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重庆市南坪中学校2024 2025学年高一下学期4月月考数学试题
一、单选题
1．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设是平面内两个不共线的向量，则以下不可作为该平面内一组基底的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列哪个函数是单调递减函数（ ）
A． B．
C． D．
5．如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，若，且，那么一定是（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
7．已知向量满足，且，则与的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数的单调增区间为
C．函数在上有2个零点，则实数的取值范围为
D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
二、多选题
9．若向量，，，则（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量是
10．在中，角的对边分别为，则（ ）
A．若，则为直角三角形
B．若，则为等腰三角形
C．若，则
D．若，且符合条件的只有一个，则
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：如图所示，已知是内一点，，，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ）

A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，则
三、填空题
12．已知复数满足，则的虚部是 .
13．如图为南岸区黄桷垭文峰塔，建于清朝道光年间，距今已有160多年历史，为七级楼阁式塔，某同学为测量文峰塔的高度，在文峰塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和文峰塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则文峰塔的高度为 .

14．在中，角，，的对边分别是，，，且．设的中点为，且，则的取值范围为 .
四、解答题
15．已知，，与的夹角为．
（1）求；
（2）若向量与相互垂直，求实数k的值．
16．已知．
（1）化简；
（2）若，且为第三象限的角，求的值．
17．已知中，内角所对的边分别为，且满足．
（1）求角的值；
（2）若点为的中点，求的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角、的终边与单位圆分别交、两点，点是单位圆与轴的交点.
（1）当、时，求的值：
（2）若为劣弧上的动点，当点的横坐标为时，求最小值.
19．是直线外一点，点在直线上（点与点任一点均不重合），我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记.在中，角的对边分别是，点在射线上.
（1）若是角的平分线，且，由点对施以视角运算，求的值；
（2）若，由点对施以视角运算，，求的周长；
（3）若，，由点对施以视角运算，，求的最小值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，所以，
所以在复平面对应的点位于第四象限.
故选D
2．【答案】B
【详解】对于A，若共线，则存在唯一实数，使，则，
因为是平面内两个不共线的向量，所以不成立，
所以向量不共线，所以可作为该平面内一组基底，所以A错误，
对于B，因为，所以，
所以共线，所以不可作为该平面内一组基底，所以B正确，
对于C，若共线，则存在唯一实数，使，则，
因为是平面内两个不共线的向量，所以不成立，
所以向量不共线，所以可作为该平面内一组基底，所以C错误，
对于D，若共线，则存在唯一实数，使，则，
因为是平面内两个不共线的向量，所以不成立，
所以向量不共线，所以可作为该平面内一组基底，所以D错误，
故选B
3．【答案】C
【详解】因为，，
所以，
由，
可得：，
故选C
4．【答案】D
【详解】对于A，由余弦函数性质得当时，单调递增，故A错误，
对于B，的定义域为，
由反比例函数性质得在上单调递减，
不在上单调递减，故B错误，
对于C，当时，，此时化为，
由对数函数性质得单调递增，故C错误，
对于D，因为，所以，由指数函数性质得单调递减，故D正确.
故选D
5．【答案】D
【详解】，
所以，所以，
所以，
.
故选D.
6．【答案】D
【详解】，则，
因为，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选D.
7．【答案】D
【详解】由，则，
，即，
，解得，又，
所以与的夹角为.
故选D.
8．【答案】D
【详解】.
根据图象可得：.
由，所以.
所以.
对A：因为，所以是函数的对称中心，故A正确；
对B：由，，.所以函数的单调增区间为，.故B正确；
对C：因为，当时，.
因为函数在上有两个零点，所以，故C正确；
对D：因为，所以函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，故D错误.
故选D.
9．【答案】CD
【详解】因为向量，，，
对于A，，故 A 错误；
对于B，，与不平行，故B错误；
对于C，因为，则，，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，故D正确．
故选CD.
10．【答案】AC
【详解】对于A，由，得以为邻边的平行四边形为矩形，
则，为直角三角形，A正确；
对于B，在中，由，得或，
即或，因此为等腰三角形或直角三角形，B错误；
对于C，由正弦定理得，C正确；
对于D，当时，，只有一个，D错误.
故选AC
11．【答案】ABD
【详解】解：对于A，取中点，连接，

因为，
则，
所以，，
所以三点共线，且，
设分别是的中点，
同理可得，，
所以为的重心，故A正确；
对于B，因为为的内心，
设内切圆的半径为，

则有，
所以，
即，故B正确；
对于C，因为为的外心，
设的外接圆半径为，
又因为，

则有，，，
所以，
，
，
所以，故C错误；
对于D，延长交于，延长交于，延长交于，如图所示：

因为为的垂心，，
则，
又因为，
则，
设，
因为，
同理可得，
则，
所以，
所以，
所以在中，，
所以在中，；
所以在中，，
所以在中，；
所以
，
所以，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】/0.4
【详解】依题意，，
所以的虚部是.
13．【答案】
【详解】在中，，由题意可得，
由图知，，
所以，
在中，由正弦定理可得：即，
解得，
在中，如图可得，
所以文峰塔的高度为.
14．【答案】
【详解】由，
根据正弦定理，可得，
即，
则，
因为，所以，则，
则，即，
又，所以，
设，则，，
根据正弦定理可得，
所以，，
所以
，
由，得，所以，
则，
故的取值范围为．
15．【答案】（1）2；
（2）.
【详解】（1）根据题意，，
又.
（2）根据题意， ，即，，解得.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）
．
（2）∵，
，即，
又，∴，即，
为第三象限的角，，
．
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）设，则，，
利用余弦定理可得，
又因为，所以．
（2）设，则，，
因为点为的中点，所以，
两边平方可得，
即，
所以，可
得，所以．
18．【答案】（1）
（2）答案见解析
【详解】（1）由三角函数的定义可得，，，，
由两角和的余弦公式可得.
（2）由图可知，，，且，
即点，
若点，不妨设点，其中，
则，，
所以，
，
因为，则，
故当时，即当时，取最小值；
若点，不妨设点，其中，
则，，
所以，
，
因为，则，
故当时，即当时，取最小值.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为是角的平分线，所以且在线段上，
所以，
又，所以；
（2）因为点在射线上，，且，所以在线段外，且，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，解得（负值已舍去），
所以，
所以的周长为.
（3）因为，所以，则，
因为，所以，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.

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