上单调递增，的值域为，
于是，解得，显然，当且仅当时，且唯一 因此；
③当，即时，，
当是最小值时，而，不满足函数在上的值域包含，则不是最小值，必有，得，于是，
解得，当时，且，此时且唯一
并且当时，，实数不唯一 因此，所以实数的值是或.

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