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2024-2025学年上海外国语大学附属浦东外国语学校高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“函数是增函数”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
2.若圆与圆外切，则实数的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是( )
A. 在上是增函数 B. 在上是减函数
C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极小值
4.已知抛物线，点为抛物线的焦点，点、在抛物线上在第一象限，点为点关于原点的对称点，且，若，点在一条定直线上；是定值则( )
A. 正确，不正确 B. 不正确，正确
C. 正确，正确 D. 不正确，也不正确
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.抛物线的准线方程是 ．
6.双曲线的焦距为 ．
7.设函数，则 ．
8.已知点，，动点满足则动点的轨迹方程 ．
9.已知圆，点，则经过点且与圆相切的直线方程为 ．
10.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为 ．
11.已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为 ．
12.某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度单位：与跳起后的时间单位：存在函数关系，的图象如图所示，已知曲线在处的切线平行于轴，根据图象，给出下列四个结论：
在时高度关于时间的瞬时变化率为；
曲线在附近比在附近下降得慢；
曲线在附近比在附近上升得快；
其中所有正确结论的序号是 ．
13.已知函数的导函数为，且，则的图象在处的切线方程为 ．
14.设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为 ．
15.定义两个点集、之间的距离集为，其中表示两点、之间的距离，已知、，，，若，则的值为 ．
16.已知实数满足，且，若实数使得关于的方程在区间上有解，则的最小值是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数的图象过点，且．
求，的值；
求函数的单调区间和极值．
18.本小题分
某公司生产的某批产品的销售量万件生产量与销售量相等，，已知生产该批产品共需投入成本万元，产品的销售价格定为元件．
将该产品的利润万元表示为销售量万元的函数；
当销售量投入多少时，该公司的利润最大，最大值多少？
19.本小题分
已知抛物线，定点．
过点且过抛物线的焦点的直线，交抛物线于、两点，求；
求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线方程．
20.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于、两点．
求的短轴长及的周长；
若直线过点，求弦长；
若直线不平行于坐标轴，点为点关于轴的对称点，直线与轴交于点，求面积的最大值．
21.本小题分
设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
判断点是否为函数的度点，并说明理由
已知，证明：点是的度点；
求函数的全体度点构成的集合．
参考答案
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17.【详解】对函数求导得，故，解得，
由题意可知，解得，
故．
由可知函数，定义域为，
，令，得或，
当时，；当时，，
故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
极大值为，极小值为．

18.【详解】由题意知，
，
．
，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
则当时，利润最大，最大为万元．

19.【详解】由题意可得，直线的方程为，即，
联立解方程组，可得，
设，，则，
，
当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个交点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立，得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，直线方程为

20.【详解】由题意，短轴长为，
又，，，
所以的周长为；
，，又直线过点，所以，直线方程为，
由，得，不妨取，，
所以；
由题意设直线方程为，设，，则，
由，得，
，，
直线方程为，
令，得，所以，
，，
所以，
所以当是短轴端点时，，即面积的最大值为．

21.【详解】依题意，，则曲线在点处的切线方程为，
该切线过点当且仅当，即，
所以原点是函数的一个度点．
设，，
则曲线在点处的切线方程为，
则该切线过点，当且仅当，
设，则当时，，函数在上严格增，
因此当时，，则方程无解，
所以点是的一个度点．
函数，求导得，
对任意，曲线在点处的切线方程为，
则点为函数的一个度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，
设，则点为函数的一个度点当且仅当两个不同的零点，
若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求；
若，求导得，当由或时，；当时，，
函数在上严格增；在上严格减．
则函数在时取得极大值，在时取得极小值，
又，，
因此当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，不合要求；
当时，仅上有一个零点，也不合要求，
因此两个不同的零点当且仅当或，
若，同理可得两个不同的零点当且仅当或，
所以的全体度点构成的集合为或．

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