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二〇二五年初中学业水平考试（中考）模拟
数学试题（二）
注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3. 非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题 3分，共30分．每题只有一个选项符合题目要求．
1. －2025的相反数是（ ）
A. －2025 B. 2025 C. D.
2. 未来将是一个可以预见的AI时代．AI一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，一个圆柱体在正方体上沿虚线从左向右平移，平移过程中不变的是（ ）
A. 左视图 B. 主视图 C. 俯视图 D. 主视图和俯视图
4. 计算的结果是（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 4
5. 不等式组
的解集是（ ）
A. x＜－2 B. x＞8 C. －2＜x＜8 D. 2＜x＜8
6. 如图，在平面直角坐标系中，已知A(12，8)，D(6，4)，E(2，3)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，则B点的坐标是（ ）
A. (4，5) B. (4，6) C. (5，6) D. (5，5)
7. 如图，正比例函数y1＝k1x (k1＜0)的图象与反比例函数y2 (k2＜0)的图象相交于A、B两点，点B的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A. x＜－2或0＜x＜2 B. －2＜x＜0或x＞2
C. x＜－2或x＞2 D. －2＜x＜0或0＜x＜2
8. 春节期间，走进影院看电影，成为不少家庭的新年俗．小华和小明分别从如图所示的四部春节档影片中随机选择一部观看，则小华和小明选择的影片相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点25cm（L1＝25cm）处挂一个重9.8N（F1=9.8N）的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）及弹簧秤的示数F（单位：N）满足FL＝F1L1．若弹簧秤的示数F不超过7N，则L的取值范围是（ ）
A. 0＜L＜35 B. L＞35 C. 0＜L≤35 D. 35≤L≤50
10. 如图，边长为10的等边△ABC，点D在边AC上，且AD＝3，将含30°角的直角三角板（∠F＝30°）绕直角顶点D旋转，DE、DF分别交边AB、BC于P、Q，连接PQ，当EF∥PQ时，CQ的长为（ ）
A. 2 B. 1 C. 1.5 D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题 3分，共15分．
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________．
12. 2025年3月，中国科学院物理研究所团队首次实现大面积二维金属材料的普适性制备．其中，铅（Pb）二维金属厚度约为0.0000000075米．将数据0.0000000075用科学记数法表示为_____________．
13. 关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，k为整数，则k的一个值可以为__________．
14. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠ADB=30°，A是的中点，若OB＝3，则的长是_____________．
15. 如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②cos∠ABE＝；③当0＜t≤5时，y＝t2；④当t＝秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论有____________．（填所有正确结论的序号）
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本小题满分8分）
（1）计算：(2025－π)0－|－5|＋－3tan60°．
（2）先化简，再求值：(2a－)÷，其中a满足a2＋5a＋6=0．
17. （本小题满分8分）
（1）数学活动课上，小慧同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图1，已知四边形ABCD是平行四边形，①连接AC，分别以点A、C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q；②作直线PQ，分别交BC、AC、AD于点E、O、F，连接AE、CF．若∠BAD＝120°，AE平分∠BAD，AB＝8，则①△ABE的形状是_________；②四边形AECF的面积=___________．
（2）同桌小明同学利用直尺和圆规进行了如下操作：如图2，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB和BC于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E，分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G．若CD＝4DE，求的值．
18.（本小题满分8分）为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动 健康同行”主题健身周，真正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践．现随机抽取九年级20名学生，统计其每日体育活动时间，但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如图1所示，根据以上信息，解决下列问题．
（1）补全频数分布直方图；
（2）墨汁盖住的数字共_______个，若第四组学生的平均运动时间为84.5，求第四组中被盖住的数字；
（3）扇形统计图中第四组的圆心角的度数是____________；
（4）若该校共有学生2000人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于60分钟．
19.（本小题满分8分）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进A，B两类图书，已知购进1本A类图书和2本B类图书共需135元；购进2本A类图书和3本B类图书共需220元．
（1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店计划购进A，B两类图书共100本，且A类图书的购进数量不少于B类图书的购进数量的，已知A类图书每本的售价为40元，B类图书每本的售价为58元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？
20.（本小题满分10分）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：
（1）点A的注意力指标数是______________；
（2）当0≤x＜10时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式；
（3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．
21.（本小题满分10分）如图，将矩形ABCD（AD＞AB）沿对角线BD翻折，C的对应点为点C'，以矩形ABCD的顶点A为圆心、r为半径画圆，⊙A与BC'相切于点E，延长DA交⊙A于点F，连接EF交AB于点G．
（1）求证：BE＝BG．
（2）当r＝1，AB＝2时，求EC'的长．
22.（本小题满分10分）特例感知：
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c（注：sin90°＝1）．
∵ sin A＝，sin B＝，∴ c＝，c＝．∴ ＝c．
∵ sin90°＝1，∴ ．
拓展探究：
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．思考特例中的结论是否仍然成立？请说明理由．
解决问题：
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝40m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用前面的结论，求点A到点B的距离（不取近似值）．
23. (本小题满分13分）如图，抛物线C: 的图象经过点D(1，－1)，与x轴交于点A，点B．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，求抛物线C2的表达式，并判断点D是否在抛物线C2上；
（3）在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P，使△PBD是等腰直角三角形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2二〇二五年初中学业水平考试（中考）模拟
数学试题（二）
参考答案
阅卷须知：
1. 为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考
生将主要过程正确写出即可.
2. 若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分.
3. 评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数
一．选择题（共 10 小题）
1．B．2．D．3．A．4. B．5．C．6．B．7．A．8．C．9．D．10．A．
二．填空题（共 6 小题）
11．x>0; 12．7.5 10 10 ; 13．k<1且 k≠ 0任意一个负整数; 14．2 ; 15．①③④．
三．解答题（共 8 小题）
16．（本小题满分 8分）解：（1）原式＝1 5+ 3 + 2 3 3 3.....................................2分
＝﹣4；.....................................................................3分
2 ( 2
2+4 12 ( +2)2
（ ）原式＝ +2 +2 ) × 4
2 2 8 ( +2)2
＝ × ......................................4分
+2 4
= 2 ( + 2)，.............................................................5分
解方程 a2+5a+6＝0，得 ＝﹣2或 ＝﹣3．................................6分
当 = 2时，原式分母为 0，无意义；...............................................7分
当 = 3时,原式＝2 × ( 3) × ( 3 + 2) = 6．...........................................8分
17．（本小题满分 8分）解：（1）①△ABE是等边三角形，........................1分
②四边形 AECF的面积＝32 3；.............3分
（2）：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝4DE，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠CBE，.............................4分
由作图得：AE平分∠ABC，MN垂直平分 AE，
∴∠ABE＝∠CBE，AF＝EF，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE＝CD＝4ED，..............................6分
∴EF＝2DE，
∴BC＝AD＝5DE，...........................7分
∵AD∥BC，
∴△EFG∽△BCG，
2
∴ = = ．...............................8分
5
18．（本小题满分 8分）解：（1）第二组的频数为 20×35%＝7，
第四组的频数为 20﹣3﹣7﹣6＝4，
补全频数分布直方图：
...........................................................3分
（2）墨汁盖住的数字共 20﹣3﹣5﹣3﹣3＝6（个），.......................4分
∵第四组学生的平均运动时间为 84.5，第四组的频数为 4，
∴第四组中被盖住的数字为 84.5×4﹣82﹣88﹣83＝85；........................6分
（3 4）扇形统计图中表示四组人数的圆心角度数为：360°× 20 =72°；
故答案为：72°；....................................7分
（4）2000× 20 320 =1700（名），
答：该校约有 1700名学生每日运动时间不少于 60分钟．................................8分
19．（本小题满分 8分）解：（1）设 A类图书每本的进价是 a元，B类图书每本的进价是 b
元，
+ 2 = 135
根据题意得： 2 + 3 = 220，............................1分
= 35
解得 = 50，
答：A类图书每本的进价是 35元，B类图书每本的进价是 50元；...........................3分
（2）设购进 A类图书 x本，获得利润为 y元，
根据题意得：y＝（40﹣35）x+（58﹣50）（90﹣x）＝5x+720﹣8x＝﹣3x+720，.........5分
1
∵A类图书的购进数量不少于 B类图书的购进数量的 ，
3
∴x≥ 13（100﹣x），
解得 x≥25，.........................6分
∵﹣3＜0，
∴y随 x的增大而减小，
∴当 x＝25时，y有最大值，最大值为 645，.....................................7分
此时 100﹣x＝75，
答：该书店购进 A类图书 25本，B类图书 75本时所获利润最大，最大利润为 645元.
....................................8分
20．（本小题满分 10分）解：（1）点 A的注意力指标数是 24．.............................2分
（2）当 0≤x＜10时，设 AB的解析式为 y＝kx+b，
24 =
∴ 48 = 10 + ，
= 24
∴ = 12．5
∴ = 125 + 24．.....................................4分
（3）：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低
于 36．
12
理由：当 y≥36时， + 24 ≥ 36，
5
解得 x≥5；.............................................6分
当 20 960≤x≤40时，反比例函数解析为 = ，
960
当 y≥36时， ≥ 36，

解得 ≤ 803 ．...............................................8分
∴当 5 ≤ ≤ 803 时，注意力指标数都不低于 36．
80 65
而 5 = ＞20，......................................................9分
3 3
5 ≤ ≤ 80∴张老师安排在上课 3 时间段内讲解这道综合题，学生的听课注意力指标数都
不低于 36．............................................................10分
21．（本小题满分 10分）（1）证明：如图，连接 AE,
∵BE是⊙A的切线，AE为⊙A的半径，∴AE BE，................................................1分
∴∠AEG+∠GEB=90°，
∵四边形 ABCD为矩形，∴AB AF，
∴∠F+∠AGF=90°，............................2分
∵∠AEG=∠F，
∴∠AGF=∠GEB，....................................3分
又∵∠AGF=∠BGE，
∴∠BGE=∠GEB，
∴BG=BE，.........................................5分
（3）在 Rt△AEB中，∵AE=r＝1，AB＝2，
∴∠ABE=30°，BE= cos 30°= 3..........................7 分
1
由折叠可知：∠CBD=∠C′BD= ∠C′BC=30°，在矩形 ABCD中，DC=AB＝2，.........8分
2
∴BC= = 3CD= 2 3=BC′，......................9分
tan 30°
∴EC′=BC′ BE= 2 3－ 3= 3.........................................10 分

22．（本小题满分 10分）解：拓展探究：结论 = = 仍然成立．...............1分

理由如下：过点 C作 CD⊥AB于点 D，过点 A作 AE⊥BC于点 E，
在 Rt△BCD中， = = ，
在 Rt△ACD中， ∠ = = ，
∴CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，
∴asinB＝bsin∠BAC，....................................3分

∴ = ，...........................................4分
∠

同理可得： = ，
∠

∴ = = ．...............................6分
∠ ∠
解决问题：在△ABC中，∠CBA＝180°﹣∠A﹣∠C＝45°，.................7分

∵ = ，AC＝40m，
∠
40
∴ = ，.....................8分
60° 45°
∴AB＝40sin60°×sin45°＝20 6（m），
答：点 A到点 B的距离为 20 6m．...........................10分
23 4．（本小题满分 13分）解：（1）将点 D的坐标代入抛物线表达式得：﹣1＝a+ 3 4，
5
解得：a= 3，.....................1分
5 4
则抛物线的表达式为：y= 3x
2+ 3x﹣4............................2分
（2）由（1）知 C1：y=
5
3（x+
2 2 64
5） 15；
∴C2：y=
5
3（x+
2
5 1
2 64） 15+3=
5
3（x
3
5）
2 1915，..........................4分
当 x＝1 5 3 19 5 3 19时，y= 2 23（x 5） 15 = 3（1 5） 15 = 1，
故点 D在抛物线 C2上；...............................5分
（3）存在，理由：
当∠BDP是直角时，
如图 1，过点 D作 DE⊥BD且 DE＝BD，则△BDE为等腰直角三角形，
∵∠BDG+∠EDH＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，
∴∠BDG＝∠DEH，
∵∠DGB＝∠EHD＝90°，
∴△DGB≌△EHD（AAS），
则 DH＝BG＝1，EH＝GD＝1+2＝3，
则点 E（2，2），...................................7分
x 2 y= 5 x 3 2 19 5 3 2 19当 ＝ 时， 3（ 5） 15 = 3（2 5） 15 =2，
即点 E在抛物线 C2上，
即点 P即为点 E（2，2）；................................8分
当∠DBP为直角时，如图 2，
同理可得：△BGE≌△DHB（AAS），
则 DH＝3＝BG，BH＝1＝GE，
则点 E（﹣1，3），
当 x＝﹣1时，y= 5 x 3 19 5 33（ 5）
2 215 = 3（﹣1 5）
19
15 =3，
即点 E在抛物线 C2上，
即点 P即为点 E（﹣1，3）；..........................10分
当∠BPD为直角时，如图 3，
设点 E（x，y），
同理可得：△EHB≌△DGE（AAS），
则 EH＝x+2＝GD＝y+1且 BH＝y＝GE＝1﹣x，
解得：x＝0且 y＝1，即点 E（0，1），
x 0 y= 5 x 3 2 19 = 5 0 3当 ＝ 时， （ ） （ ）2 193 5 15 3 5 15 ≠1，
即点 E不在抛物线 C2上；.........................12分
综上可知，点 P的坐标为：（2，2）或（﹣1，3）．........................13分

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