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第4章 因式分解 单元专项培优测试卷
一、单选题
1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如果9 是完全平方式，那么k的值是（　　）
A．一12 B．±12 C．6 D．±6
4．若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．下列由左到右变形，属于因式分解的是（　　）
A．（2x+3）（2x﹣3）=4x2﹣9
B．4x2+18x﹣1=4x（x+2）﹣1
C．（a﹣b）2﹣9=（a﹣b+3）（a﹣b﹣3）
D．（x﹣2y）2=x2﹣4xy+4y2
6．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣m2n）3＝﹣m6n3 B．m5﹣m3＝m2
C．（m+2）2＝m2+4 D．m2·m3＝m6
7．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（　　）
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
9．多项式﹣2x2﹣12xy2+8xy3的公因式是（　　）
A．2xy B．24x2y3 C．﹣2x D．以上都不对
10．下列多项式： ①； ②； ③； ④； ⑤ ，其中能用公式法分解因式的是（　　）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
二、填空题
11．把多项式a3－2a2+a分解因式的结果是　 　．
12．已知，，则　 　．
13．分解因式的结果是　 　．
14．把多项式 分解因式的结果是　 　．
15．对多项式24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是　 　．
16．若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=　 　．
三、综合题
17．把下列多项式因式分解：
（1）x3y﹣2x2y+xy；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
18．
（1）因式分解：．
（2）解不等式组
19．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步），
（第二步），
（第三步），
（第四步），
（1）该同学第二步到第三步运用　 　进行因式分解；
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
20．因式分解.小禾因式分解后，通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等.下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务.
小禾的解法：①②③ 小禾的检验：当时，∵∴分解因式错误.
任务：
（1）小禾的解答是从第几步开始出错的，并帮助他指出错误的原因.
（2）请尝试写出正确的因式分解过程.
21．
（1）计算：
（2）分解因式：ax2－9ay2
22．在求两位数的平方时，可以用完全平方式及“列竖式”的方法进行速算，求解过程如下.
例如：求 .
解：因为 ，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得：
所以 .
（1）下面是丽丽仿照例题求 的一部分过程，请你帮他写出最后结果；
解：因为 ，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得：
所以 　 　；
（2）仿照例题，速算 ；
（备用表格）
（3）琪琪用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如下图所示.若这个两位数的个位数字为 ，则这个两位数为　 　（用含 的代数式表示）.
23．分解因式：
（1）6xy2﹣9x2y﹣y3；
（2）16x4﹣1．
24．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　（填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？　 　．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
25．在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为α的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 　 　 ．
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一个长方形的长和宽分别为（8-x）和（x-2），且（8-x）2+（x-2）2＝20，求这个长方形的面积．
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第4章 因式分解 单元专项培优测试卷
一、单选题
1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
2．下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A. 是多项式乘法，不是因式分解，故A项不符合题意；
B. ，右边不是积的形式，故B项不符合题意；
C. ，左边是单项式，不是因式分解，故C项不符合题意；
D. 是因式分解，故D项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，据此逐项判断即可．
3．如果9 是完全平方式，那么k的值是（　　）
A．一12 B．±12 C．6 D．±6
【答案】B
【解析】【解答】解：∵9a2-ka+4=（3a）2±12a+22=（3a±2）2，
∴k=±12．
故答案为：B．
【分析】根据两数的平方和加上或减去两数积的2倍等于两数和或差的平方，即可得到k的值．
4．若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： ， ，
（a+b）(a-b)=72，
（a+b）=9.
故答案为：A
【分析】利用平方差公式将 进行因式分解得：（a+b）(a-b)=72，即可求解.
5．下列由左到右变形，属于因式分解的是（　　）
A．（2x+3）（2x﹣3）=4x2﹣9
B．4x2+18x﹣1=4x（x+2）﹣1
C．（a﹣b）2﹣9=（a﹣b+3）（a﹣b﹣3）
D．（x﹣2y）2=x2﹣4xy+4y2
【答案】C
【解析】解：A、（2x+3）（2x﹣3）=4x2﹣9，不是因式分解，故本选项错误；
B、4x2+18x﹣1=4x（x+2）﹣1，不是因式分解，故本选项错误；
C、（a﹣b）2﹣9=（a﹣b+3）（a﹣b﹣3），是因式分解，正确；
D、（x﹣2y）2=x2﹣4xy+4y2不是因式分解，故本选项错误．
故选C．
【分析】根据因式分解的定义，对各选项作出判断，即可得出正确答案．
6．下列计算正确的是（　　）
A．（﹣m2n）3＝﹣m6n3 B．m5﹣m3＝m2
C．（m+2）2＝m2+4 D．m2·m3＝m6
【答案】A
【解析】【解答】解：A.（﹣m2n）3＝﹣m6n3，选项正确，符合题意；
B.m5﹣m3=m3（m2-1），选项错误，不符合题意；
C.（m+2）2＝m2+4m+4，选项错误，不符合题意；
D.m2·m3＝m5，选项错误，不符合题意；
故答案为： A.
【分析】根据积的乘方、因式分解、完全平方公式、同底数幂的乘法分别计算，再判断即可.
7．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
8．多项式①2x2﹣x，②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4，③（x+1）2﹣4x（x+1）+4，④﹣4x2﹣1+4x；分解因式后，结果含有相同因式的是（　　）
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
【答案】A
【解析】【解答】解：①2x2﹣x=x（2x﹣1）；
②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）+4=（x﹣3）2；
③（x+1）2﹣4x（x+1）+4无法分解因式；
④﹣4x2﹣1+4x=﹣（4x2﹣4x+1）=﹣（2x﹣1）2．
所以分解因式后，结果中含有相同因式的是①和④．
故答案为：A
【分析】根据提取公因式法和公式法把各项分解因式，找出含有相同因式的式子即可.
9．多项式﹣2x2﹣12xy2+8xy3的公因式是（　　）
A．2xy B．24x2y3 C．﹣2x D．以上都不对
【答案】C
【解析】【解答】解：多项式﹣2x2﹣12xy2+8xy3各项的公因式是：﹣2x．
故选：C．
【分析】根据公因式的定义，找出数字的最大公约数，找出相同字母的最低次数，直接找出每一项中公共部分即可．
10．下列多项式： ①； ②； ③； ④； ⑤ ，其中能用公式法分解因式的是（　　）
A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤
【答案】C
【解析】【解答】解：①、已无法进一步分解，排除；②、可用公式法分解成(2x-y)(2x+y)；③、已无法进一步分解，排除；④、可用公式法分解成；⑤、可用公式法分解成(mn-2)(mn-2).
故答案为：C.
【分析】①跟③极具迷惑性，前者乍一看以为能用平方差公式法分解，后者会以为能用完全平方公式法分解，实际上形式有出入，因此要求我们用公式法的时候一定是基于对公式的“模型”非常熟悉.
二、填空题
11．把多项式a3－2a2+a分解因式的结果是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： ．
故答案为： ．
【分析】利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可。
12．已知，，则　 　．
【答案】
13．分解因式的结果是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式因式分解即可。
14．把多项式 分解因式的结果是　 　．
【答案】ab(a-1)2
【解析】【解答】解：
=ab(a2-2a+1)
=ab(a-1)2，
故答案为：ab(a-1)2．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式计算求解即可。
15．对多项式24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是　 　．
【答案】8ab
【解析】【解答】解：24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是 8ab，
故答案为：8ab．
【分析】观察已知多项式，可知此多项式的两项中都含有8ab，即可得出答案。
16．若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n=　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，
故m+n=3．
故答案为：3．
【分析】将m2﹣n2按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n的值．
三、综合题
17．把下列多项式因式分解：
（1）x3y﹣2x2y+xy；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【答案】（1）解：原式=xy（x2﹣2x+1）=xy（x﹣1）2
（2）解：原式=9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）
【解析】【分析】（1）原式提取公因式即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
18．
（1）因式分解：．
（2）解不等式组
【答案】（1）解：
（2）解：
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
在数轴上表示不等式①，②的解集，
则不等式组的解集为．
【解析】【分析】
（1）本题考查了提公因式法与完全平方公式进行因式分解；
（2）本题考查了解带分母的一元一次不等式组，不等式组的解集是两个不等式的公共部分，要找准确。
19．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步），
（第二步），
（第三步），
（第四步），
（1）该同学第二步到第三步运用　 　进行因式分解；
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
【答案】（1）完全平方公式
（2）否；
（3）解：设，
则原式
【解析】【分析】(1)从第三步的结果可得出结论；
(2)观察最后结果中的x2-4x+4是否还能因式分解，得出结论；
(3)设x2 2x=y，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解。
20．因式分解.小禾因式分解后，通过代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等.下面是他的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务.
小禾的解法：①②③ 小禾的检验：当时，∵∴分解因式错误.
任务：
（1）小禾的解答是从第几步开始出错的，并帮助他指出错误的原因.
（2）请尝试写出正确的因式分解过程.
【答案】（1）解：小禾的解答是从第①步开始出错的，
应为；
（2）解：
.
【解析】【分析】（1）分析小禾每一步的解答过程，即可得到错误的地方；
（2）首先利用平方差公式进行分解，然后提取公因式即可.
21．
（1）计算：
（2）分解因式：ax2－9ay2
【答案】（1）解：原式＝
＝
（2）解：原式＝a（x2－9x2）
＝a（x＋3y）（x－3y）
【解析】【分析】（1）利用特殊角的锐角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值计算求解即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可。
22．在求两位数的平方时，可以用完全平方式及“列竖式”的方法进行速算，求解过程如下.
例如：求 .
解：因为 ，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得：
所以 .
（1）下面是丽丽仿照例题求 的一部分过程，请你帮他写出最后结果；
解：因为 ，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得：
所以 　 　；
（2）仿照例题，速算 ；
（备用表格）
（3）琪琪用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如下图所示.若这个两位数的个位数字为 ，则这个两位数为　 　（用含 的代数式表示）.
【答案】（1）9409
（2）因为 ，将上式中等号右边的系数填入下面的表格中可得：
1 6 2 5
　 4 0 　
2 0 2 5
所以
（3）m+50
【解析】【解答】（1）由题意得， 9409；(3)设这个两位数的十位数字为 ，由题意得 +0，解得 ，所以这个两位数为
故答案为： .
故答案为：9409；
【分析】（1）根据例题直接写出结果即可；（2）观察图表可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用0填补，第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方，根据此规律求解即可；（3）设这个两位数的十位数字为n，根据图3，利用十位数字与个位数字的乘积的2倍的关系表示出n，然后写出即可.
23．分解因式：
（1）6xy2﹣9x2y﹣y3；
（2）16x4﹣1．
【答案】（1）解：原式=﹣y（y2﹣6xy+9x2）=﹣y（y﹣3x）2；
（2）解：原式=（4x2+1）（4x2﹣1）=（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）．
【解析】【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式利用平方差公式分解即可．
24．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x＝y，
原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的　 　（填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？　 　．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果　 　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C
（2）否；（x﹣2）4
（3）解：设为x2﹣2x＝t，
则原式=t（t+2）+1
=t2+2t+1
=（t+1）2
=（x2﹣2x+1）2
=（x﹣1）4.
【解析】【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故答案为：C；（2）这个结果没有分解到最后，
原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；
故答案为：否，（x﹣2）4；
【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将 看作整体进而分解因式即可．
25．在课后服务课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为α的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 　 　 ．
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：a+b＝7，a2+b2＝25，求ab的值．
②如果一个长方形的长和宽分别为（8-x）和（x-2），且（8-x）2+（x-2）2＝20，求这个长方形的面积．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2
（2）解：①∵a+b＝7，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，
∵a2+b2＝25，
∴2ab＝24，
∴ab＝12；
②由（1）知，[（8-x）+（x-2）]2＝（8-x）2+2（8-x）（x-2）+（x-2）2＝36，
∵（8-x）2+（x-2）2＝20，
∴2（8-x）（x-2）＝16，
∴（8-x）（x-2）＝8，
故这个长方形的面积为8．
【解析】【解答】 (1)图1和图2是利用数形结合的方法，推导完全平方公式的经典过程。可直接写出 (a+b）2=a2+2ab+b2；(2)①直接代入求值：72=25+2ab，ab=[（a+b）2-（a2+b2）]÷2=（49-25）÷2=12；② 观察可知本题与①为同样思路，（8-x）即为公式中的a，（x-2）即为公式中的b，a+b=8-x+x-2=6.长方形面积就是在求ab的值，ab=[（a+b）2 -（ a2+b2 ）]÷2=（36-20）÷2=8
故答案为： (1) (a+b）2=a2+2ab+b2 (2)①ab＝12 ② 8
【分析】熟练掌握完全平方公式，灵活利用完全公式的恒等变形解决问题。
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