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2025年中考数学必考知识点专题特训图形的性质
知识点练习
（适用四川地区）
一、选择题
1．如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，，则的最小值是（　　）
A．4 B．5 C．8 D．10
3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（　　）
A．将580000用科学记数法表示为：
B．在8，6，3，5，8，8这组数据中，中位数和众数都是8
C．甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差，乙组同学成绩的方差，则甲组同学的成绩较稳定
D．“五边形的内角和是”是必然事件
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．四边都是相等的四边形是矩形
B．菱形的对角线相等
C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
6．如图，为直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示（易拉罐的上下底面互相平行），用吸管吸易拉罐内的饮料时，若，则（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，，则的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，四边形内接于是的直径．若的半径为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在矩形中，点为矩形对角线的中点，点为上一点，点为射线上一点，若，，则的最小值为　（1） 　．
12．如图，在等腰中，，．以点为圆心，的长为半径作；再以为直径作，向该图形随机投掷飞镖，每次飞镖都落在图形上，则飞镖落在阴影部分的概率为　（1） 　（用含的代数式表示）．
13．如图，将绕点顺时针旋转，得到，且点的对应点恰好落在上，则的度数为　（1） 　度．
14．如图，在中，，过点C作，再分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别交，，于点D，O，E，连接，若，，则的长为　（1） 　．
15．如图，在中，，平分交于点D，E为上一点，．将沿折叠得到，交于点G．若，则　（1） 　．
16．如图，已知，，，则的值为　（1） 　．
17．如图，是的切线，A，B为切点，若，，则图中阴影部分的面积为　（1） 　．
18．如图，射线与函数图象相交于点，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线，交函数图象于点C，则点C的坐标是　 　．
19．如图，已知的对角线与相交于点，将沿着直线翻折，得到，连接．若，则的长为　 　．
三、计算题
20．已知平面直角坐标系中，点P（）和直线Ax＋By＋C＝0（其中A，B不全为0），则点P到直线Ax＋By＋C＝0的距离可用公式来计算．
例如：求点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离，因为直线y＝2x＋1可化为2x－y＋1＝0，其中A＝2，B＝－1，C＝1，所以点P（1，2）到直线y＝2x＋1的距离为：．
根据以上材料，解答下列问题：
求点M（0，3）到直线的距离；
在（1）的条件下，⊙M的半径r ＝ 4，判断⊙M与直线的位置关系，若相交，设其弦长为n，求n的值；若不相交，说明理由．
21．如图，直线、相交于点O，平分．
若，求的度数；
若，求的度数．
22．如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），于点，交于点，点在上，，的平分线交于点，连接并延长与的延长线交于点．
求证：；
点在边上运动时，探究的大小是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由；
若，当点运动到中点时，求的长．
23．如图①，一次函数的图像交反比例函数图像于点，，交轴于点，点为．
求反比例函数的解析式；
如图②，点为反比例函数在第一象限图像上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图像于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求的面积；
如图③，将一次函数的图像绕点顺时针旋转交反比例函数图像于点，，求点的坐标．
24．阅读材料：若，求m、n的值．
解： ，
，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
已知，求的值；
已知等腰的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长；
已知，，求的值．
四、证明题
25．如图，在中，，以边为直径的与交于点，点为弧的中点，直线，分别交，于点，．
求证：；
若，，求的长．
26．如图，在中，，E为上一点，作，与交于点，经过点A、E、F的与相切于点，连接．
求证：平分；
若，求及的长．
五、实践探究题
27．【探究发现】
（1）如图1，已知，，，在同一直线上，若，则，请证明；
【灵活运用】
（2）如图2，在中，，，点在边上，于点，连接．若，求的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，在四边形中，，，若，，求的长．
28．【基础巩固】（1）如图1，在正方形中，点E在的延长线上，连接，过点D作交的延长线于点F，求证：．
【尝试应用】（2）如图2，在菱形中，，点E在边上，点F在的延长线上，连接，以E为顶点作，交的延长线于点G，若，，，求的长．
【拓展提升】（3）如图3，在矩形中，点E在边上，点F在的延长线上，连接，过点C作，以E为顶点作，交于点G，若，，求的值（用含m，n的代数式表示）．
六、阅读理解题
29．阅读材料：若，求m、n的值．
解：，
，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
已知，求的值；
已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长；
已知，，求的值．
七、综合题
30．走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”．如图1是某杂技演员正在表演走钢丝，其示意图如图2，杂技演员所在位置点到所在直线的距离，此时，当杂技演员走至钢丝中点时，恰好．表演过程中绳子总长不变．（参考数据：）
求的长；
（2）求杂技演员从点走到点时，下降的高度（结果精确到）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；求正切值
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=10，
①在Rt△ADF中，tan∠ADF=，
令AF=3x，DF=4x，则（3x)2+(4x)2=102，
解得：x1=2，x2=-2(舍去)，
∴DE=AF=6，DF=8.
∴EF=8-6=2，故此结论正确；
②∵Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，
∴，
∵BG=AF=AG-FG，
∴（AG-FG）·AG=3FG2，
整理可得：6FG2+FG·AG-AG2=0，
则6+-1=0，
解得：=，即点F是AG的三等分点，故此结论正确；
③由旋转可知：∠AG D=∠AGB=90°，
∴点G 在以AD为直径的圆上.M为圆心，如图，
在Rt△ABM中，BM=，
当点B、M、G 共线时，BG 取得最大值，此时BG =+5，故此结论正确.
故答案为：D.
【分析】①根据∠ADF的正切值，并结合勾股定理可求得EF的值；
②根据Rt△ABG的面积和正方形EFGH的面积之间的关系可得关于的方程，解方程求出的值，于是可判断F是AG的三等分点；
③由题意易得点G 在以AD为直径的圆上，在Rt△ABM中，用勾股定理求出BM的值，然后根据当点B、M、G 共线时，BG 取得最大值可求解.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠ABF=90°，AD=AB，
又AE=BF，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE=∠BAF，
∵∠BAF+∠DAO=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAO=90°，
∴∠AOD=90°，
又∵点M是DF的中点，
∴
如图，在AB的延长线上截取BH=BG，连接FH，
∵∠FBG=∠FBH=90°，GB=HB，FB=FB，
∴△BFG≌△BFH（SAS），
∴FH=FG，
∴
当D、F、H三点在同一直线上时，DF+FH有最小值为DH，即有最小值，最小值为DH的一半，
∵AG=2GB，AB=6，
∴BH=BG=2，
∴AH=8，
在Rt△DAH中，由勾股定理得
∴的最小值为5.
故答案为：B.
【分析】由正方形的性质得∠DAE=∠ABF=90°，AD=AB，从而用SAS判断出△ADE≌△BAF，由全等三角形的对应角相等得∠ADE=∠BAF，进而根据角的构成、等量代换及三角形的内角和定理可得∠AOD=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得在AB延长线上取BH=BG，连接FH，由SAS证△BFG≌△BFH，得FH=FG，则，当D、F、H三点在同一直线上时，DF+FH有最小值为DH，即有最小值，最小值为DH的一半，进而在Rt△DAH中，由勾股定理算出DH的长此题得解.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
又∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
A、∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
A、∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，可判断A选项；又平行四边形对边平行得AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补及已知可推出∠B=∠C=90°，从而有一个角为直角的平行四边形是矩形，可判断B选项；由对角线相等得平行四边形是矩形可判断C选项；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断D选项.
4．【答案】D
【知识点】事件的分类；科学记数法表示大于10的数；中位数；方差；众数；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：A：，错误；
B：这组数据中，中位数是，众数是8，错误；
C：甲乙两组平均成绩相同，方差越小，则成绩越稳定，成绩稳定的应该是乙组同学成绩，错误；
D：五边形内角和是是必然事件，正确.
故答案为：D.
【分析】根据科学记数法，中位数和众数，方差，五边形内角和公式即可判断出正确答案.
5．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、四边都相等的四边形是菱形，故错误；
B、矩形的对角线相等，故错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，
故选D．
【分析】根据矩形的判定定理，菱形的性质，正方形的判定判断即可得到结论．
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
9．【答案】C
【知识点】菱形的性质
10．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
11．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
12．【答案】
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算；解直角三角形；几何概率
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
14．【答案】3
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
15．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
16．【答案】5
【知识点】三角形全等及其性质
17．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质；扇形面积的计算
18．【答案】
【知识点】勾股定理；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线
19．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
20．【答案】（1）3；（2）直线与圆相交，
【知识点】直线与圆的位置关系；归纳与类比
21．【答案】（1）70°
（2）18°
【知识点】角的运算；角平分线的性质；对顶角及其性质
22．【答案】（1）证明见解答过程
（2）的大小不会变化，
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质
23．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题
24．【答案】（1）
（2）的周长为7
（3）
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系
25．【答案】（1）证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
由（1）得：，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理，可得，然后推理得到，，根据两角对应相等的两三角形相似解答；
（2）连接，即可得到，，然后证明，，即可得到，，然后根据正切的定义解答即可．
（1）证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
由（1）得：，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
．
26．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质得，从而推出，然后根据垂径定理得，进而根据圆周角定理得，即可得证结论；
（2）连接，根据平行线性质、圆周角定理得到、，从而得，进而证出，得，于是得到，，接下来根据相似三角形的判定推出，得，即可求出，，．
（1）证明：连接，
∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴．
27．【答案】（1）证明：，，，
，
，，，
，
．
（2）解：过点作的延长线于点，
则，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，即
，解得，
，
，，
，
．
（3）解：在上取点，使，过点作的延长线于点，如图，
则，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，，
在中，，即，
解得（负值已舍去），
，，，
在中，．
【知识点】三角形的外角性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似解答即可；
（2）过点作的延长线于点，即可得到，，然后根据对应边成比例得到，设，可求得，然后代入计算解题；
（3）在上取点，使，过点作的延长线于点，可得，根据对应边成比例得到，，然后利用30度的直角三角形的特征得到，即可得到，设，然后在中利用勾股定理表示在中求出EF的长即可解题．
28．【答案】解：（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）
（2）作交于点，交于点，如图，
∵，
又
∴
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∵
∴
∴是等边三角形，
∴
∴
∵
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴
又∵，，
∴
∴
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设与交于点，延长交的延长线于，作于，如图，
∵，，
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
∴
∵
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；四边形的综合
29．【答案】（1）解：，
，
，
，，解得：，；则；
（2）解：，
，
，则，，解得：，，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
的周长为1+3+3=7；
（3）解：，，则，
，
，则，，解得，，，．
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解﹣公式法；三角形三边关系；偶次方的非负性
【解析】【分析】（1）先根据题意结合完全平分公式得到，再根据非负性即可求解；
（2）先根据题意因式分解，进而即可求出a，b，再根据三角形三边关系结合题意即可求解；
（3）先根据题意得到，再代入结合完全平方公式得到，从而运用非负性即可求出x，y，z，进而即可求解。
30．【答案】（1）
（2）
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：74分
分值分布 客观题（占比） 20.0(27.0%)
主观题（占比） 54.0(73.0%)
题量分布 客观题（占比） 10(33.3%)
主观题（占比） 20(66.7%)
2、试卷题量分布分析
大题题型 题目量（占比） 分值（占比）
选择题 10(33.3%) 20.0(27.0%)
填空题 9(30.0%) 39.0(52.7%)
证明题 2(6.7%) 0.0(0.0%)
实践探究题 2(6.7%) 10.0(13.5%)
阅读理解题 1(3.3%) 0.0(0.0%)
计算题 5(16.7%) 5.0(6.8%)
综合题 1(3.3%) 0.0(0.0%)
3、试卷难度结构分析
序号 难易度 占比
1 普通 (53.3%)
2 容易 (23.3%)
3 困难 (23.3%)
4、试卷知识点分析
序号 知识点（认知水平） 分值（占比） 对应题号
1 直线与圆的位置关系 5.0(6.8%) 20
2 圆内接四边形的性质 2.0(2.7%) 10
3 三角形全等的判定-SAS 7.0(9.5%) 2,11,25
4 相似三角形的判定-AA 5.0(6.8%) 25,27
5 归纳与类比 5.0(6.8%) 20
6 解直角三角形 17.0(23.0%) 11,12,15,18
7 几何概率 5.0(6.8%) 12
8 完全平方公式及运用 0.0(0.0%) 24,29
9 角平分线的性质 0.0(0.0%) 21
10 三角形全等的判定-AAS 0.0(0.0%) 25
11 三角形的外角性质 5.0(6.8%) 27
12 切线的性质 5.0(6.8%) 17
13 平行四边形的性质 4.0(5.4%) 3,19
14 翻折变换（折叠问题） 7.0(9.5%) 15,19
15 中位数 2.0(2.7%) 4
16 等边三角形的判定与性质 2.0(2.7%) 19
17 矩形的判定 2.0(2.7%) 3
18 反比例函数与一次函数的交点问题 0.0(0.0%) 23
19 解直角三角形—边角关系 0.0(0.0%) 25
20 平行线的性质 2.0(2.7%) 7
21 菱形的判定 2.0(2.7%) 3
22 旋转的性质 7.0(9.5%) 1,13
23 众数 2.0(2.7%) 4
24 直角三角形斜边上的中线 2.0(2.7%) 2
25 扇形面积的计算 10.0(13.5%) 12,17
26 尺规作图-垂直平分线 7.0(9.5%) 8,14
27 三角形全等及其性质 5.0(6.8%) 16,22,23
28 科学记数法表示大于10的数 2.0(2.7%) 4
29 弧长的计算 2.0(2.7%) 10
30 含30°角的直角三角形 5.0(6.8%) 27
31 菱形的性质 2.0(2.7%) 9
32 矩形的性质 5.0(6.8%) 11
33 三角形内角和定理 5.0(6.8%) 13
34 解直角三角形的其他实际应用 0.0(0.0%) 30
35 角的运算 0.0(0.0%) 21
36 圆与三角形的综合 0.0(0.0%) 26
37 等腰三角形的性质 5.0(6.8%) 13
38 多边形内角与外角 5.0(6.8%) 17
39 对顶角及其性质 2.0(2.7%) 7,21
40 矩形的判定与性质 5.0(6.8%) 28
41 垂径定理 5.0(6.8%) 12
42 方差 2.0(2.7%) 4
43 真命题与假命题 2.0(2.7%) 5
44 一元二次方程的应用-几何问题 0.0(0.0%) 23
45 圆周角定理 4.0(5.4%) 6,10,25
46 相似三角形的判定与性质 5.0(6.8%) 15,22
47 四边形的综合 5.0(6.8%) 28
48 线段垂直平分线的性质 7.0(9.5%) 8,14
49 求正切值 2.0(2.7%) 1
50 勾股定理 28.0(37.8%) 1,2,8,11,14,15,18,22,27,30
51 等腰三角形的判定与性质 0.0(0.0%) 23
52 偶次方的非负性 0.0(0.0%) 29
53 正方形的性质 9.0(12.2%) 1,2,22,28
54 事件的分类 2.0(2.7%) 4
55 因式分解﹣公式法 0.0(0.0%) 29
56 平行四边形的判定与性质 5.0(6.8%) 28
57 相似三角形的性质-对应边 5.0(6.8%) 27
58 尺规作图-作角的平分线 2.0(2.7%) 18
59 三角形三边关系 0.0(0.0%) 24,29
60 多边形的内角和公式 2.0(2.7%) 4
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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