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第十八章 平行四边形 单元综合提升卷
一、选择题
1．下列命题中，正确的是（　　）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
2．如图，在矩形中，点B的坐标是，则AC的长是（　　）
A．5 B．7 C．12 D．13
3．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　)
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对边相等 D．对角相等
4．已知，是 的对角线，要判定 为矩形，可添加的一个条件是(　　)
A． B． C． D．
5．在 中，，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
6．如图所示，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为该平行四边形的第4个顶点的坐标的是（　　）
A．（3，1） B．（1，-1） C．（-3，1） D．（-4，1）
7．如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，OE=3，AB=5， ABCD的周长（　　）
A．11 B．13 C．16 D．22
8．下列说法中正确的是（　　）
A．两条对角线垂直的四边形的菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
9．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.下列结论：①AE=CE；②S平行四边形ABCD=AB×AC；③S△ABC=2S△ACE；④OE=BC，成立的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，以此类推，…，则正方形的边长是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，点在平行四边形的边上，.若，，则的度数为　 　．
12．如图，的对角线相交于点O，且，的周长为22，则的两条对角线的和是　 　．
13．如图，在一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，分别以点A，C为圆心画弧，交于M，N两点，直线MN与AD，BC分别交于点E，F，连结AF，CE．若，，则AE的长是　 　．
14．边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为　 　．
15．如图，在四边形中，，，，若，，则　 　．
16．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为.若，则图中阴影部分的面积为　 　.

三、综合题
17．如图，在中，，，，和分别是斜边上的中线和高线，是的中点．
（1）求的长；
（2）证明：为等边三角形．
18．如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，
（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）求菱形的面积．
19．如图，四边形的对角线，相交于点，其中，，，为上一点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，求的度数．
20．如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点作于点，求证：．
21．如图， 平行四边形 的周长为36，BD=12，点是对角线AC、BD的交点，点是边的中点，点交的延长线于．
（1）求证：四边形OCFE是平行四边形；
（2）求△DOE的周长．
22．如图，在中，∠BAC的角平分线交BC于点D，．
（1）在AB上求作一点F，使得；（请保留尺规作图痕迹，不写作法）
（2）四边形AFDE是菱形吗？请说明理由．
23．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，于点E交AC于点P，于点F．
（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；
（2）如果，，求出DP的长．
24．如图，在中，，点为中点.过点作，交射线于点，连接，点为中点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）请你直接写出当满足什么条件时，四边形为菱形．
25．如图，在矩形中，点E、点F分别是、的中点，连接，，，，与交于点G，与交于点H．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）请判断四边形的形状，并说明理由．
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第十八章 平行四边形 单元综合提升卷
一、选择题
1．下列命题中，正确的是（　　）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题，符合题意；
D、有一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据菱形的判定定理、平行四边形的判定定理、矩形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
2．如图，在矩形中，点B的坐标是，则AC的长是（　　）
A．5 B．7 C．12 D．13
【答案】D
【解析】【解答】解：如图：连接，过作x轴于，
∵点的坐标是
∴，由勾股定理得
∵四边形是矩形
∴
∴
故答案为：D
【分析】根据勾股定理求出 =13，根据矩形的性质得出 ，即可得出答案；
3．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　)
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对边相等 D．对角相等
【答案】A
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而矩形的对角线互相平分且相等.
故答案为：A.
【分析】对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形.
4．已知，是 的对角线，要判定 为矩形，可添加的一个条件是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、，
是矩形，A符合题意；
B、，
是菱形，B不符合题意；
C、，
是菱形，C不符合题意；
D、，
无法证明是矩形，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】对角线相等的平行四边形是矩形.
邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
5．在 中，，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，，
，
.
故答案为：B.
【分析】平行四边形的对角相等，邻角互补.
6．如图所示，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为该平行四边形的第4个顶点的坐标的是（　　）
A．（3，1） B．（1，-1） C．（-3，1） D．（-4，1）
【答案】D
【解析】【解答】解：如图所示：
①以AB为对角线，可以画出平行四边形AEBC，E（1，-1）；
②以AC为对角线，可以画出平行四边形ABCF，F（-3，1）；
③以BC为对角线，可以画出平行四边形ABDC，D（3，1）；
∴D选项中的点不能 作为该平行四边形的第4个顶点 。
故答案为：D.
【分析】第4个顶点的位置不是唯一的，可以分别以AC、AB、BC为对角线画平行四边形，结合平行四边形的性质求出相应的坐标即可.
7．如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，OE=3，AB=5， ABCD的周长（　　）
A．11 B．13 C．16 D．22
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，AD=BC，AB=CD=5，
∵AE=EB，OE=3，
∴BC=2OE=6，
∴ ABCD的周长=2×（AB+BC）=22．
故选D．
【分析】由 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，易得DE是△ABC的中位线，即可求得BC的长，继而求得答案．
8．下列说法中正确的是（　　）
A．两条对角线垂直的四边形的菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【解析】【解答】解：A．两条对角线垂直的平行四边形是菱形，故错误；
B．对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，故错误；
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
D．两条对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
故选：D．
【分析】根据菱形，正方形，矩形的判定定理，进行判定，即可解答．
9．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.下列结论：①AE=CE；②S平行四边形ABCD=AB×AC；③S△ABC=2S△ACE；④OE=BC，成立的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵，
∴，
∴AE=CE，故①正确；
∵∠EAC=∠ACE=30°，
∴∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB·AC，故②正确；
∵BE=EC，
∴E为BC中点，
∴S△ABE=S△ACE，
∴S△ABC=2S△ACE，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=CO，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴
∵，
∴，故④正确；
故正确的个数为4个，
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=AB=BE，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可.
10．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，以此类推，…，则正方形的边长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵正方形的边长为1，
∴，
∵以对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形，
∴，
同理可得，
......
∴正方形的边长是，
故答案为：B
【分析】根据正方形的性质结合勾股定理即可求出，，，进而即可得到规律每次正方形的边长变为原来的倍，进而结合题意即可求解。
二、填空题
11．如图，点在平行四边形的边上，.若，，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD为平行四边形
∴ AB=CD，∠B=∠D，AB∥CD
∴ ∠ACD=∠BAC
∵
∴ ∠B=40°
∵，
∴ AB=BE，
∴ ∠BAE=70°
∵ ∠EAC=20°
∴ ∠BAC=90°
∴ ∠ACD=90°
【分析】本题考查平行四边形的性质应用和等腰三角形的角度计算。理解平行四边形的性质很重要。
12．如图，的对角线相交于点O，且，的周长为22，则的两条对角线的和是　 　．
【答案】32
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=6，且OA=OA，OB=OD，
∵△OCD的周长为22，
∴OC+OD+CD=22，
∴OC+OD=22-6=16，
∴AC+BD=2（OC+OD）=32。
故第1空答案为：32.
【分析】首先求得OC+OD的长度，再根据平行四边形的性质即可求得AC+BD的长。
13．如图，在一张平行四边形纸片上按如下操作：连结AC，分别以点A，C为圆心画弧，交于M，N两点，直线MN与AD，BC分别交于点E，F，连结AF，CE．若，，则AE的长是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设AC、EF交于点O，
由作图可得：MN垂直平分AC，
∴AE=CE，AF=CF，∠AOE=∠AOF，
∴∠FAC=∠FCA.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCA，
∴∠EAC=∠FAC.
∵∠EOA=∠FAO，AO=AO，∠AOE=∠AOF，
∴△AOE≌△AOF（ASA），
∴AE=AF，
∴AE=AF=CF=CE，
∴四边形AECF为菱形.
∵AC=4，EF=2，
∴AO=2，EO=1，
∴AE==.
故答案为：.
【分析】设AC、EF交于点O，由作图可得：MN垂直平分AC，则AE=CE，AF=CF，∠AOE=∠AOF，∠FAC=∠FCA，由平行四边形以及平行线的性质可得∠EAC=∠FCA，则∠EAC=∠FAC，利用ASA证明
△AOE≌△AOF，得到AE=AF，进而推出四边形AECF为菱形，则AO=2，EO=1，再利用勾股定理计算即可.
14．边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为　 　．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵2（a+b）=，
∴a+b=，
又∵ab=，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=.
故答案为：5.
【分析】根据矩形的周长及面积计算公式可得a+b=，ab=，然后将待求式子利用提取公因式法分解因式后整体代入计算可得答案.
15．如图，在四边形中，，，，若，，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：过点D作ED⊥CB于点E，如图所示：
∵，，
∴四边形DEBA为矩形，
∵，，
∴DA=EB=2，EC=1，
∵，
∴∠EDC=45°，
∴EC=DE=1，
由勾股定理得，
故答案为：
【分析】过点D作ED⊥CB于点E，先根据矩形的判定得到四边形DEBA为矩形，进而根据矩形的性质得到DA=EB=2，EC=1，再结合等腰三角形的性质性质得到EC=DE=1，最后运用勾股定理即可求解。
16．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形，记的面积为，四边形的面积为.若，则图中阴影部分的面积为　 　.

【答案】8
【解析】【解答】解：
连接GF， FH， HE， 如图所示：

依题意得
∵四边形ABCD为正方形，
，
即
在 和 中，
∴EH = HF，
同理： △AEH≌△DGE≌△CFG≌△BHF(SAS)
∴EH = EG = FG= HF，
∴四边形EHFG为菱形，
∴EG∥HF，
又∵EG∥CF，
∴C， F， H在同一条直线上，
∴∠HBC+∠BCH=∠HBC+ABH=∠ABC=90°，
∴∠BHC = 90°，
∴菱形EHFG为正方形，
∴EG =GF = FH = HE =4，
同理： A， E， G在同一条直线上，B，H，E在同一条直线上，D，G，F在同一条直线上，
设AE =x， 则DG=CF =x，
整理得：
解得： (不合题意，舍去) ，
故答案为： 8.
【分析】连接GF， FH， HE， 先证 和 中全等， 同理得 ，则 ， 由此得四边形EHFG为菱形， 再根据EG∥HF，EG∥CF得C， F， H在同一条直线上， 由此得则菱形EHFG为正方形，进而得同理得A， E， G在同一条直线上，B，H，E在同一条直线上， D，G，F在同一条直线上，设 则 则 再根据 求出 则 进而可得图中阴影部分的面积.
三、综合题
17．如图，在中，，，，和分别是斜边上的中线和高线，是的中点．
（1）求的长；
（2）证明：为等边三角形．
【答案】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∵是斜边上的中线，
∴．
（2）证明：∵是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
【解析】【分析】（1）先根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，再根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得到；
（2）先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，再运用等边三角形的判定与性质即可得到，进而结合题意运用等边三角形的判定即可求解。
18．如图，平行四边形的两条对角线相交于点O，
（1）求证：平行四边形是菱形；
（2）求菱形的面积．
【答案】（1）解：在△AOB中，，
∴，
∴△AOB是直角三角形，即∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
又∵四边形ABCD四平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据勾股定理的逆定理即可得到△AOB是直角三角形，即∠AOB=90°，再结合菱形的判定即可求解；
（2）根据菱形的性质结合题意即可求解。
19．如图，四边形的对角线，相交于点，其中，，，为上一点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，求的度数．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
．
，
，
平行四边形是矩形．
（2）解：平行四边形是矩形，
，，，
平分，
，
，
，
．
，，
，
是等边三角形，
，
．
，，
，
．
故答案为：．
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的判定与性质即可得到，再结合题意运用矩形的判定即可求解；
（2）先根据矩形的性质即可得到，，，再根据角平分线的性质即可得到，进而结合题意运用等边三角形的判定与性质即可得到，从而结合题意运用等腰三角形的性质即可求解。
20．如图，在中，，，点，分别是，的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点作于点，求证：．
【答案】（1）解：证明：∵在中，，，
∴；
又∵点D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴．
（2）证明：∵在中，，，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴．又，
∴，
∵是的中位线，，
∴，
∴在和中，有，，
∴，
即．
【解析】【分析】（1）先根据含30°角的直角三角形的性质即可得到，再根据三角形中位线定理即可得到，进而即可求解；
（2）先根据题意即可得到，进而根据等边三角形的判定与性质即可得到，从而结合题意运用三角形中位线定理即可得到，再根据直角三角形全等的判定即可求解。
21．如图， 平行四边形 的周长为36，BD=12，点是对角线AC、BD的交点，点是边的中点，点交的延长线于．
（1）求证：四边形OCFE是平行四边形；
（2）求△DOE的周长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
∴，
又点是边的中点，
∴，
又∵，
四边形OCFE是平行四边形．
（2）解：∵平行四边形的周长为36，BD=12，
∴，，
又点是边的中点，
∴，
∴，
∴△DOE的周长为15．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得OB=OD，则点O为BD的中点，结合E为CD的中点可得OE为△BCD的中位线，则OE∥BC，由已知条件可知EF∥AC，然后根据平行四边形的判定定理进行证明；
（2）根据平行四边形的性质结合题意可得BC+CD=18，OD=BD=6， 根据中位线的性质可得OE=BC，则OE+ED=(BC+CD)=9，据此不难求出△DOE的周长.
22．如图，在中，∠BAC的角平分线交BC于点D，．
（1）在AB上求作一点F，使得；（请保留尺规作图痕迹，不写作法）
（2）四边形AFDE是菱形吗？请说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，线段DF为所求作的线段
（2）解：四边形AFDE是菱形，理由如下：
∵，
∴四边形AFDE是平行四边形
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠EAD
∵
∴∠FAD＝∠EDA
∴∠EAD＝∠EDA
∴AE＝DE
又∵四边形AFDE是平行四边形
∴四边形AFDE是菱形
【解析】【分析】（1）作∠C=∠FDB，则DF∥AC；
（2）由题意可得四边形AFDE是平行四边形，根据角平分线的概念可得∠FAD＝∠EAD，根据平行线的性质可得∠FAD＝∠EDA，则∠EAD＝∠EDA，推出AE＝DE，然后根据菱形的判定定理进行解答.
23．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，于点E交AC于点P，于点F．
（1）判断四边形DEBF的形状，并说明理由；
（2）如果，，求出DP的长．
【答案】（1）解：四边形DEBF是矩形
理由：∵于E，于F，
∴，
∵四边形ABCD是菱形 ，
∴，
∴，
∴，
∴四边形DEBF是矩形；
（2）解：如图，连接PB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC垂直平分BD，
∴，
由（1）知，四边形DEBF是矩形，
∴，
设，则，
在Rt△PEB中，由勾股定理得：
，
即，，
解得，
∴．
【解析】【分析】（1）利用三个角是直角的四边形是矩形的判定方法求解即可；
（2）连接PB，根据矩形的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，再求出x的值即可。
24．如图，在中，，点为中点.过点作，交射线于点，连接，点为中点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）请你直接写出当满足什么条件时，四边形为菱形．
【答案】（1）证明：∵CE⊥BC，
∴△BCE是直角三角形，BE为斜边，
∵G点为BE中点，
∴，
∴CG=BG=GE，
∵AB=AC，AG=AG，
∴△AGB≌△AGC，
∴∠GAB=∠GAC，
∴AG平分∠BAC，
∴在等腰△ABC中有AG⊥BC，
∵CE⊥BC，
∴，
∴∠AGD=∠CED，∠GAD=∠ECD，
∵D点为AC中点，
∴AD=DC，
∴△AGD≌△CED，
∴AG=CE，
结合可知四边形AGCE是平行四边形；
（2）解：当△ABC时等边三角形时，四边形AECG是菱形，
【解析】【解答】解：(2)当△ABC时等边三角形时，四边形AECG是菱形，
证明：在（1）中已经证明四边形AGCE是平行四边形，
∵△ABC是等边三角形，D为AC中点，
∴BD⊥AC，
∴AC⊥GE，
∴平行四边形AGCE是菱形．
【分析】（1）利用三角形的全等判定方法证出△AGD≌△CED，可得AG=CE，再结合CE//AG，可得四边形AGCE是平行四边形；
（2）利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定方法求解即可。
25．如图，在矩形中，点E、点F分别是、的中点，连接，，，，与交于点G，与交于点H．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）请判断四边形的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：四边形为菱形；理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，分别是、的中点，
∴，，
∴，
∴四边形和四边形均为平行四边形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
在与中，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质求出 ，， 再根据线段的中点求出 ，， 最后证明求解即可；
（2）根据矩形的性质求出 ，，， 再求出 ， 最后利用菱形的判定方法证明即可。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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