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云南省昭通市镇雄县三校2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．角的终边落在射线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知角的终边位于第四象限，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数是以4为周期的偶函数，且当时，，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
7．（ ）
A． B． C．1 D．2
8．已知函数是定义在上的偶函数，那么的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．以下函数的值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列四个函数中，以为周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
11．若函数的最小值为，则实数的取值可能为（ ）
A． B． C．1 D．2
三、填空题（本大题共3小题）
12．若函数是幂函数，则实数的值为 .
13．已知，，则 .
14．已知函数.若在区间上有两个不相等的实数解，则的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和最大值；
(2)判断并证明函数在区间上的单调性.
16．关于的不等式，其中，.
(1)若不等式的解集为空集，求实数的取值范围；
(2)若不等式的解集为，且集合中恰有两个整数，求实数的取值范围.
17．已知函数，.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)判断并证明函数在区间上的单调性；
(3)解关于的不等式：.
18．已知，.
(1)求的值；
(2)已知,均为第一象限角，求的值.
19．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要.
(1)求；
(2)热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少？
(3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为，经过后，此时壶中水的温度是多少？
参考答案
1．【答案】B
【详解】，，
故选B.
2．【答案】A
【详解】由题意得：，
即，解得，
故选A.
3．【答案】B
【详解】在上单调递增，，在区间上单调递减，
函数在区间上单调递增，
，，
函数的唯一零点所在的区间是.
故选B.
4．【答案】A
【详解】由题意在角终边上取一点，
则，
，
故选A.
5．【答案】B
【详解】，且角的终边位于第四象限，
，
则.
故选B.
6．【答案】C
【详解】函数是以4为周期的偶函数，
，
当时，，
，，
故选C.
7．【答案】D
【详解】
，
故选D.
8．【答案】C
【详解】是定义在上的偶函数，
，.
又，，.
所以，，.
故选C.
9．【答案】CD
【详解】对于A：，的值域为，A错误；
对于B：由指数函数性质可得，的值域为，B错误；
对于C：由幂函数性质可得，的值域为，C正确；
对于D：由正切函数性质可得：的值域为，D正确.
故选:CD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A：的最小正周期为，当，，
由在单调递增，所以在区间上单调递减，A正确；
对于B：的最小正周期为，在区间上单调递增，所以在区间上单调递减，B正确；
对于C：，当，，
由在不具有单调性，所以在区间上不具有单调性，C错误；
对于D：的最小正周期为，当，有在区间上单调递减，D正确，
故选ABD.
11．【答案】BC
【详解】当时，；
当时：，当且仅当，即时等号，此时.
当时，，当且仅当，即时等号，此时，
综上，.
若，则，由题，所以；
若，则，由题，所以，
故选BC.
12．【答案】3或0
【详解】因为是幂函数，则，解得或.
13．【答案】
【详解】由题意得.
14．【答案】
【详解】因为方程在区间上有两个不相等的实数解，
所以二次函数的图像与轴有两个交点，
因为的对称轴为，
所以：，解得，
的取值范围为.
15．【答案】(1)，最大值是.
(2)函数在区间上单调递减，证明见解析
【详解】（1）
，
的最小正周期，
且的最大值是.
（2）函数在区间上单调递减，
证明：，
，
在区间上单调递减，而且，
由复合函数的单调性可知：
函数在区间上单调递减.
16．【答案】(1)
(2).
【详解】（1）由题意，
，当且仅当，即时等号成立，
的最小值为2.
的解集为空集，
，
又，
.
（2）不等式的解集恰有两个整数，且，
因在上单调递减，在上单调递增，
故这两个整数只能是1，2，
因此，
解得.
17．【答案】(1)是定义在上的奇函数
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）依题意，函数的定义域关于原点对称，
又，
是定义在上的奇函数.
（2）在上单调递增，理由如下：
任取，且，
则，
，，
，且，，
，
，，
在上单调递增.
（3）由（2）知，在上单调递增，
由可得，，解得：
故不等式的解集为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），①
，②
有①，②整理得，
则.
（2）
，
，均为第一象限角，
，
，
.
19．【答案】(1)
(2)
(3).
【详解】（1）已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min，
则，即，所以.
（2）由题意可知：，，，，
可得，
解得，
所以至少需要等待.
（3）设水的温度由冷却到，需要，
则，解得，
此时电热水壶开始加热，需要加热至，且，
若水的温度由冷却到，可知需要，
显然，则，
所以经过后，此时壶中水的温度是.

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