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2024-2025学年四川省资阳中学高二下学期期中检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量的分布列如下表：
若离散型随机变量，则 ．
A. B. C. D.
2.个男生，个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为
A. B. C. D.
3.我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前项分别为，，，，则该数列的前项和为( )
A. B. C. D.
4.两位工人加工同一种零件共个，甲加工了个，其中个是合格品，乙加工了个，其中有个合格，令事件为”从个产品中任意取一个，取出的是合格品”，事件为”从个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”，则等于
A. B. C. D.
5.设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为( )
A. B.
C. D.
6.朱载堉，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作律学新说中制成了最早的“十二平均律”十二平均律是目前世界上通用的把一组音八度分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的倍．设前四个音的频率总和为，前八个音的频率总和为，则( )
A. B. C. D.
7.设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.如图，用四种不同的颜色给图中的，，，，，，七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( )
A. B. C. D. 以上答案均不对
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，则下列等式中成立的是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则( )
A. 有个极值点 B. 是的极大值点
C. 是的极大值点 D. 在上单调递增
11.已知数列中，，，则关于数列的说法正确的是( )
A. B. 数列为周期数列
C. D. 数列为递增数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的二项展开式中，的系数为 ．
13.已知，为导函数，若，则 ．
14.知数列的前项和为，，，当时，总有，则数列的通项公式 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在“，，；，；”三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．
已知等差数列的前项和为，且___________，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
若在处取得极值，求的极值；
若在上的最小值为，求的取值范围．
17.本小题分
已知数列为等差数列，数列为单调递增的等比数列，，且，．
求数列与的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，．
若的最大值是，求的值；
若对任意，恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
勇达楼两侧上楼的梯步半层个台阶，同学们每天通往知识的殿堂就是从踏上这个楼梯开始．有的同学“脚踏实地”一步个台阶，有的同学“争分夺秒”一步个台阶，还有的同学“天赋异禀”一步个或个台阶．
同学甲上楼时一步走个或者个台阶，则甲走完这半层个台阶有多少种不同的走法；
通往人生的高峰有无数的台阶，需要我们慢慢攀登．同学乙每一步都是走个或者个台阶，他第一步走个台阶的概率，然后从第二步开始，若上一步走的个台阶，则下一步走个台阶的概率为，若上一步走的个台阶，则下一步走个台阶的概率为．
Ⅰ记第步走个台阶的概率为，求关于的表达式；
Ⅱ记第个台阶被踩中的概率为，其中第个台阶被走个台阶而踩中的概率为，被走个台阶而踩中的概率为，求证，并计算．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：若选择，
由与
解得：或由于，舍去
设公差为，则，解得
所以数列的通项公式为
若选择，
设公差为，由，得；
则，解得
所以数列的通项公式为
若选择，
因为
解得
所以数列的通项公式为
由题意得：
所以
16.，，．
因为在处取得极值，所以，则．
所以，，
令得或，列表得
极大值 极小值
所以的极大值为，极小值为．
．
当时，，所以在上单调递增，的最小值为，满足题意；
当时，令，则或，所以在上单调递减，在上单调递增，
此时，的最小值为，不满足题意；
当时，在上单调递减，的最小值为，不满足题意．
综上可知，实数的取值范围时．
17.设等差数列的公差为，
因，，则，得，
所以，
所以，，
因数列为单调递增的等比数列，则可设数列的公比为，
因为，所以，得或舍，
所以，解得，
所以，
则数列的通项公式为，的通项公式为．
由知，
所以，
所以，
两式相减得
，
所以．
18.解：由函数，可得其定义域为，且．
若，则，在定义域内单调递增，无最大值，不符合题意，舍去；
若，则当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，
其最大值为，解得，
显然符合题意，所以的值为．
解：对任意，恒成立，即在上恒成立，
设，可得，
设，可得，
所以在上单调递增，且，，
所以有唯一零点，且，
所以，
构造函数，则．
又由函数在上是增函数，所以，
由在上单调递减，在上单调递增，
可得，
所以，解得，所以的取值范围是．
19.走完这半层个台阶可分为以下情况：
步走完时个和个，有种走法；
步走完时个和个，有种走法；
步走完时个和个，有种走法；
步走完时个和个，有种走法；
步走完时个和个，有种走法；
步走完时个和个，有种走法；
步走完时个和个，有种走法；
步走完时个和个，有种走法；
所以甲走完这半层个台阶有种不同的走法．
Ⅰ由已知可得，
根据全概率公式可知，
整理可得，
可化为．
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以．
Ⅱ由已知可得
由可得，，且．
又，
所以有．
同理可求得．
所以有．
又，
所以有，得证．
又由已知可得，，则，
，，，
，，．
代入，，，得，．

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