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2024-2025学年湖南省常德市汉寿县第一中学高二下学期5月期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，如果向量与垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.等差数列中，，则的公差( )
A. B. C. D.
5.已知为的三个内角，下列各式不成立的是( )
A. B.
C. D.
6.已知时，直线与直线相交于点，则的值( )
A. 无最大值，最小值为 B. 最大值为，无最小值
C. 最大值为，最小值为 D. 不存在最值
7.定义在上的函数满足对任意，时，都有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，，其中，则( )
A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同
10.已知函数，则下列选项正确的有( )
A. 不是的周期
B. 成立的充要条件是，
C. 的图象可通过的图象上所有点向左平移个单位长度得到
D. 在区间上单调递减
11.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若关于直线对称，为奇函数，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的展开式中，的系数为 ，各项系数之和为 ．
13.在正六棱锥中，，，则此正六棱锥的侧面积为 ；该正六棱锥的外接球的表面积为 ．
14.某工厂由甲、乙两条生产线来生产口罩，产品经过质检后分为合格品和次品，已知甲生产线的次品率为，乙生产线的次品率为，且甲生产线的产量是乙生产线产量的倍．现在从该工厂生产的口罩中任取一件，则取到合格品的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求函数的解析式；
将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的值域．
16.本小题分
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，点在上，长轴长与短轴长之比为．
求椭圆的方程．
设为的下顶点，过点且斜率为的直线与相交于两点，且点在线段上．若点在线段上，，证明：．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，且，，，，，为的中点．
求证：平面；
在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据见下表：
成绩 性别 合格 不合格 合计
男性
女性
合计
完成此表；
根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由．
参考公式：相关性检验的临界值表：
卡方值计算公式：其中．
19.本小题分
对于给定的数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“优美数列”．
若，数列是否为“优美数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；
已知数列满足若数列是“优美数列”，求数列的通项公式．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
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13.

14.
15.【详解】解：由最大值可确定，因为，所以，
此时，代入最高点，可得：，
从而，结合，于是当时，，
所以．
由题意，，
当时，，则有，即，
所以在区间上的值域为．

16.【详解】设椭圆的方程为．
由题意可知，解得
故椭圆的方程为．
由可知．
设，直线的方程为．
由，得，
则，所以．
由，得，
所以，则，
所以点在线段的垂直平分线上，即易知．
设，则，
则
又点在直线上，所以，
则，
所以，则．
整理，得由，得．
所以，则，所以，故．

17.【详解】

取中点，连，
由为的中点，则，又，
则，又，
所以四边形为平行四边形，
则，平面，平面，
则平面．
取中点，连，
由且，则四边形是平行四边形，
故，又，则，
所以，由，则，
在中，，
由余弦定理得，
则，而，所以，
则，即，又，所以平面，
在平面内作．
以为轴正向建立空间直角坐标系，
则，
所以，
假设存在点满足题意，设，
则可得，
设平面的法向量，
则，令，
则；
设平面的法向量，
则，令，则；
所以，
解得，
所以假设成立，即存在，且时，使得平面与平面的夹角的余弦值为．

18.【详解】
成绩 性别 合格 不合格 合计
男性
女性
合计
假设：性别与考试是否合格无关，．
若成立，，
，
有的把握认为性别与考试是否合格有关．

19.【详解】，
数列是“优美数列”，对应的实常数分别为，．
，，
数列是“优美数列”，对应的实常数分别为，．
数列是“优美数列”，
存在实常数、，使得对于任意都成立，
则对于任意都成立，
对于任意都成立，
又，且，
则有对于任意都成立，
即对于任意都成立，
因此；
此时，，且，所以是等比数列，
又，．

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