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第四章 三角形 单元模拟演练卷
一、单选题
1．下列图形不具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
2．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
3．如图，E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF//AB，过点E作直线DF交AB于D，交CF于F，若AB＝9，CF＝6.5，则BD的长为（　　）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】C
【解析】【解答】证明：∵CF//AB，
∴∠1＝∠F，∠2＝∠A，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝EC，
在△ADE和△CFE中
，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF＝6.5，
∵AB＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣6.5＝2.5.
故答案为：C.
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出∠1＝∠F，∠2＝∠A，再利用AAS证出△ADE≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等得出AD＝CF＝6.5，再利用BD＝AB﹣AD，即可求出BD的长.
4．如图，在△ABC和△DCB中，∠ABC=∠DCB，要使△ABC≌△DCB，还需添加一个条件，这个条件不能是（　　）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AB=DC D．AC=DB
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意∠ABC=∠DCB，BC=CB
∴A. ∠A=∠D，可用AAS定理判定△ABC≌△DCB
B. ∠ACB=∠DBC，可用ASA定理判定△ABC≌△DCB
C. AB=DC，可用SAS定理判定△ABC≌△DCB
D. AC=DB，不一定能够判定两个三角形全等
故答案为：D
【分析】已知 ∠ABC=∠DCB， BC=CB，根据全等三角形的判定SAS、AAS、ASA逐一判断即可.
5．已知：如图，分别在上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
6．右上图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中的（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】D
【解析】【解答】解：∵△MNP≌△MEQ
∴NP=EQ
设小格的边长为1，即可得到NP的长度为=
∴NP=EQ=。
根据题意可知，ED=EQ=。
故答案为：D。
【分析】根据三角形全等的性质，全等三角形的对应边相等，即可进行判断得到答案。
7．如图，已知，那么下列结论中，不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
8．如图，和中，，，添加下列哪一个条件无法证明（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、可以求出，符合“” 能证明，故A选项不符合题意；
B、时符合“”能证明；故B选项不符合题意；
C、是“”，不能证明，故C选项符合题意；
D、由可得，符合“”，能证明，故D选项不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质及全等三角形判定定理逐项进判断即可求出答案.
9．如图四个三角形中，能构成全等三角形的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】C
【解析】【解答】根据题中图形可知，①③的边长和角度完全相同，因此它们是全等的；
②和④对应角相等，但对应边不相等，因此这两个三角形不全等；
①和②对应角相等，但对应边不相等，因此这两个三角形不全等；
③和④对应角相等，但对应边不相等，因此这两个三角形不全等.
故答案为：C.
【分析】根据三角形三内角的和等于180度求出每一个三角形中第三个角的度数，观察每个三角形的边长和角度并结合全等三角形的判定定理“角边角、角角边”来判断它们是否全等，即可求解.
10．如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（　　）
A．7 B． C．8 D．9
【答案】C
【解析】【解答】解：延长BE交AC于H，
∵AE平分∠BAC，
∴∠HAE＝∠BAE，
∵∠AEB＝90°，
∴∠AEB＝∠AEH=90°，
在△HAE和△BAE中，
，
∴△HAE≌△BAE（ASA）
∴AH＝AB＝6，HE＝BE，
∵HE＝BE，AD＝DB，
∴DF AC，
∵HE＝BE，
∴HC＝2EF＝2，
∴AC＝AH＋HC＝8，
故答案为：C．
【分析】延长BE交AC于H，证明△HAE≌△BAE（ASA），根据全等三角形的性质求出AH，根据三角形中位线定理解答即可。
二、填空题
11．已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|=　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵三角形的三边长分别是3、x、9，
∴6＜x＜12，
∴x﹣5＞0，x﹣13＜0，
∴|x﹣5|+|x﹣13|=x﹣5+13﹣x=8，
故答案为：8．
【分析】首先确定第三边的取值范围，从而确定x﹣5和x﹣13的值，然后去绝对值符号求解即可．
12．在△ABC中，∠A=∠C= ∠B，则∠A=　 　度．
【答案】36
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠C= ∠B，
∴ ∠B+∠B+ ∠B=180°，解得：∠B=108°，
∴∠A= ×108°=36°．
故答案为：36．
【分析】根据三角形的内角和定理和已知条件可得关于∠B的方程，解方程即可求出∠B，进一步即可求出结果．
13．如图，的两条高、相交于点请添加一个条件，使得（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是　 　．
【答案】BE=AD（答案不唯一）
【解析】【解答】解：若添加BE=AD，
∵、是得两条高，
∴，
在和中，
，
∴，
添加的条件可以是BE=AD．
故答案为：BE=AD.
【分析】由于题干中给出了∠ADB=∠BEA=90°，AB=BA，要判断△ABE≌△BAD，如果用HL，可以添加BE=AD或AE=BD，如果利用AAS可以添加∠EAB=∠DBA或∠ABE=∠BAD或AF=BF.
14．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN＝　 　．
【答案】2m
【解析】【解答】作AE⊥OM，BF⊥OM，
∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°
∴∠AOE＝∠OBF
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△OBF（AAS），
∴OE＝BF，AE＝OF
即OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（m）
∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7（m），
∴2EO+EF＝17，
则2×EO＝10，
所以OE＝5m，OF＝12m，
所以OM＝OF+FM＝15m
又因为由勾股定理得ON＝OA＝13，
所以MN＝15﹣13＝2（m）．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米．
故答案是：2m．
【分析】首先得出△AOE≌△OBF（AAS），进而得出CD的长，进而求出OM，MN的长即可．
15．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的　 　 性．
【答案】稳定
【解析】【解答】解：三角形的支架很牢固，这是利用了三角形的稳定性，故答案为：稳定．
【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．
16．如图，的面积是15，，O是边上任意一点（不与点B、C重合），于点D，于点E，设，则代数式的值是　 　．
【答案】5
三、综合题
17．如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF.
求证：
（1）AF＝DE；
（2）AF∥DE.
【答案】（1）证明：如图，AB∥CD，
∴∠B=∠C.
∵BE=CF，
∴BE-EF=CF-EF，
即BF=CE，
在△ABF和△DCE中
AB=DC
∠B=∠C
BF=CE
∴△ABF≌△DCE（SAS）
∴AF=DE
（2）证明：∵△ABF≌△DCE
∴ ∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE.
【解析】【分析】（1）由题意根据平行线的性质可得∠B=∠C，由线段的构成可得BF=CE，用边角边可证△ABF≌△DCE，然后由全等三角形的性质可求解；
（2）由（1）中的全等三角形可得∠AFB＝∠DEC，根据等角的补角相等可得∠AFE＝∠DEF，由平行线的判定可求解．
18．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC，∠ACB=90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合。
（1）
求证：△ADC≌△CEB；
（2）
求两堵木墙之间的距离。
【答案】（1） 证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC在△ADC和△CEB中 ，
∴△ADC≌△CEB（AAS）
（2） 解：由题意得：AD＝2×3＝6cm，BE＝7×2＝14cm，
∵△ADC≌△CEB，
∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm.
【解析】【分析】(1) 同角或等角的余角相等可推到出 ∠DAC = ∠BCE ，再利用全等三角形的判定定理AAS证明出 △ADC≌△CEB ；
(2)由(1)的△ADC≌△CEB 可知 EC＝AD ， DC＝BE ，根据题意可以得出AD=6，BE=14，继而求出DE=DC+CE=BE+AD=14+6=20.
19．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
求证：
（1）△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
【答案】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD
即∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）
（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠E．
∵∠DAE=90°，
∴∠E+∠ADE=90°．
∴∠ADB+∠ADE=90°．
即∠BDE=90°．
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE
【解析】【分析】要证（1）△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE=90°，需证∠ADB+∠ADE=90°可由直角三角形提供．
20．已知：如图，△ABC．
（1）求作：△DEF，使△DEF≌△ABC（要求：在指定区域尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）根据作图过程写出△DEF≌△ABC的依据：　 　．
【答案】（1）解：作直线EF，以E为圆心，BC为半径画弧交EF于点F点，再分别以E、F为圆心，以AB、AC为半径画弧，两弧交于点D，连接ED、DF，则△DEF即为所求，（方法不唯一）作图如下：
（2）SSS
【解析】【解答】解：（2）∵EF=BC，DF=AC，AB=DE，
∴根据SSS有：△DEF≌△ABC，
即依据为：SSS．
【分析】（1）分别作出三边等于已知三角形的三边即可；
（2）根据三边对应相等的两个三角形全等进行解答.
21．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）证明：△BCE≌△CAD；
（2）若AD=15cm，BE=8cm，求DE的长．
【答案】（1）∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在△CAD和△BCE中，
∵ ，
∴△CAD≌△BCE
（2）∵△CAD≌△BCE，
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE=15﹣8=7(cm)
【解析】【分析】（1）根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据同角的余角相等得出∠ACD=∠CBE，根据AAS证明△CAD≌△BCE；（2）根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BE=CD，利用DE=CE﹣CD，即可得出结论．
22．如图，△ABC中，AB＝AC，D在AB上，又在AC的中垂线上，点E在CD的延长线上，点F在AC上，AF＝CE.
（1）
求证：△ABF≌△CAE.
（2）若CD平分∠ACB，求∠EAD+∠FBC的度数.
【答案】（1）证明：∵点D在AC的中垂线上，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，且AF＝CE，AB＝AC，
∴△ABF≌△CAE（SAS）
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠DAC，
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠ACD＝2∠BAC，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°，
∵△ABF≌△CAE，
∴∠ABF＝∠EAC＝∠DAE+36°，
∵∠BAC+∠ACB+∠ABF+∠CBF＝180°，
∴36°+72°+∠DAE+36°+∠CBF＝180°，
∴∠EAD+∠FBC＝36°.
【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ABF≌△CAE；（2）由三角形内角和定理可求∠BAC＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°，由全等三角形的性质和三角形内角和定理可求解..
23．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于E．
（1）说明△ACD≌△BCF的理由；
（2）BE与AD的长度关系是　 　，请说明理由．
【答案】（1）证明：如图所示，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF=90°．
在 和 中，
（2）解：BE与AD之间的数量关系是 理由如下： ∵AD平分∠BAC， 在 和 中， ∴AD=BF.
【解析】【分析】（1）由，证得，通过ASA即可证得△ACD≌△BCF；
（2）由（1）得出再证出，可知即可。
24．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AB=CD
（2）解：∵△ABE≌△CDF，
∴AB=CD，BE=CF，
∵AB=CF，∠B=30°，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D=
【解析】【分析】（1）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD；（2）易证得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可证得△ABE是等腰三角形，解答即可．
25．在 Rt 中， ， ，点 为射线 上一点，连接 ，过点 作线段 的垂线 ，在直线 上，分别在点 的两侧截取与线段 相等的线段 和 ，连接 ， ．
（1）当点 在线段 上时（点 不与点 ， 重合），如图1，
①请你将图形补充完整；
（2）当点 在线段 的延长线上时，如图2，
①请你将图形补充完整；
②在（1）中②问的结论是否仍然成立 如果成立请进行证明，如果不成立，请说明理由．
【答案】（1）解：①见图1所示．
②线段 ， 所在直线的位置关系为 ，线段 ， 的数量关系为 ；
垂直|相等
（2）解：①见图2所示．
②成立．理由如下：
证明：∵CD⊥EF，
∴∠DCF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，
即∠ACD=∠BCF，
∵BC=AC，CD=CF，
∴△ACD≌△BCF，
∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，
即BF⊥AD．
【解析】【解答】（1）②证明：∵CD⊥EF，
∴∠DCF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DCF，
∴∠ACD=∠BCF
∵BC=AC，CD=CF，
∴△ACD≌△BCF，
∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，
∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，
即BF⊥AD．
故答案为：垂直、相等．
【分析】（1）①D在线段AB上时，在直线l上截取CE=CF=CD，即可画出图象．②在图1中证明△ACD≌△BCF得到AD=BF，∠BAC=∠FBC，利用∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．（2）①D在线段AB延长线上时，在直线l上截取CE=CF=CD，即可画出图象．②在图2中证明△ACD≌△BCF得到AD=BF，∠BAC=∠FBC，利用∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD．
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第四章 三角形 单元模拟演练卷
一、单选题
1．下列图形不具有稳定性的是（　　）
A． B．
C． D．
2．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF//AB，过点E作直线DF交AB于D，交CF于F，若AB＝9，CF＝6.5，则BD的长为（　　）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
4．如图，在△ABC和△DCB中，∠ABC=∠DCB，要使△ABC≌△DCB，还需添加一个条件，这个条件不能是（　　）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AB=DC D．AC=DB
5．已知：如图，分别在上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．右上图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中的（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
7．如图，已知，那么下列结论中，不正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，和中，，，添加下列哪一个条件无法证明（　　）
A． B． C． D．
9．如图四个三角形中，能构成全等三角形的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
10．如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（　　）
A．7 B． C．8 D．9
二、填空题
11．已知三角形的三边长分别是3、x、9，则化简|x﹣5|+|x﹣13|=　 　．
12．在△ABC中，∠A=∠C= ∠B，则∠A=　 　度．
13．如图，的两条高、相交于点请添加一个条件，使得（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是　 　．
14．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN＝　 　．
15．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的　 　 性．
16．如图，的面积是15，，O是边上任意一点（不与点B、C重合），于点D，于点E，设，则代数式的值是　 　．
三、综合题
17．如图，AB∥CD，AB＝CD，点E，F在BC上，且BE＝CF.
求证：
（1）AF＝DE；
（2）AF∥DE.
18．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC，∠ACB=90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合。
（1）
求证：△ADC≌△CEB；
（2）
求两堵木墙之间的距离。
19．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
求证：
（1）△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
20．已知：如图，△ABC．
（1）求作：△DEF，使△DEF≌△ABC（要求：在指定区域尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）根据作图过程写出△DEF≌△ABC的依据：　 　．
21．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）证明：△BCE≌△CAD；
（2）若AD=15cm，BE=8cm，求DE的长．
22．如图，△ABC中，AB＝AC，D在AB上，又在AC的中垂线上，点E在CD的延长线上，点F在AC上，AF＝CE.
（1）
求证：△ABF≌△CAE.
（2）若CD平分∠ACB，求∠EAD+∠FBC的度数.
23．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于E．
（1）说明△ACD≌△BCF的理由；
（2）BE与AD的长度关系是　 　，请说明理由．
24．如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD．
（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．
25．在 Rt 中， ， ，点 为射线 上一点，连接 ，过点 作线段 的垂线 ，在直线 上，分别在点 的两侧截取与线段 相等的线段 和 ，连接 ， ．
（1）当点 在线段 上时（点 不与点 ， 重合），如图1，
①请你将图形补充完整；
（2）当点 在线段 的延长线上时，如图2，
①请你将图形补充完整；
②在（1）中②问的结论是否仍然成立 如果成立请进行证明，如果不成立，请说明理由．
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