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第4章 平行四边形 单元综合达标卷
一、单选题
1．窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．正六边形的每个内角为（　　）
A．108° B．120° C．135° D．140°
3．下列命题中，①圆是中心对称图形；②垂直于弦的直线必经过圆心；③平分弦的直径必平分弦所对的两条弧；④圆内接四边形的对角互补．其中真命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，则S△ACD=（　　）
A．10cm2 B．9cm2 C．8cm2 D．7cm2
5．如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若．则的周长是（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
6．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，BE=2，DC=4，则平行四边形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．24 C．20 D．12
7．如果一个多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍，那么这个多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．在6张大小，形状及反面完全相同的卡片正面分别画有线段、角、等边三角形、平行四边形、正方形、圆六种图形．在看不见图形的情况下随机摸出1张，则这张卡片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有3个”时，应假设（　　）
A．多边形的内角中锐角的个数最少有4个
B．多边形的内角中锐角的个数最少有3个
C．多边形的内角中锐角的个数最少有2个
D．多边形的内角中锐角的个数最多有2个
10．已知 ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF.中一定成立的是（　　）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
11．若一个多边形的各边均相等，周长为70，且内角和为1440°，则它的边长是　 　．
12．如图，的周长为32，对角线，相交于点．点是的中点，，则的周长为　 　．
13．如图，的内切圆（圆心为点）与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法正确的是　 　．（填代码即可）
A．射线一定过点
B．点是三条中线的交点
C．若是等边三角形，则
D．点是三条边的垂直平分线的交点
14．如图，平行四边形中，E、F是对角线上不同的两点，添加个条件，使得四边形为平行四边形．现有四个条件：．你添加的条件是：　 　（选出所有正确的答案）
15．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE＝4，AB＝5，EC＝7，则平行四边形ABCD的周长等于　 　.
16．如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，a与b的距离是2cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是 　 　cm．
三、综合题
17．如图，小明从点出发沿直线前进到达点，向左转后又沿直线前进到达点，再向左转后沿直线前进到达点照这样走下去，小明第一次回到出发点，一共走了多少米？
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．
（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S=__；
（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′__S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．
19．如图，点A、B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点C（2，﹣2），CA、CB分别交坐标轴于D、E，CA⊥AB，且CA＝AB
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，连接DE，求证：BD﹣AE＝DE；
（3）如图3，若点F为（4，0），点P在第一象限内，连接PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN＝PF，连接PO、BN，过P作∠OPG＝45°交BN于点G，求证：点G是BN的中点.
20．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DE、EF、FG、OD．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形。
（2）若△ADE的面积为6，则四边形DEFG的面积为　 　。
21．如图，平行四边形 中，点E是边AB的中点，延长DE交CB的延长线于点F.
（1）求证： ；
（2）若 ，连接EC，则 的度数是　 　
22．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
（1）试说明AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
23．已知：如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与△ABC面积相等的三角形．
24．对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2的单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5），已知点A的坐标为（1，0）．
（1）分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．
（2）如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C．
①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由．
②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（7，6），求出点B的坐标及n的值．
25．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
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第4章 平行四边形 单元综合达标卷
一、单选题
1．窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
2．正六边形的每个内角为（　　）
A．108° B．120° C．135° D．140°
【答案】B
3．下列命题中，①圆是中心对称图形；②垂直于弦的直线必经过圆心；③平分弦的直径必平分弦所对的两条弧；④圆内接四边形的对角互补．其中真命题的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，则S△ACD=（　　）
A．10cm2 B．9cm2 C．8cm2 D．7cm2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∴点B和点C到AD的距离相等，
即△ABD和△ACD中AD边上高是相等的，
所以△ACD和△ABD的面积相等，为 10cm2 .
故答案为：A.
【分析】由平行线间的距离处处相等可得AD边上的高是相等的，再根据等底等高的两个三角形面积相等，可得△ACD和△ABD的面积相等。
5．如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若．则的周长是（　　）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】B
6．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，BE=2，DC=4，则平行四边形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．24 C．20 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CED=∠CDE，
∴CE=CD=4，
∴BC=BE+CE=6，
∴ ABCD的周长为：2×（4+6）=20．
故选：C．
【分析】由 ABCD中，DE平分∠ADC，易得△CDE是等腰三角形，求出CE=4，再求得BC的长，继而求得答案．
7．如果一个多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍，那么这个多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：设外角为x，则相邻的内角为2x，
由题意得，2x+x=180°，
解得，x=60°，
360÷60°=6，
故选C．
【分析】设出外角的度数，表示出内角的度数，根据一个内角与它相邻的外角互补列出方程，解方程得到答案．
8．在6张大小，形状及反面完全相同的卡片正面分别画有线段、角、等边三角形、平行四边形、正方形、圆六种图形．在看不见图形的情况下随机摸出1张，则这张卡片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
9．用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有3个”时，应假设（　　）
A．多边形的内角中锐角的个数最少有4个
B．多边形的内角中锐角的个数最少有3个
C．多边形的内角中锐角的个数最少有2个
D．多边形的内角中锐角的个数最多有2个
【答案】A
【解析】【解答】解：用反证法证明“多边形的内角中锐角的个数最多有3个”时，应假设多边形的内角中锐角的个数最少有4个，
故答案为：A.
【分析】假设命题的结论不成立或假设命题的结论的反面成立，然后推出矛盾，说明假设错误，故结论成立.
10．已知 ABCD中，AD＝2AB，F是BC的中点，作AE⊥CD，垂足E在线段CD上，不与点C重合，连接EF、AF，下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF≤S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF.中一定成立的是（　　）
A．①②④ B．①③ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】【解答】解：①∵F是BC的中点，
∴BF＝FC，
∵在 ABCD中，AD＝2AB，
∴BC＝2AB＝2CD，∴BF＝FC＝AB，
∴∠AFB＝∠BAF，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠DAF，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴2∠BAF＝∠BAD，故①正确；
②延长EF，交AB延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠MBF＝∠C，
∵F为BC中点，
∴BF＝CF，
在△MBF和△ECF中，
，
∴△MBF≌△ECF（ASA），
∴FE＝MF，∠CEF＝∠M，
∵CE⊥AE，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，
∵FM＝EF，
∴EF＝AF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△AEF＝S△AFM，
∵E与C不重合，
∴S△ABF＜S△AEF，故③错误；
④设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，
∴∠BAF＝∠AFB＝90°﹣x，
∴∠EFA＝180°﹣2x，
∴∠EFB＝90°﹣x＋180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠CEF＝90°﹣x，
∴∠BFE＝3∠CEF，故④正确.
故答案为：A.
【分析】根据中点的概念可得BF＝FC，根据平行四边形的性质以及AD＝2AB可得BF＝FC＝AB，由等腰三角形的性质可得∠AFB＝∠BAF，根据平行线的性质可得∠AFB＝∠DAF，推出∠BAF＝∠FAD，据此判断①；延长EF，交AB延长线于M，根据平行四边形以及平行线的性质可得∠MBF＝∠C，证明△MBF≌△ECF，得到FE＝MF，∠CEF＝∠M，据此判断②；易得S△AEF＝S△AFM，据此判断③；设∠FEA＝x，则∠FAE＝x，∠BAF＝90°﹣x，∠EFA＝180°﹣2x，∠EFB＝270°﹣3x，据此判断④.
二、填空题
11．若一个多边形的各边均相等，周长为70，且内角和为1440°，则它的边长是　 　．
【答案】7
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，
∵内角和为1 440°，
∴（n﹣2） 180°=1440°，解得n=10，
∵多边形的各边均相等，周长为70，
∴它的边长= =7．
故答案为：7．
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形内角和定理求出n的值，再根据周长为70即可得出其边长．
12．如图，的周长为32，对角线，相交于点．点是的中点，，则的周长为　 　．
【答案】13
13．如图，的内切圆（圆心为点）与各边分别相切于点，，，连接，，．以点为圆心，以适当长为半径作弧分别交，于，两点；分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧交于点；作射线．下列说法正确的是　 　．（填代码即可）
A．射线一定过点
B．点是三条中线的交点
C．若是等边三角形，则
D．点是三条边的垂直平分线的交点
【答案】ACD
14．如图，平行四边形中，E、F是对角线上不同的两点，添加个条件，使得四边形为平行四边形．现有四个条件：．你添加的条件是：　 　（选出所有正确的答案）
【答案】①②④
15．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE＝4，AB＝5，EC＝7，则平行四边形ABCD的周长等于　 　.
【答案】18或30
【解析】【解答】解：如图1，当∠ABC是锐角，
根据题意，
在直角△ABE中，AB＝5，AE＝4，
∴
∵EC＝7，
∴BC＝ ＝10，
∵AB＝5
∴ ABCD的周长为 ；
如图2，当∠ABC是钝角，
在直角△ABE中，AB＝5，AE＝4，
∴
∵EC＝7，
∴BC＝ ＝4
∵AB＝5
∴ ABCD的周长为 ；
故答案为：18或30.
【分析】当∠ABC是锐角时，根据题意可得∠AEB=90°，利用勾股定理求出BE，根据BC=BE+EC可得BC，据此不难求出平行四边形ABCD的周长；当∠ABC是钝角时，利用勾股定理求出BE，则BC=EC-BE=4，同理可得平行四边形ABCD的周长.
16．如图，直线a∥b∥c，AB⊥a，a与b的距离是2cm，b与c的距离是3cm，则a与c的距离是 　 　cm．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，AB⊥a，
∴AB⊥b，AB⊥c.
∵a与b的距离是2cm，b与c的距离是3cm，
∴a与c的距离是2+3=5cm.
故答案为：5.
【分析】由题意可得：AB⊥b，AB⊥c，然后根据a与b的距离+b与c的距离=a与c的距离进行计算.
三、综合题
17．如图，小明从点出发沿直线前进到达点，向左转后又沿直线前进到达点，再向左转后沿直线前进到达点照这样走下去，小明第一次回到出发点，一共走了多少米？
【答案】小明第一次回到出发点，一共走了米．
18．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是AD中点，EF⊥BC于点F，BC=5，EF=3．
（1）若AB=DC，则四边形ABCD的面积S=__；
（2）若AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′__S（用“＞”或“=”或“＜”填空）．
【答案】（1）解：∵AB=DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD的面积S=5×3=15
（2）解：如图，连接EC，延长CD、BE交于点P，
∵E是AD中点，
∴AE=DE，
又∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠P，∠A=∠PDE，
在△ABE和△DPE中，
∵ ，
∴△ABE≌△DPE（AAS），
∴S△ABE=S△DPE，BE=PE，
∴S△BCE=S△PCE，
则S四边形ABCD=S△ABE+S△CDE+S△BCE
=S△PDE+S△CDE+S△BCE
=S△PCE+S△BCE
=2S△BCE
=2× ×BC×EF
=15，
∴当AB＞DC，则此时四边形ABCD的面积S′=S
【解析】【分析】（1）根据一组对边平行且相等可证四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的面积=底×高即可；
（2）如图，连接EC，延长CD、BE交于点P， 根据AAS可证△ABE≌△DPE ，可得S△ABE=S△DPE，BE=PE， 即得CE是△PBC的中线，可得S△BCE=S△PCE，由S四边形ABCD=S△ABE+S△CDE+S△BCE =
S△PDE+S△CDE+S△BCE=S△PCE+S△BCE=2S△BCE，求出S'的值，然后比较即可.
19．如图，点A、B分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，点C（2，﹣2），CA、CB分别交坐标轴于D、E，CA⊥AB，且CA＝AB
（1）求点B的坐标；
（2）如图2，连接DE，求证：BD﹣AE＝DE；
（3）如图3，若点F为（4，0），点P在第一象限内，连接PF，过P作PM⊥PF交y轴于点M，在PM上截取PN＝PF，连接PO、BN，过P作∠OPG＝45°交BN于点G，求证：点G是BN的中点.
【答案】（1）解：作CM⊥x轴于M，
∵C（2，﹣2），
∴CM＝2，OM＝2，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝∠AOB＝∠CMA＝90°，
∴∠BAO+∠CAM＝90°，∠CAM+∠ACM＝90°，
∴∠BAO＝∠ACM，
在△BAO和△ACM中，
，
∴△BAO≌△ACM，
∴AO＝CM＝2，OB＝AM＝AO+OM＝2+2＝4，
∴B（0，4）.
（2）证明：证明：在BD上截取BF＝AE，连AF，
∵△BAO≌△CAM，
∴∠ABF＝∠CAE，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△CAE（SAS），
∴AF＝CE，∠ACE＝∠BAF＝45°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠FAD＝45°＝∠ECD，
由（1）可知OA＝OM，OD∥CM，
∴AD＝DC，（图1中），
在△AFD和△CED中，
，
∴△AFD≌△CED（SAS），
∴DE＝DF，
∴BD﹣AE＝DE；
（3）证明：如图3，作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，
∵∠EOP＝90°，∠EPO＝45°，
∴∠OEP＝∠EPO＝45°，
∴EO＝PO，
∵∠EOP＝∠BOF＝90°，
∴∠EOB＝∠POF，
在△EOB和△POF中，
，
∴△EOB≌△POF，
∴EB＝PF＝PN，∠1＝∠OFP，
∵∠2+∠PMO＝180°，
∵∠MOF＝∠MPF＝90°，
∴∠OMP+∠OFP＝180°，
∴∠2＝∠OFP＝∠1，
∴EB∥PN，
∵EB＝PN，
∴四边形ENPB是平行四边形，
∴BG＝GN，
即点G是BN中点.
【解析】【分析】（1）作CM⊥x轴于M，求出CM＝CN＝2，证△BAO≌△ACM，推出AO＝CM＝2，OB＝AM＝4，即可得出答案；（2）在BD上截取BF＝AE，连AF，证△BAF≌△CAE，证△AFD≌△CED，即可得出答案.（3）作EO⊥OP交PG的延长线于E，连接EB、EN、PB，只要证明四边形ENPB是平行四边形就可以了.
20．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DE、EF、FG、OD．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形。
（2）若△ADE的面积为6，则四边形DEFG的面积为　 　。
【答案】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC，且DE= BC．
∵F、G分別是BO、CO的中点
∴FG是△BCO的中位线
FG∥BC，且FG= BC
∴DE∥FG，且DE=FG
∴四边形DEFG是平行四边形。
（2）8
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DE∥BC，DE=BC、FG∥BC，FG=BC，则可得DE∥FG，DE=FG，即可利用平行四边形的判定定理得证；
（2）先利用判定三角形相似的预备定理证得△ADE∽△ABC，然后利用三角形的面积比等于相似比求出△ABC的面积，则S四边形DEFG =S△ABC-S△ADE。
21．如图，平行四边形 中，点E是边AB的中点，延长DE交CB的延长线于点F.
（1）求证： ；
（2）若 ，连接EC，则 的度数是　 　
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A＝∠ABF，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（ASA）；
（2）135°
【解析】【解答】解：（2）解：∵△ADE≌△BFE，
∴DE＝EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝ CD，
∴∠CDF＝∠BEF
∵DE⊥AB，
∴∠BEF＝90°，
∴∠CDF＝90°，
∵DE＝AB，
∴DE＝DC，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴∠DEC＝∠DCE＝45°，
∴∠FEC＝135°.
故答案为：135°.
【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合点E是AB的中点，利用角边角定理证明△ADE≌△BFE；
（2）由全等三角形的性质得出DE=EF，再由平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=CD，从而根据平行线的性质∠CDF=∠BEF，得出∠CDF=90°，结合DE=DC，得出△EDC为等腰直角三角形的性质，则可得出∠DEC=∠DCE=45°，最后利用邻补角的性质即可得出结果．
22．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.
（1）试说明AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
【答案】（1）解：∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴∠AEF＝∠AEB＝30°，AE＝AB，∠EFA＝90°.又∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠EFA＝∠ACB，∠AEF＝∠BAC.
∴△ACB≌△EFA.
∴AC＝EF
（2）证明：∵△ACD是等边三角形，∴AC＝AD，∠DAC＝60°.
由(1)的结论得AC＝EF，∴AD＝EF.
又∵∠BAC＝30°，∴∠FAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°.
又∵∠EFA＝90°，∴EF∥AD.
又∵EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠AEF＝∠AEB＝30°，AE＝AB，∠EFA＝90°.结合已知条件可证得△ACB≌△EFA，所以AC＝EF；
（2）根据等边三角形的性质可得AC＝AD，∠DAC＝60°.由(1)的结论得AC＝EF=AD，而∠BAC＝30°，所以由角的构成可得∠FAD＝∠BAC＋∠DAC＝90°.
根据垂直于同一直线的两条直线互相平行可得EF∥AD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADFE是平行四边形．
23．已知：如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与△ABC面积相等的三角形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠ABE=∠FCE，
在△ABE和△FCE中，
∴△ABE≌△FCE，
∴AE=EF，∵BE=CE，
∴四边形ABFC是平行四边形
（2）图中与△ABC面积相等的三角形有：△ACF，△BCF，△ABF，△ACD．
【解析】【分析】（1）先证明△ABE≌△FCE，推出AE=EF，又BE=CE，即可推出四边形ABFC是平行四边形；（2）根据等底同高三角形面积线段，三角形的中线分成的两个三角形的面积相等，即可判定；
24．对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2的单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5），已知点A的坐标为（1，0）．
（1）分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．
（2）如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C．
①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由．
②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（7，6），求出点B的坐标及n的值．
【答案】（1）解：∵点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5），点A的坐标为（1，0），
∴点A经1次平移后得到的点的坐标为（2，2），点A经2次平移后得到的点的坐标（3，4）；
（2）解：①连接CM，如图1：
由中心对称可知，AM=BM，
由轴对称可知：BM=CM，
∴AM=CM=BM，
∴∠MAC=∠ACM，∠MBC=∠MCB，
∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB=180°，
∴∠ACM+∠MCB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，如图2：
∵A（1，0），C（7，6），
∴AF=CF=6，
∴△ACF是等腰直角三角形，
由①得∠ACE=90°，
∴∠AEC=45°，
∴E点坐标为（13，0），
设直线BE的解析式为y=kx+b，
∵C，E点在直线上，
可得： ，
解得： ，
∴y=﹣x+13，
∵点B由点A经n次斜平移得到，
∴点B（n+1，2n），由2n=﹣n﹣1+13，
解得：n=4，
∴B（5，8）．
【解析】【分析】此题考查几何变换问题，关键是根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定分析，同时根据待定系数法得出直线的解析式解答．（1）根据平移的性质得出点A平移的坐标即可；（2）①连接CM，根据中心和轴对称的性质和直角三角形的判定解答即可。
②延长BC交x轴于点E，过C点作CF⊥AE于点F，根据待定系数法得出直线的解析式进而解答即可．
25．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．
求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
【答案】（1）证明：如图1中，连接BD．
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH∥BD，EH= BD，
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG∥BD，FG= BD，
∴EH∥FG，EH=GF，
∴中点四边形EFGH是平行四边形．
（2）四边形EFGH是菱形．
证明：如图2中，连接AC，BD．
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD
即∠APC=∠BPD，
在△APC和△BPD中，
，
∴△APC≌△BPD，
∴AC=BD
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF= AC，FG= BD，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形．
（3）四边形EFGH是正方形．
证明：如图2中，
设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．
∵△APC≌△BPD，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠DMO=∠CMP，
∴∠COD=∠CPD=90°，
∵EH∥BD，AC∥HG，
∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形．
【解析】【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可．（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可．（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明．
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