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2024-2025学年内蒙古自治区赤峰市松山区高二下学期5月期中学业质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是( )
A. B.
C. D. 与的大小关系不确定
2.已知某质点的运动方程为，其中的单位是，的单位是，则为( )
A. B. C. D.
3.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4.数独是源自世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由行列个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字，，各个全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有，，这三个数字，则不同的填法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.如图是函数的导函数的图象，则下列说法正确的是( )
A. 是函数的极小值点
B. 当或时，函数的值为
C. 函数在上是增函数
D. 函数在上是增函数
6.在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
7.中国空间站 的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱年月日：分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“”字形架构，成功将中国空间站建设完毕如果空间站要安排甲、乙、丙、丁名航天员开展实验，三舱中每舱至少有人且甲、乙不在同一个舱，则不同的安排方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数，都有，当时，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列是组合问题的是( )
A. 人相互通一次电话，共通多少次电话？
B. 支球队以单循环进行比赛每两队比赛一次，共进行多少场次？
C. 从个人中选出个为代表去开会，有多少种选法？
D. 从个人中选出个不同学科的课代表，有多少种选法？
10.设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围包含下列哪些( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若函数的图像关于点中心对称，则
B. 当时，函数过原点的切线有且仅有两条
C. 函数在上单调递减的充要条件是
D. 若实数，是的两个不同的极值点，且满足，则或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为 ．
13.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则 ．
14.若函数，满足，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在的展开式中，含项的系数是．
求的值；
若，求的值．
16.本小题分
赤峰市某级景区为满足游客绿色出行需求，在该景区停车场建成了集中式智慧有序充电站，充电站共建设个充电桩，其中包括个新型交流有序充电桩、个直流充电桩以及个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩．现有、、、、、六辆新能源大巴，需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙个新能源大巴大功率直流充电桩充电，每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电，
求有多少种不同的充电方案；
若要求、两车不能同时在上午充电，而车只能在下午充电，且车不能在甲充电桩充电，求有多少种不同的充电方案．用数字作答
17.本小题分
如图，将一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁．矩形的高为，宽为已知梁的抗弯强度为．
将表示为的函数，并写出定义域；
求的值使得抗弯强度最大．
18.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若的极小值为，求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
若是的极值点，求的值；
求函数的单调区间；
若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，
可得在的展开式中含的项是由
的展开式中含项与的展开式中含项合并得到的，
则
由得，，
令，则
令，则
则，
则．

16.解：先从、、、、、六辆新能源大巴车中选出三辆车安排在上午充电，有，
余下的三辆车安排在下午充电，，
共有种方案．
先排车，第一种方案，车在上午充电，有种可能，
此时再排，车在下午充电，有种可能，
再排、，又分、同在下午和一个上午一个下午两种情况，有可能，
第二种方案，车在下午充电，有种可能，
此时再排，车在下午充电，有种可能，
再排、，只能一个上午一个下午，有可能，
最后再排剩下的两辆车，有种可能，
最后共有：种方案．

17.解：由勾股定理可得，则，
所以，，其中，即该函数的定义域为．
对函数求导得，由可得，列表如下：
增 极大值 减
所以，当时，取得极大值，亦即最大值，且

18.解：因为，
所以，
易知，恒成立，
当时，恒成立，所以在上单调递减，
当时，由，得到，
当时，；当时，，
所以时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上，当时，在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增．
由Ⅰ知，当时，在上单调递减，此时无极值，
当时，函数的极小值为：
，
由于均为单调递增，故在上递增
的最小值为．

19.解：因为
则，即，所以，经检验符合题意
，则．
当时，，在上单调递增；
当时，由，得，
若，则；若，则．
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
综上所述，当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为．
当时，由可得，令，其中，
则直线与函数在上的图像有两个交点，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减．
所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在上的图像有两个交点，
因此，实数的取值范围是．

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