资源简介

2024-2025学年上海市位育中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积单位：与直径单位：的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
2.已知是两个随机事件，且，则下列选项中一定成立的是 ．
A. B.
C. D.
3.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ．
A. 函数在点处的切线斜率小于零
B. 函数在区间上严格增
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在区间内至多有两个零点
4.若曲线在与处的切线互相垂直，且两条切线的交点在直线上，则的值可能是 ．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分。
5.若，则的值为 ．
6.已知函数的一个驻点为，则实数 ．
7.位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有 种用具体数字作答
8.设函数，其中，则 ．
9.若从两男两女四人中随机选出两人，设两个男生分别用表示，两个女生分别用表示，相应的样本空间为，则与事件“选出一男一女”对应的样本空间的子集为 ．
10.已知函数图像在点处的切线方程是，则 ．
11.若，则 ．
12.设函数为实数，若在上单调递减，则实数的取值范围 ．
13.某校艺术节总汇演，已知高一，高二，高三分别选送了，，个节目，若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有 种出场顺序．
14.在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有位，另外一个小组有位，则甲和乙分在不同小组的概率为 ．
15.已知事件与互斥，它们都不发生的概率是且，则 ．
16.函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 ．
17.抛掷一枚质地均匀的硬币次其中为大于等于的整数，设事件：次中既有正面朝上又有反面朝上，事件：次中至多有一次正面朝上，若事件与事件是独立的，则的值为 ．
18.设函数，若有且仅有两个整数满足，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
在的二项展开式中
求第项的系数；
求常数项．
20.本小题分
已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．
求椭圆的方程；
设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值．
21.本小题分
已知，．
当时，求函数在处的切线方程；
设，若，求时函数的最大值．
22.本小题分
某中学为期一个月的高一、高二年级校园篮球赛告一段落．高一小、高二小分别荣获了高一年级和高二年级比赛的年级最有价值球员以下是他们在各场比赛的二分球和三分球出手次数及其命中率．
二分球出手 二分球命中率 三分球出手 三分球命中率
小 次 次
小 次 次
现以两人的总投篮命中率二分球三分球较高者评为校总投篮命中率总命中次数总出手次数
小认为，目测小的二分球命中率和三分球命中率均高于小，此次必定能评为校，试通过计算判断小的想法是否准确？
小是游戏爱好者，设置了一款由游戏人物小、小轮流投篮对战游戏，游戏规则如下：游戏中小的命中率始终为，小的命中率始终为；游戏中投篮总次数最多为次，且同一个游戏人物不允许连续投篮；游戏中若投篮命中，则游戏结束，投中者获得胜利；若直至第次投篮都没有命中，则规定第二次投篮者获胜．若小第一次投篮，试计算小的获胜概率并判断谁的获胜概率更大．
23.本小题分
对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．
若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围；
若函数是定义在上的“跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“跃点”，求实数的取值范围；
若函数是“跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“跃点”，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.【详解】由二项式展开式的通项为：，
所以展开式的第项的系数为．
由展开式的通项为，
令，可得常数项为．

20.【详解】由题意得：，所以，
点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆的方程为：．
直线的方程为：
联立，消去后，得关于的一元二次方程，
化简得，
由题意知，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
所以，化简得，解得，即，
经检验符合题意．

21.【详解】，则，
所以，
所以函数在处的切线方程为，即；
，
则，，
因为，则恒成立，所以函数在上单调递减，
所以．

22.【详解】小总命中率为，
小总命中率为，
，综上，小想法错误，小为校；
情况一：小第一次投篮就命中，其概率为；
情况二：小第一次未命中，小也未命中，然后小第二次投篮命中，
其概率为；
情况三：小第一次未命中，小也未命中，小第二次也未命中，小第二次也未命中，小第三次投篮命中，
其概率为，
则小的获胜概率为，
所以小获胜概率更大．

23.【详解】函数的导函数为，
因为函数，是“跃点”函数，
则方程有解，即有解，
而，因此，解得，
所以实数的取值范围是．
函数的导函数为，
依题意，方程，即在上有两个不等实根，
令，因此函数在上有两个不同零点，
则，解得或，
所以实数的取值范围是．
函数的导函数为，
因为函数是“跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“跃点”，
则方程，显然，所以在上恰有一个实数根，
令，求导得，
由，得；由，得且，，
于是函数在上单调递减，恒成立，函数的取值集合是，
在上单调递减，函数的取值集合是
在上单调递增，函数的取值集合是，函数的图象，如图，

当时，直线与函数的图象有唯一公共点，
即方程恰有一个实数根，从而，
所以的取值范围为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑