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2024-2025学年湖北省沙市中学高二下学期5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
2.某校高三年级有人参加期末考试，经统计发现数学成绩近似服从正态分布，且成绩不低于分的人数为，则此次考试数学成绩高于分的人数约为( )
A. B. C. D.
3.记为等比数列的前项和若，，则( )
A. B. C. D.
4.曲线在点处的切线与直线垂直，则( )
A. B. C. D.
5.公共汽车上有名乘客，在沿途的个车站随机下车，名乘客下车互不影响，则恰有名乘客在第个车站下车的概率是( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.设，是双曲线：的左，右焦点，是坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的个交汇处今在道路网，处的甲、乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则甲、乙两人相遇的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，若，且对于任意正整数都有，则( )
A. B. 是公差为的等差数列
C. D. ，
10.现有个编号为，，，，的不同的球和个编号为，，，，的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是( )
A. 若自由放置，共有种不同的放法
B. 恰有一个盒子不放球，共有种放法
C. 每个盒子内只放一个球，恰有个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有种
D. 将个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有种
11.设函数，则( )
A. 的单调递增区间为，
B. 有三个零点
C. 若关于的方程有四个不同实根，则
D. 若对于恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，则线段的长为 ．
13.已知函数在上存在零点，则实数的最小值为 ．
14.现有个串联的信号处理器单向传输信号，处理器的工作为：接收信号处理并产生新信号发射新信号．当处理器接收到一个类信号时，会产生一个类信号和一个类信号并全部发射至下一个处理器；当处理器接收到一个类信号时，会产生一个类信号和两个类信号，产生的类信号全部发射至下一个处理器，但由接收类信号直接产生的所有类信号只发射一个至下一个处理器．当第一个处理器只发射一个类信号至第二个处理器，按上述规则依次类推，若第个处理器发射的类信号数量记作，即，则 ，数列的通项公式 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
若是函数的极值点，求的值；
讨论的单调性．
16.本小题分
已知甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个号球，一个号球和一个号球；乙袋内装有两个号球和一个号球；丙袋内装有三个号球，两个号球和一个号球．
从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机变量为号球的个数，求的分布列；
现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出个球，若摸出的是号球放入甲袋，摸出的是号球放入乙袋，摸出的是号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出个球．求第二次摸到的是号球的概率．
17.本小题分
对于数列且，则称数列为的“四分差数列”已知数列为数列的“四分差数列”．
若，求的值．
设．
求的通项公式；
若数列满足，且的前项和为，证明：．
18.本小题分
已知椭圆：的左焦点为，点在椭圆上，且轴
求椭圆的方程；
已知点，证明：线段的垂直平分线与恰有一个公共点；
设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程．
19.本小题分
已知函数．
当时，，求的取值范围；
函数有两个不同的极值点其中，证明：；
求证：．
参考答案
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15.【详解】由题意可得的定义域为，且，
是函数的极值点，
，即．
当时，，由得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
满足是函数的极值点，因此．
，
当时，因为，所以，则，在上单调递增；
当时，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
则函数的单调增区间为，单调减区间为；
综上可知：当时，的单调增区间为，无单调减区间；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．

16.【详解】由题意，随机变量，则，，，
所以的分布列如下，
记第一次从甲袋随机摸出个球，摸出的是对应事件分别为，
第二次摸到的是号球为事件，则，，
所以．

17.【详解】由题意可设：，则，
若，则，
且，可得，
所以．
由可得，
若，则，
且，可得，
所以的通项公式；
因为，即，
则，
可得，
所以．

18.【详解】
轴，，
，则，
，
，
又在椭圆上，
即，
联立
化简得：，解得：，舍，
，
椭圆的方程．
，，
中点坐标为，，
线段的垂直平分线的斜率为，
线段的垂直平分线的方程为，即，
联立，解得
线段的垂直平分线与恰有一个公共点，公共点坐标为．
设，当时，的垂直平分线方程为，
此时，解得或；
当时，的垂直平分线方程为，
联立得：
，
线段的垂直平分线与恰有一个公共点，
，
整理得：，
即，
，
，
，
也满足方程，
点的轨迹是圆，圆的方程为，即．

19.【详解】函数，，且，
当时，因为，故恒成立，此时单调递增，所以成立；
当时，令，得，
当时，此时单调递减，故，不满足题意；
综上可知：．
即的取值范围为．
由，故，
因为函数有两个不同的极值点其中，故．
要证：，只要证：．
因为，于是只要证明即可．
因为，故，
因此只要证，等价于证，
即证，令，等价于证明，
令，
因为，所以，
故在上单调递增，所以，得证．
由可知当时，，故，
令，所以，所以，
，
所以．

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