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2024-2025学年内蒙古赤峰曾军良实验学校高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知具有线性相关的两个变量之间的一组数据如表：
且回归方程为，则当时，的预测值为( )
A. B. C. D.
4.袋中装有个红球、个黑球每次随机抽取个球后，若取得黑球后则另外换个红球放回袋中，直到取得红球为止若抽取的次数为，则表示事件“放回个红球”的是( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量的分布列如图所示，若，则( )
A. B. C. D.
6.若，则的值是( )
A. B. C. D.
7.从中依次不放回地取个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是的整数倍”，则等于( )
A. B. C. D.
8.若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙、丙、丁、戊五个人并排站在一起拍照，下列说法错误的是( )
A. 若甲站正中间，则共有种排法
B. 若甲、乙相邻，则共有种排法
C. 若甲不站两端，则共有种排法
D. 若甲、乙、丙各不相邻，则共有种排法
10.已知，若随机事件，相互独立，则( )
A. B. C. D.
11.定义在上的函数的导函数的图象如图所示，函数的部分对应值如下表．下列关于函数的结论正确的是( )

A. 函数的极值点的个数为
B. 函数的单调递减区间为
C. 若时，的最大值是，则的最大值为
D. 当时，方程有个不同的实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在某项测量中，其测量结果服从正态分布，且，则 ．
13.某综合性大学数学系为了提高学生的数学素养，开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选修的课程不分前后顺序，则每位学生共有 种不同的选修方式可选．用数字填写答案
14.已知定义在上的函数满足，且，则的解集是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
求曲线在点处的切线方程；
求在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知在的展开式中，第项的二项式系数与第项的二项式系数的比为．
求的值；
求展开式中含的项的系数；
设，则当时，求除以所得余数．
17.本小题分
为了推动足球运动的发展，某足球比赛允许不同俱乐部的运动员参加．现有来自甲俱乐部的运动员名，其中知名选手名；乙俱乐部的运动员名，其中知名选手名．从这名运动员选择名参加比赛．
求选出的人中恰有人是知名选手，且这名知名选手来自同一俱乐部的概率；
设随机变量为选出的人中知名选手的人数，求的分布列与数学期望．
18.本小题分
河北省高考从年秋季高中入学的新生开始新模式，即模式；年开始，高考总成绩由语数外物理、历史选门化学、生物、政治、地理选门等六门科目构成．现将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为、、、、、、、共个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、、、、、、、选考科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到、、、、、、、八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中化学考试原始成绩基本服从正态分布．
求化学原始成绩在区间的人数；
按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取人，记表示这人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望．
附：若随机变量，则，，
19.本小题分
已知函数，当时，有极大值．
求实数，的值；
当时，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由题意知，，即切点为，
由已知，则，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
故在点处的切线方程为：
令，即得或，
令，则得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为，，因为
，，
故在区间上的最大值为，最小值为．

16.【详解】根据题意，，即，又，故．
，
其展开式的通项公式，，
令，解得，则，
故展开式中含的项的系数为：．
当时，，
，
而能够被整除，
故除以所得余数为．

17.【详解】设“选出的人中恰有人是知名选手且这名知名选手来自同一俱乐部”为事件，
则；
由题意可知，的取值可能为，，，，．
，
，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
．

18.【详解】因为物理原始成绩，
所以
．
所以化学原始成绩在的人数为人．
由题意得，随机抽取人，其成绩在区间内的概率为．
所以随机抽取三人，则的所有可能取值为，，，，且，
所以，，
，．
所以的分布列为
所以数学期望．

19.【详解】，
又当时，有极大值，
所以，解得．
令，要证，即证，
由知，即证，即证，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，即．
故当时，．

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