资源简介

2024-2025 学年天津市滨海新区大港一中高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | 2 < < 2}， = { || 1| < 2}，则 ∩ =( )
A. { | 2 < < 3} B. { | 2 < ≤ 1} C. { | 1 < < 2} D. { | 2 < < 2}
2.“ = 2”是“ 7 = 2 27 ”的( )条件．
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要
3.若 < < 0，则下列不等式成立的是( )
A. 1 < 1 B. <
2 C. 1 >
1
D.
2 >
4.观察下列散点图，关于两个变量 ， 的相关关系推断正确的是( )
A. (1)为正相关，(2)不相关，(3)负相关 B. (1)为正相关，(2)负相关，(3)不相关
C. (1)为负相关，(2)不相关，(3)正相关 D. (1)为负相关，(2)正相关，(3)不相关
5.下列关于回归分析的说法中错误的是( )

A.回归直线一定过样本中心( , )
B.残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适
C.甲、乙两个模型的 2分别约为 0.98 和 0.80，则模型乙的拟合效果更好
D.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好
6.为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，运用 2 × 2 列联表进行检验，经计算 2 = 8.069，
参考下表，则认为“性别与喜欢数学有关”犯错误的概率不超过( )
( 2 0)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
A. 0.1% B. 1% C. 99% D. 99.9%
7.已知随机变量 ～ (2, 2)( > 0)，若 ( < 4) = 0.7，则 ( < 0) =( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7
第 1页，共 7页
8 1.已知 ( ) = 3，则 ′( ) =( )
A. 3 4 B.
3 1 1
4 C. 4 D. 4
9.已知函数 ( ) = 2 ′(1)，则曲线 = ( )在点(3, (3))处的切线方程为( )
A. 5 9 = 0 B. 5 + 9 = 0 C. 4 + 8 = 0 D. 4 8 = 0
10.函数 ( ) = 3 + 3 在区间( 2 12, )上有最小值，则实数 的取值范围是( )
A. ( 1, 11) B. ( 1,2) C. ( 1,2] D. (1,4)
11.设函数 ′( )是定义在(0, )上的函数 ( )的导函数，有 ′( ) ( ) > 0 1 ，若 = 2 ( 3 )， = 0，
= 32 (
5
6 )，则 ， ， 的大小关系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
212 > 0 ( ) = ( 2) + , > 0.已知 ，若函数 ln( + 1) , < 0 没有零点，则实数 的取值范围是( )
A. ( , + ∞) B. (1, ) C. (0,1) D. (1, + ∞)
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
13.命题 ： ∈ [ 1,1]， 2 1 < 0 的否定是______．
14.在(2 )6的展开式中，常数项为______. (用数字作答)
15.已知某种商品的广告费支出 (单位：万元)与销售额 (单位：万元)之间有如下表对应数据：
1 3 4 5 7
15 20 30 40 45

根据表中数据得到 关于 的经验回归方程为 = 5.5 + ，则当 = 7 时，残差为______. (残差=观测值 预
测值)
16.新冠肺炎侵袭，某医院派出 5 名医生支援 、 、 三个国家，派往每个国家至少一名医生，共有______
种安排方式：若甲，乙不去同一个国家，共有______种安排方式．
17.甲箱中有 3 个黑球，2 个蓝球和 3 个红球，乙箱中有 4 个黑球，2 个蓝球和 2 个红球(除颜色外，球的
大小、形状、质地完全相同).先从甲箱中随机取出 1 球放入乙箱，再从乙箱中随机取出 1 球.分别以 1， 2，
3表示由甲箱取出的球是黑球，蓝球和红球的事件，以 表示从乙箱取出的球是红球的事件，则
( | 1) = ， ( ) = ．
18.若 > 0， > 0 1 2，且 2 + = 1，则 的最大值为______， 2 + 的最小值是______．
三、解答题：本题共 4 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第 2页，共 7页
19.(本小题 15 分)
某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一
1
瓶”字样即为中奖，中奖概率为6 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
(Ⅱ)求中奖人数 的分布列及数学期望 ．
20.(本小题 15 分)
一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的数字是 1，3 张卡片上的数字是 2，2 张卡片上
的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片．
(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；
(2) 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 的分布列与数学期望．
(注：若三个数 ， ， 满足 ≤ ≤ ，则称 为这三个数的中位数)
21.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( ) = 2
2 + (1 ) + ( 2) ，其中 ∈ ．
(1)若 = 1，求函数 ( )的极值；
(2)讨论函数 ( )的单调性．
22.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + ( 1) 2，其中( ∈ )．
(1)当 = 0 时，求 ( )在(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( )存在唯一极值点，且极值为 0，求 的值；
(3)讨论 ( )在区间[1, ]上的零点个数．
第 3页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. ∈ [ 1,1]， 2 1 ≥ 0
14.64
15. 1.5
16.150 114
17.2 199； 72
18.18 12
19.解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 、 、 ，那么
( ) = ( ) = ( ) = 16，
( ) = ( ) ( ) ( ) = 16 (
5 )2 = 256 216，
25
答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为216．
(2) 的可能值为 0，1，2，3，
1 5
( = ) = 3(6 )
( 3 6 ) ( = 0,1,2,3)
所以中奖人数 的分布列为
第 4页，共 7页
0 1 2 3
125 25 5 1
216 72 72 216
= 0 ×
125 + 1 × 25216 72 + 2 ×
5
72 + 3 ×
1 1
216 = 2．
20.解：(Ⅰ)由古典概型的概率计算公式得所求概率为
=
3 3
4+ 3
3 =
5
9 84
，
(Ⅱ)由题意知 的所有可能取值为 1，2，3，且
2 1 3
( = 1) = 4 5+ 4 = 17
3
，
9 42
1 1 1 2 1 3
( = 2) = 3 4 2+ 3 6+ 3 = 43，
39 84
2 1
( = 3) = 2 7 1
3
= 12，9
所以 的分布列为：
1 2 3
17 43 1
42 84 12
17
所以 ( ) = 1 × 42 + 2 ×
43 1 47
84 + 3 × 12 = 28．
21.解：(1)当 = 1 时，则 ( ) = 12
2 ， ∈ (0, + ∞)，
′( ) = 1 ( +1)( 1) = ，
令 ′( ) = 0， = 1，
所以在(0,1)上 ′( ) < 0， ( )单调递减，
在(1, + ∞)上 ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) 1不存在极大值，存在极小值，且极小值为 (1) = 2．
(2) ( ) = + 1 + 2 = ( +2)( 1)′ ， ∈ (0, + ∞)，
若 2 ≤ 0，即 ≤ 2，则令 ′( ) = 0，则 = 1，
所以在(0,1)上， ′( ) < 0， ( )单调递减，
在(1, + ∞)上， ′( ) > 0， ( )单调递增，
若 0 < 2 < 1，即 2 < < 3，则令 ′( ) = 0，得 = 1 或 = 2，
所以在(0, 2)上 ′( ) > 0， ( )单调递增，
第 5页，共 7页
在( 2,1)上 ′( ) < 0， ( )单调递减，
在(1, + ∞)上 ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( )极大值 = ( 2)， ( )极小值 = (1)
2
若 = 3 时，在(0, + ∞) ( 1)时， ′( ) = ≥ 0，当且仅当 = 1 时，等号成立，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
若 2 > 1，即 > 3 时，令 ′( ) = 0，得 = 1 或 = 2，
所以在(0,1)上 ′( ) > 0， ( )单调递增，
在(1, 2)上 ′( ) < 0， ( )单调递减，
在( 2, + ∞)上 ′( ) > 0， ( )单调递增，
综上所述，当 ≤ 2 时， ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
当 2 < < 3 时， ( )在(0, 2)，(1, + ∞)上单调递增，在( 2,1)上单调递减，
当 = 3 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 > 3 时， ( )在区间(0,1)，( 2, + ∞)上单调递增，在(1, 2)上单调递减．
22.解：(1) 由题意函数 ( ) = + ( 1) 2，其中( ∈ )，
当 = 0 时， ( ) = + 2，则 (1) = 1 + 0 2 = 1，
1
因为 ′( ) = 1 + ，所以 ′(1) = 2，
所以 ( )在(1, (1))处的切线方程为 ( 1) = 2( 1)，
整理得 = 2 3；
(2) ( ) = + ( 1) 2，定义域为(0, + ∞)，
( ) = 1 1 = ( +1)( )所以 ′ 2 2 ( > 0)，
①若 ≤ 0，则当 ∈ (0, + ∞)时， ′( ) > 0 恒成立，
故 ( )在(0, + ∞)单调递增，与 ( )存在极值点矛盾；
②若 > 0 时，则由 ′( ) = 0 解得 = ，
所以当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增， ∈ (0, )时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
所以 ( )存在唯一极小值点 = ，
所以 ( ) = + 1 ( 1) 2 = ( 1)(1 ) = 0，
解得 = 1 或 = ；
第 6页，共 7页
(3)由题意可得 ′( ) = 1 1 2 =
( +1)( )
2 ( > 0)，
① ≤ 1 时， ′( ) ≥ 0 在[1, ]上恒成立，故 ( )在[1, ]上单调递增，

因为 (1) = 1 ≤ 0， ( ) = + 1 = ( 1)(1 ) > 0，
所以由零点存在性定理可得 ( )在[1, ]上有 1 个零点；
②当 1 < < 时，当 ∈ ( , ]时， ′( ) > 0， ∈ [1, )时， ′( ) < 0，
所以 ( )在( , ]上单调递增，在[1, )上单调递减，
所以 ( ) = ( ) = ( 1)(1 ) > 0，此时 ( )在[1, ]上无零点；
③当 ≥ 时， ′( ) ≤ 0 在[1, ]上恒成立，故 ( )在[1, ]上单调递减，
因为 (1) = 1 > 0， ( ) = ( 1)(1 ) ≤ 0，
所以 ( )在[1, ]上有 1 个零点；
综上：当 1 < < 时， ( )在[1, ]上无零点，
当 ≤ 1 或 ≥ 时， ( )在[1, ]上有 1 个零点．
第 7页，共 7页

展开更多......

收起↑