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2024-2025学年四川省南部中学高二下学期期中质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列，其中，则( )
A. B. C. D.
2.现有个班分别从个景点中选择一处游览，不同选法的种数是( )
A. B. C. D.
3.如图，直线和圆，当从开始在平面上绕点按逆时针方向匀速转到转到角不超过时，它扫过的圆内阴影部分的面积是时间的函数，这个函数的图像大致是
A. B. C. D.
4.已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.用五个数字，可以组成无重复数字的三位偶数个数为( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列的前项和为，若，则的前项和( )
A. B. C. D.
7.定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则( )
A. B.
C. D.
8.若函数有极值，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 函数的单调减区间为
B. 函数的单调增区间为
C. 函数的极大值点为
D. 函数的最大值为
10.已知数列的前项和为，则有( )
A. 为等比数列 B.
C. D.
11.已知函数则下列说法不正确的是( )
A. 函数有唯一极值点
B. 函数有两个零点
C. 若函数两个零点，则
D. 函数的值域
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设等比数列满足，，则 ．
13.曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
14.如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为为使所用材料最省，圆的直径应该为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
求函数的极值
求函数在上的最大值与最小值
16.本小题分
已知数列的通项公式为，数列的前项和为．
求；
求．
17.本小题分
设数列是等比数列，为与的等差中项．
若为常数，且，求的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，．
求函数的单调区间；
求在区间上的最小值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
求函数的单调区间；
若有两个零点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：根据题意可得，令，则，．
和上，，在、上单调递增．
上，，在上单调递减．
当时，有极大值，极大值为．
当时，有极小值，极小值为．
由可知，在区间上单调减，在区间上单调增．且，，
故在上最大值为，最小值为．

16.解：
；
．

17.解：设等比数列的公比为．
由为与的等差中项，可得：
，即，
，解得：或
当时，数列的通项公式为；
当时，数列的通项公式为．
由上可知，数列的通项公式为或
由可知：当时，，
则，此时
当时，，
则
，
两边乘以，得：
，
得：
可得：
综上，

18.解：根据题意，函数，其导数．
当时，，则在上为增函数；
当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为．
由可得，当或，．
当，即时，在上单调递增，此时在区间上的最小值为；
当，即时，在上单调递减，在内单调递增，此时在区间上的最小值为；
当，即时，在上单调递减，此时在区间上的最小值为．
综上可得：当时，的最小值为；当时，的最小值头；当时，的最小值为．

19.解：当时，，
则，，
所以曲线在点处的切线斜率为，
切线方程为：，即．
由可得：．
因为，
所以当时，，此时函数在上单调递减；
当时，令，得；令，得，
此时函数在区间上单调递减；在区间上单调递增．
综上可得：当时，函数的单调减区间为，无单调增区间；
当时，函数的单调减区间为，单调增区间为．
由可得：当时，根据零点存在性定理可得函数在上不会有两个零点，不符合题意；
当时，
函数的最小值为，
且当时，，当时，，
因为有两个零点，
所以，．
因为函数为上的增函数，且，
所以的解为．
故当有两个零点，的取值范围为．

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