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2024-2025 学年甘肃省兰州二中高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 45° 15° 45° 15° =( )
A. 12 B.
3 1 3
2 C. 2 D. 2
2.集合 = { |2 ≤ 4}， = { | = 1}，则 ∩ =( )
A. B.
C. [1,2] D. ( ∞,1] ∪ [2, + ∞)
3.已知复数 满足 = (3 + )，其中 为虚数单位，则 的虚部是( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
4.设 ， 为非零向量，则“| | = | |”是“ = ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.平均数、中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在
如图分布形态中， ， ， 分别对应这组数据的平均数、中位数和众数，则下列关系正确的是( )
A. < <
B. < <
C. < <
D. < <
6.已知向量 = (3,4)， = (2, )， = (2, 1)，若( ) ⊥ ，则 =( )
A. 72 B. 2 C. 6 D.
9
2
7.已知 + 3 = 35，则 cos(2 +

3 ) =( )
A. 47 B. 47 41 4150 50 C. 50 D. 50
8.若 ( + ) ≤ 2 + 对任意 ∈ (0, 2 )恒成立，则 的最大值为( )
A. 2 B. 3 C. 5 22 D.
5 2
4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
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A. + 2 + 3 + 4 = 0
B. 3 + > 1
C.若 = (1 + 2 )2，则复数 对应的点位于第四象限
D.已知复数 满足：| 2 | = 3，则 在复平面内对应的点的轨迹为圆
10 ( ) = 2
, ≤ 1
.已知函数 , > 1，则下列结论正确的是( )2
A. (0) < (3) B. ( )为增函数
C. ( )的值域为(0, + ∞) D.方程 ( ) = 最多有两个解
11.△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .下列与△ 有关的结论中正确的是( )
A.若 = 1， = 3， = 6，则满足条件的三角形有 2 个
B.若 = ，则△ 是等腰三角形
C.若△ 是锐角三角形，则 <
D.若 2 + + 3 = 0， △ ， △ 分别表示△ ，△ 的面积，则 △ ： △ = 1：6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 、 是两个不共线的向量，若 = 2 + ， = + ， = 2 + ，且 、 、 三点共线，则实
数 的值等于______．
13 22.5° 1. 22.5 = ______．
14 .若 0 < < 2， 2 < < 0， =
3
3 ，sin( + ) =
1
3，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
兴隆山自然保护区位于兰州市东南公里的榆中县境内，1982 年建立，1988 年批准为国家级自然保护区，
总面积 33301 公顷.是国家“ ”级旅游胜地，在一片绿海碧涛之中，著名的栖云山景区、马衔山景区、
官滩沟景区等三十余处景点，宛如玛瑙镶嵌在翠玉之上，光彩夺目.现为更好地提升旅游品质，兴隆山风景
区的工作人员随机选择 100 名游客对景区进行满意度评分(满分 100 分)，根据评分，制成如图所示的频率
分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求 的值；
(2)估计这 100 名游客对景区满意度评分的 40%分位数和平均数(得数保留两位小数)．
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16.(本小题 15 分)
设 3， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，若 = 3 ．
(1)求角 ；
(2)若 = 2，△ 的周长的为 6，求△ 的面积．
17.(本小题 15 分)
在边长为 2 的等边三角形 中．
(1)当点 是边 上距离 较近的三等分点时，请用 和 表示 ；
(2)当点 是边 上的动点，试判断： ( + )是否为定值？若是，请求出该定值；若不是请说明理由．
18.(本小题 17 分)
某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：① 3 = 3 4 3 ；② 3 = 4 3 3 .根
据以上研究结论，研究以下问题．
(1)在①和②中任选一个进行证明；
(2)当 ≠ + 2 ( ∈ )时，尝试用 表示 3 ；
(3)求值： 1098°．
19.(本小题 17 分)
如图，我们把由平面内夹角成 60°的两条数轴 ， 构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设 1， 1分别为 ，
正方向上的单位向量，若向量 = 1 + 2，则把实数对[ , ]叫做向量 的“完美坐标”．
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(1)若向量 的“完美坐标”为[3,4]，求| |；
(2) 已知向量 ， 的“完美坐标”分别为[cos 2 , sin
] [cos 3 2 ， 2 , sin
3
2 ]．
①若 // ， ∈ (0, )，求出 ， 的完美坐标；
②若 ∈ ，求 的范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13. 2
14. 33
15.(1)根据题意可知，10 × (0.005 + 0.01 + 0.015 + + 0.04) = 1，可得 = 0.03；
(2)根据 10 × (0.005 + 0.01 + 0.015) = 0.3 < 0.4 < 10 × (0.005 + 0.01 + 0.015 + 0.03) = 0.6，
所以 40%分位数在区间[80,90)内，令其为 ，
则 0.3 + 0.03 × ( 80) = 0.4 = 80 + 10，解得 3 ≈ 83.33，
所以满意度评分的 40%分位数约为 83.33，

由频率分布直方图可知，平均数为 = 55 × 0.05 + 65 × 0.1 + 75 × 0.15 + 85 × 0.3 + 95 × 0.4 = 84．
16. 3 3解：(1)由 = 3 ，及正弦定理可得 = 3 ．
由 = sin( + ) = + 带入上式，
3
整理得 3 = ．
因为 > 0，
所以 = 3．
因为 ∈ (0, )，

所以角 = 3．
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(2) ∵△ 的周长为 6，
得 + = 4，
由 2 = 2 + 2 2 .可得 4 = 2 + 2 ，
即( + )2 3 = 4．
解得 = 4，
∴ 12 = 3．
所以△ 的面积为 3．
17.(1)由题可得， = 2 ，
即 = 2( )，
2 1
所以 = 3 + 3 ；
(2)由题，取线段 的中点 ，连接 ，则 ⊥ ，
以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则 (0, 3)， ( 1,0)， (1,0)，
设点 ( , 0)，其中 1 ≤ ≤ 1，
则 = (1, 3)， = ( , 3)， = ( 1, 3)，
所以 + = (0, 2 3)，
故 ( + ) = × 0 + ( 3) × ( 2 3) = 6．
18.(1)①证明： 3 = sin(2 + ) = 2 + 2
因为 2 = 2 ， 2 = 1 2 2 ，
所以 3 = 2 2 + (1 2 2 ) = 2 (1 sin2 ) + (1 2 2 ) = 3 4 3 .
②证明： 3 = cos(2 + ) = 2 2 ，
因为 2 = 2 2 1， 2 = 2 ，
所以 3 = (2 2 1) 2 2 = 2 3 2(1 cos2 ) = 4 3 3 ．
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(2) 解：由(1)的结论，可得：当 ≠ + 2 ( ∈ )时，
3 = 3 = 3 4
3 3 (cos2= +sin
2 ) 4 3 = 3
2 sin3 3= 3 tan 3 4 2 3 4 3 3 (cos2 +sin2 ) cos3 3 2 cos 1 3 2 ．
(3) 1098° = sin(6 × 360° + 18°) = 18°，
因为 54° = 36°，结合公式②及正弦的二倍角公式，可得 4 318° 3 18° = 2 18° 18°，
结合 18° > 0，化简得 4 218° 3 = 2 18°，即 4(1 sin218°) 3 = 2 18°，
整理得 4 218° + 2 18° 1 = 0 5 1 5 1 5 1，解得 18° = 4 或 4 ，结合 18° > 0，可得 18° = 4 ．
19.(1)因为向量 的“完美坐标”为[3,4]，所以 = 3 1 + 4 2，
则| | = |3 1 + 4 2| = (3 1+ 4 22)
= 9 21 + 24 1 2 + 16
2
2
= 9| 1|2 + 24| 1| | 2| 60° + 16| 2|2
= 9 + 24 × 1 × 1 × 12 + 16 = 37；
(2)①由题意， = cos 2

1 + sin 2 2，
= cos 3 2 1 sin
3
2 2，
若 // ，则存在实数 ，使 = ，
即 cos 2 1+ sin 2 2 = (cos
3 3
2 1 sin 2 2) =
3
2 1
3
2 2，
cos = 3
所以 2 2 3 ，所以 tan

2 = tan
3
2，sin 2 = 2
3
又 ∈ (0, )，所以2+ 2 = ，所以 = 2，
则 = 22
2
1+ 2 2，
= 2 22 1 2 2，
所以 的坐标为[ 2 , 22 2 ]，
2 2的坐标为[ 2 , 2 ]；
3 3
②由题意得 = (cos 2 1+ sin 2 2) (cos 2 1 sin 2 2)
3 3 1 3 1 3
= cos 2 cos 2 sin2 sin 2 2 cos2 sin 2 + 2 sin2 cos 2
3 1 3 1
= cos(2 + 2 ) 2 sin( 2 2 ) = 2 2
= 1 2 2 12 = 2( +
1 )2 + 338 32，
因为 ∈ ，所以 1 ≤ ≤ 1，
1 33
所以当 = 8时，
取最大值32，
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= 1 3当 时， 取最小值 2，
故 3 33的取值范围为[ 2 , 32 ]．
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