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江苏省灌南高级中学2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
2．化简，得（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量的夹角为60°，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知四边形ABCD的三个顶点为A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为（ ）
A． B．
C．(3，2) D．(1，3)
6．已知，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（ ）
A． B．6 C． D．
8．矩形中，，，是矩形内(不含边框)的动点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题中错误的有（ ）
A．的充要条件是且 B．若，，则
C．若，则存在实数，使得 D．
10．下列计算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．都是锐角，，则
11．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．若为非零向量，则不与垂直
B．、为实数，若，则与共线
C．若平面内有四个点，则必有
D．在中，为的中点，若，则是在上的投影向量
三、填空题（本大题共3小题）
12．设为实数，已知为单位向量，向量的模为，， ．
13．计算＝ .
14．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾．是圆的一条直径，且．是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知，，或是平面上两个不共线的向量，且， ，．
(1)若，方向相反，求k的值；
(2)若A，C，D三点共线，求k的值．
16．（1）已知，求的值；
（2）化简：.
17．已知向量，．
(1)若，求实数k的值；
(2)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
18．已知函数.
(1)求该函数的单调递增区间；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围.
19．在图1中，已知圆心角为的扇形AOB的半径为1，C是AB弧上一定点，，P是AB弧上一动点，作矩形MNPQ，如图2所示．
(1)求AB弧的长及扇形AOB的面积；
(2)若，求、和；
(3)在图2中，求矩形MNPQ面积的最大值？这时等于多少度？
参考答案
1．【答案】B
【详解】向量，则，，
由，得，
所以.
故选B.
2．【答案】C
【详解】.
故选C.
3．【答案】C
【详解】，
故选C.
4．【答案】C
【详解】解：对两边平方，，
即①，
对两边平方，，
即②，
① +②得，，
即，
即，
则，解得
故选C.
5．【答案】A
【详解】设顶点的坐标为
，，
且，
故选．
6．【答案】D
【详解】由，知，故，从而.
所以.
故选D.
7．【答案】A
【详解】∵与是共线向量，
∴存在实数，使得，即，
已知是两个不共线的向量，
则有，解得.
故选A.
8．【答案】C
【详解】记，则，，
，，
所以当，时，取最小值.
故选C.
9．【答案】ABC
【详解】对于选项A，若，则和的长度相等且方向相同.
当时，和的长度相等；
当时，和的方向不一定相同，故A不正确；
对于选项B，若，，则当，和不一定平行，故B不正确；
对于选项C，若，则当，则存在唯一一个实数，使得；
当，时，则不存在实数，使得，故C不正确；
对于选项D，由向量加法的三角形法则可知，，故D正确.
故选ABC.
10．【答案】AD
【详解】对于A，因为，正确，
对于B，当时，，错误，
对于C，当时，，错误，
对于D，因为都是锐角，则，又，则，，
所以，正确，
故选AD.
11．【答案】CD
【详解】对于选项A，若，则有，
此时与垂直，所以选项A错误，
对于选项B，若，则，但与不一定共线，所以选项B错误，
对于选项C，因为，即，所以选项C正确，
对于选项D，因为分别是与同向的单位向量，
又，且为的中点，知，即，
所以是在上的投影向量，故选项D正确，
故选CD.
12．【答案】
【详解】因为为实数，已知为单位向量，向量的模为，，
则，解得.
13．【答案】1
【解析】将式中的用代换，然后利用两角差的正切公式可得答案
【详解】解：＝＝tan 45°＝1.
14．【答案】
【详解】如图，为圆心，连接，则,
因为点在线段上且，则圆心到弦的中点的距离，这也是的最小值.
所以，所以，
则，即的取值范围是.
15．【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由，方向相反，则存在负数使得，
所以，
所以，解得或(舍去)，
故k的值为．
（2）由A，C，D三点共线，则存在使得，
又，
所以，
所以，解得或，
故k的值为或．
16．【答案】（1）；（2）-1
【详解】（1）由可得.
解得或，
由，故.
所以.
于是.
（2）原式
.
17．【答案】(1)k＝
(2)．
【详解】（1），
因为，所以，
解得：.
（2）若与的夹角是钝角，
则且与方向不相反，
即，且
解得：且，
故实数k的取值范围是.
18．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1） ，
，
令，，则，，
故该函数的单调递增区间，；
（2）对任意，都有可得，
所以，
又，所以，
要满足对任意，都有，则有，
解得：，
所以实数的取值范围为.
19．【答案】(1);.
(2);；.
(3)当，矩形面积的最大值为.
【详解】（1）解：AB弧的长为，
根据扇形的面积公式可得.
（2）因为，，
所以,
，因为，所以，
，
.
（3）设，则，，
所以，
所以矩形的面积
，
，所以当时，取得最大值，
所以，矩形面积的最大值为.

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