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2024-2025 学年黑龙江省哈尔滨九中高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列{ }中， 3 + 4 = 12，则 6 =( )
A. 36 B. 24 C. 17 D. 16
2 = +1.函数 的单调增区间为( )
A. ( ∞,1) B. (0,1) C. (1, ) D. (1, + ∞)
3.用 1、2、3、4 这四个数字，组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数是( )
A. 48 B. 24 C. 12 D. 6
4.若数列{ }的前 项和为 ，且 +1 + = 2 ，则 8 =( )
A. 84 B. 86 C. 170 D. 172
5.若 4 名学生报名参加数学，计算机、航模兴趣小组．每人选报 1 项．则不同的报名方式有( )
A. 34种 B. 43种 C. 3 × 2 × 1 种 D. 4 × 3 × 2 种
6.函数 ( ) = ( 2 2 ) 的图像大致是( )
A. B. C. D.
7.已知 ( )定义域为 ， ′( )是 ( )的导函数， (1) = 0，对任意的 那有 ′( ) 2 ( ) > 0，则不等式
( )
2 > 0 的解集为( )
A. (1, + ∞) B. ( ∞,1) C. ( ∞,0) D. (0, + ∞)
8.已知 > 0，不等式 ≥ 恒成立，则实数 的取值范围为( )
A. [1, ] B. (0, 1 ] C. (0, ] D. ( 1 , 1]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式成立的是( )
A. 1 1 ≤ ( > 0) B. 1 ≥ ( > 0)
C. < + 1 D. < (0 < < )
10.数列{ }满足 +1 = 4 4，下列说法正确的是( )
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A. { }
1
可能为常数列 B.数列{ 2 }是等差数列
C.若 = 3，则10 11 =1 2 =
65
2 D.数列{
1

}可能为公差不为 0 的等差数列

11 .已知函数 ( ) = + 有唯一的极值点 ，则 ( )的值可以是( )
A. 1 2 2 1 B. C. 2 D. +
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.一种专门占据内存的计算机病用开机时占据内存 1 ，然后每 3 秒自身复制一次，复制后所占内存是
原来的 2 倍，那么开机______秒，该病毒占据内存 1 . (1 = 210 )
13.已知函数 ( ) = 2 在[ , 6 2 ]上单调递增，则实数 的取值范围是______．
14.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的
太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一
2 1 , 为奇数
项起依次为 0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列{ 2 }的通项公式为 = 2 ，
2 , 为偶数
若 = ( 1) ，则数列{ }的前 30 项和为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知等差数列{ }满足： 1 = 2，且 1， 2， 4成等比数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若等差数列{ }的公差不为零，且数列{ }满足：
1 1 1
= 2 1，记数列{ }的前 项和为 ，求证：3 ≤ < 2
．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 2 2 + 1．
(1)当 = 2 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)讨论 ( )的单调性．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( 1) 1 22 ．
(Ⅰ)当 = 2 时，求 ( )的极大值；
(Ⅱ)若 ( )在(0, + ∞)有最小值，且最小值大于 ，求 的取值范围．
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18.(本小题 17 分)
已知数列{ }满足 1 = 2， +1 +1 = 2 + 3 2 ．
(1) { 证明：数列 2 }为等差数列；
(2) = ( +1) 设 3 2 ，记数列{ }的前 项和为 ．
( )求 ；
( )若 ∈ ， < 3 +1成立，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
对于数列{ }，若存在实数 ，使得数列{ }为运减数列，则称数列{ }为” 接近数列”？.例如，设
1
一个只有 4 项的数列{ }的项分别是 1 = ， 2 = 2， 3 = 1， 4 = 2，那么{ }我是一个“0 接近数
列”，但这个数列却不是“ 1 接近数列”．
(1) 3若数列{ }满足 1 = 4， 1 + 2 2 + 3 3 + … + = 4 3

， ∈ ，其中 为{ }的前 项和，求
并判断数列{ }是否为“严接近数列”，若是请写出 的一个可能取值；
(2)若数列{ }满足 1 = 0， +1 + + 1 = 0， ∈ ， ∈ ，试回答下列问题：
.求证： = 2 时，{ }不是“ 接近数列”；
.当 0 < < 1 时，判断{ }是否为“ 接近数列”，若是，写出 的一个可能取值(用 表示)；若不是，说
明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.42
13.( ∞, 2]
14.240
15.(1)已知等差数列{ }满足： 1 = 2，且 1， 2， 4成等比数列，
设数列{ }的公差为 ，则 2，2 + ，2 + 3 成等比数列，
根据等比数列的等比中项可得(2 + )2 = 2(2 + 3 )，解得： = 0 或 = 2，
当 = 0 时， = 2，当 = 2 时， = 2 + ( 1) × 2 = 2 ，
所以数列{ }的通项公式为 = 2 或 = 2 ；
1
证明：(2)若等差数列{ }的公差不为零，且数列{ }满足： = ， 2 1
由(1)知 = 2 ( ∈ )，
1 1 1 1 1
则 = ( 1)( +1) = (2 1)(2 +1) = 2 ( 2 1 2 +1 )，
= 1 (1 1所以 2 3 +
1
3
1 1 1 1 1
5 + … + 2 1 2 +1 ) = 2 (1 2 +1 )，
= 1 (1 1 1故 2 2 +1 ) < 2，
= 1 (1 1而 2 2 +1 )随 的增大而增大，
1 1 1则 ≥ 1 = 3，故3 ≤ < 2成立．
16.解：(1)当 = 2 时， ( ) = 3 2 2 4 + 1，则 ′( ) = 3 2 4 4，
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从而 (1) = 4， ′(1) = 5，
故所求切线方程为 + 4 = 5( 1)，即 5 + 1 = 0．
(2)由题意可得 ′( ) = 3 2 2 2 = (3 + )( )．
当 3 > ，即 < 0 时，由 ′( ) > 0，得 < 或 > 3，由 ′( ) < 0，得 < < 3，
则 ( )在( ∞, ) 和( 3 , + ∞)上单调递增，在( , 3 )上单调递减；

当 3 = ，即 = 0 时， ′( ) ≥ 0 恒成立，则 ( )在 上单调递增；

当 3 < ，即 > 0 时，由 ′( ) > 0，得 < 3或 > ，由 ′( ) < 0，得 3 < < ，
则 ( )在( ∞, 3 )和( , + ∞)

上单调递增，在( 3 , )上单调递减．
综上，当 < 0 时， ( )在( ∞, )和( 3 , + ∞)

上单调递增，在( , 3 )上单调递减；
当 = 0 时， ( )在 上单调递增；
当 > 0 时， ( ) 在( ∞, 3 )和( , + ∞)

上单调递增，在( 3 , )上单调递减．
17.解：(Ⅰ)当 = 2 时， ( ) = ( 1) 2，
′( ) = + ( 1) 2 = 2 = ( 2)，
令 ′( ) = 0，解得 = 0 或 = 2，
当 < 0 或 > 2， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；
当 0 < < 2 时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
所以当 = 0 时， ( )的极大值为 (0) = (0 1) 0 02 = 1．
(Ⅱ) ( ) = ( 1) 12
2， ′( ) = = ( )，
当 < 0 时， ∈ (0, + ∞)， ′( ) > 0， ( )单调递增，无最小值，不符题意；
当 > 0 时，令 ′( ) = ( ) = 0，则 = 0 或 = ，
当 0 < ≤ 1 时， ∈ (0, + ∞)， ′( ) > 0，所以 ( )单调递增，无最小值，
当 > 1 时，当 0 < < ， ′( ) < 0，当 > ， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递减，
所以当 = 时， ( ) 1有最小值，最小值为 ( ) = ( 1) 2 ( )
2 = [ 1 1 22 ( ) ]，
所以 [ 1 12 ( )
2] > ，即 1 12 ( )
2 > 1，
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1化简得 ( )22 + > 0，即 (2 ) > 0，
解得 0 < < 2，即 1 < < 2，所以 的取值范围是(1, 2).
18.解：(1)证明：因为 = 2 + 3 2 +1 +1 +1 ，即 2 +1 2 = 3，
所以数列{ 2 }是以 1 为首项，3 为公差的等差数列．
(2)( ) 由(1)知 2 = 1 + ( 1) 3 = 3 2，
所以 = (3 2) 2
( +1)
， = 3 2 = ( + 1) 2 ，
所以 = 2 21 + 3 22 + 4 23 + + 2 1 + ( + 1) 2 ，
2 = 2 22 + 3 23 + 4 24 + + 2 + ( + 1) 2 +1，
所以 = 2 21 2 + 2 + 23 + + 2 ( + 1) 2 +1
= 21 + 22 + 23 + + 2 ( + 1) 2 +1 + 2
= 2(1 2
) ( + 1) 2 +1 + 2 = 2 + 2 +1 ( + 1) 2 +11 2 + 2 = 2
+1，
所以 = 2 +1．
( )因为 ∈ , +1 2 < 3 ，即 ( 3 )
+1 < ，
令 = (
2
3 )
+1，
( 2 ) +1 ≥ ( 1) ( 2 ) 2
所以 3 3 ，即 3
≥ 1
( 2
，
) +1 ≥ ( + 1) ( 2 ) +2 ≥ 2( +1)3 3 3
解得 2 ≤ ≤ 3，
所以{ } 16 的最大值为 2 = 3 = 27，
> 16 ( 16所以 27，即 的取值范围是 27 , + ∞)．
19.(1)数列{ }是“ 接近数列”，理由如下：数列{ }中， 1 + 2 2 + 3 3 + … + = 4 3 ， ∈ ，
当 ≥ 2 时， 1 + 2 2 + 3 3 + … + ( 1) 1 = 4 1 3( 1) 1，
两式相减得： = 4 3 + 3( 1) 1，
整理得 4( 1) = 3( 1) 1，所以 =
3
4 1，
3 3
因为 1 = 4，所以数列{ }是首项、公比都为4的等比数列，
3
3 [1 (
3) ]
所以 = ( 4 )
= 4 4 = 3 3 ( 3， ) ，1 3 44
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所以| 3| = 3 (
3
4 )
，因为数列{3 ( 3 4 ) }是递减数列，
所以数列{ }是“ 接近数列”， 的一个可能值为 3．
(2)( ) 1 1证明：当 = 2 时，数列{ }中， 1 = 0， +1 = 2 1，所以 +1 + 3 = 2( + 3 )，
1 1 1 1
因为 1 + 3 = 3，所以数列{ + 3 }是首项为3，公比为 2 的等比数列，
+ 1 = 1 ( 2) 1 = ( 2)
1 1
所以 3 3 ，所以 3 ，
2 1
当 为正奇数时， =
1
3 ，数列{ }递增，且随着正奇数 的无限增大， 趋近于正无穷大，
故存在正整数 ，对任意 ，当 > 时，| | = 是递增的，所以{ }不是“ 接近数列”．
( ){ }是否为“ 接近数列”，理由如下：当 0 < < 1 时， 1 = 0， +1 = 1，
1
则 +1 + +1 = ( +
1
+1 )， 1 +
1 1
+1 = +1 > 0，
因此数列{ +
1 1
+1 }是首项为 +1，公比为 的等比数列，
+ 1 = 1 ( )
1
所以 1
1
+1 +1 ( ) ，即 = +1 ，
1 1
而| (
1 )| = +1 +1，数列{

+1 }是递减数列，
所以{ }
1
是“ 接近数列”， 的一个可能值为 +1．
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