资源简介

2024-2025学年四川省成都市石室中学北湖校区高二下学期学情检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.空间中有个点，其中任何个点不共面，过每个点作一个平面，可以作的平面个数为( )
A. B. C. D.
2.已知等比数列中，，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
3.三次函数的图象如图所示下列说法正确的是( )
A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，
4.高二班位同学排成一排准备照相时，又来了位同学要加入，若保持原来位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，利用教材中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得( )
A. B. C. D.
6.已知函数存在两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.现将本不同的书籍分发给甲乙丙人，每人至少分得本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则( )
A. B. 的前项和为
C. 的前项和为 D. 的前项和为
10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A. 如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有种
B. 如果甲乙不相邻，则不同排法共有种
C. 如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种
D. 如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种
11.我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”下列有关的结论正确的是( )
A.
B.
C. ，其中
D. 函数的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的极值点是 ．
13.现有种不同的颜色，给四棱锥的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点的颜色不能同色，则涂色的方法一共有 种用数字作答
14.若正实数满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
讨论函数的单调性；
若恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．

求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知为等差数列，为等比数列，，，．
求和的通项公式；
设，求数列的前项和为；
若的前项和为，求证：．
18.本小题分
已知椭圆经过点．
求椭圆的标准方程；
过点的直线交该椭圆于，两点点在点的上方，椭圆的上、下顶点分别为，，直线与直线交于点证明：点在定直线上．
19.本小题分
已知函数．
若为增函数，求的取值范围；
记的导函数为，若，，求的取值范围；
定义：如果数列的前项和满足，其中为常数，则称数列为“和上界数列”，为数列的一个“和上界”设数列满足，，证明：当时，数列为“和上界数列”，且不小于的常数均可作为数列的“和上界”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由，则
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得，
时，，则在上单调递增；
时，，则在上单调递减．
由题意恒成立，
因为，即得恒成立，即，，
记则，
令，得，令，得，即在上单调递减，
令可得，即在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为．

16.证明：在正方形中，，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为是正三角形，是的中点，所以，
又，，平面，所以平面．
取中点为中点为，连接，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，
则，，，，，
所以，．
设平面的法向量为，则
由得
取，则，
由知平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则．
所以平面与平面夹角的余弦值为．


17.设等差数列的公差为，
因为，可得，
又因为，解得，
所以，
设等比数列的公比为，
因为，可得，
解得，所以．
因为，
所以，
则，
两式作差得：，
则，整理．
因为的前项和，
则，，
又，
所以．

18.将点坐标代入椭圆方程中得，即，
因，所以，故椭圆的标准方程为．
由题易知的斜率存在，设直线的方程为，
设，
由，得，
则，，，
又，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立，方程可得，
得，故点在定直线上．

19.已知函数．
若为增函数，则，
即对任意恒成立，
令，则，令，解得，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
故，故．
故的取值范围为．
，，
由题意，任意，，
即对任意恒成立，
设，其中，
当时，
，
，，
由，则，则，又，
可得，所以，
即在上单调递增，所以，
且，
要使对任意恒成立，则．
故的取值范围为．
当时，，
设，则，
当时，，则在单调递增；
当时，，则在单调递减；
所以，则有，当且仅当时等号成立．
所以对任意恒成立，
由，，其中，
所以，且，
则当时，
；
又当时，成立；
综上所述，任意，都有，
故数列为“和上界数列”，且不小于的常数均可作为数列的“和上界”．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑