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第4章 平面内的两条直线 单元综合检测卷
一、单选题
1．如图，在同一平面内．经过直线l外一点O有四条直线①②③④，借助直尺和三角板判断，与直线l平行的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
2．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
3．下列说法中正确的是（　　）
A．经过一点有一条直线与已知直线平行
B．经过一点有无数条直线与已知直线平行
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
4．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠D＝∠A B．∠1＝∠2 C．∠3＝∠4 D．∠D＝∠DCE
5．如图，直线a∥b，三角尺的直角顶点在直线b上，若∠1=50°，则∠2等于（　　）
A．50° B．40° C．45° D．25°
6．如图，已知直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（　　）
A．∠5 B．∠4 C．∠3 D．∠2
7．如图，下列条件： 中能判断直线 的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．如图，AB∥CD，CD∥EF，则∠BCE等于（　　）
A．∠2－∠1 B．∠1＋∠2
C．180°＋∠1－∠2 D．180°－∠1＋∠2
9．正安县誉为“吉他之都，音乐之城”．吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，AB CD，∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（　　）
A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°
C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
二、填空题
11．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为　 　．
12．用两个相同的三角板如图所示摆放，直线a∥b，画图依据是：　 　．
13．某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要　 　元．
14．如图，一把直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一直线上，若∠ADE=145°，则∠DBC的度数为　 　．
15．∠A的两边与∠B的两边互相平行，且∠A比∠B的2倍少15°，则∠A的度数为　 　．
16．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD=　 　．
三、综合题
17．如图，直线AB与CD相交于点O， ，射线OE从OC开始绕点O按顺时针方向旋转到OB．
（1）当 时，求 的度数．
（2）当OE平分 时，求 的度数．
18．已知如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，AC为对角线，BM∥AC，过点D作 DE∥CM，交AC的延长线于F，交BM的延长线于E．
（1）求证：△ADF≌△BCM；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四边形ABED的面积（用含a的代数式表示）．
19．已知：，、是上的点，、是上的点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，为的角平分线，交于点，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，作的角平分线交于点，若平分，且比的多，求的度数．
20．如图，在△ABD中，点C是边BD上一点，点E是△ABD外一点，连结AC、AE、CE，使得CE∥AB，且∠EAC＝∠BAD.
（1）∠ACE与∠EAD相等吗？请说明理由.
（2）若AE∥BD，∠BAC＝2∠CAD，∠D＝48°，求∠B的度数.
21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC．
（1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；
（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．
22．如图，已知AB∥CD，∠A=40°，点P是射线B上一动点（与点A不重合），CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD，分别交射线AB于点M，N．
（1）求∠MCN的度数．
（2）当点P运动到某处时，∠AMC=∠ACN，求此时∠ACM的度数．
（3）在点P运动的过程中，∠APC与∠ANC的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．
23．现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请解决下列问题：
（1）如图1，请直接写出、的数量关系；
（2）如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由；
（3）如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数．
24．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．
（1）小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=　 　．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
（2）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
25．如图，已知直线AB∥CD∥EF，∠POQ=90°，它的顶点O在CD上，两边分别与AB、EF相交于点P，点Q，射线OC始终在∠POQ的内部．
（1）求∠1+∠2的度数；
（2）直接写出∠3与∠4的数量关系：　 　．
（3）若∠POQ的度数为α，且0°＜α＜180°，其余条件不变，则∠3与∠4的数量关系为　 　．（用含α的式子表示）
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第4章 平面内的两条直线 单元综合检测卷
一、单选题
1．如图，在同一平面内．经过直线l外一点O有四条直线①②③④，借助直尺和三角板判断，与直线l平行的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】【解答】解：经过刻度尺平移测量，③符合题意，
故选：C．
【分析】根据平行线的定义“同一平面内两条不相交的直线是平行线”解答即可．
2．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】B
【解析】【解答】解：如下图所示：
∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝45°，
∴∠1＝∠BCD﹣∠BCE＝45°﹣30°＝15°．
故答案为：B．
【分析】先根据平行线的性质得出∠BCD的度数，进而可得出结论．
3．下列说法中正确的是（　　）
A．经过一点有一条直线与已知直线平行
B．经过一点有无数条直线与已知直线平行
C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】D
【解析】【解答】解：A、经过一点有一条直线与已知直线平行，不正确，故A不符合题意；
B、经过一点有无数条直线与已知直线平行，不正确，故B不符合题意；
C、经过一点有且只有一条直线与已知直线平行，不正确，故C不符合题意；
D、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，再对各选项逐一判断.
4．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　）
A．∠D＝∠A B．∠1＝∠2 C．∠3＝∠4 D．∠D＝∠DCE
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∠D＝∠A不能判定AB∥CD，故此选项不合题意；
B、∠1＝∠2可判定AB∥CD，故此选项符合题意；
C、∠3＝∠4可判定AC∥BD，故此选项不符合题意；
D、∠D＝∠DCE判定直线AC∥BD，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】A、若∠D＝∠A无法判断任何线平行，据此判断即可；
B、根据内错角相等两直线平行，可得AB∥CD，据此判断即可；
C、根据内错角相等两直线平行，可得AC∥BD，据此判断即可；
D、根据内错角相等两直线平行，可得AC∥BD，据此判断即可.
5．如图，直线a∥b，三角尺的直角顶点在直线b上，若∠1=50°，则∠2等于（　　）
A．50° B．40° C．45° D．25°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵直线a∥b，
∴∠3=∠1=50°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠2=90°﹣∠3=40°，
故选：B．
【分析】先根据平行线的性质，得出∠3=∠1=50°，再根据∠ABC=90°，即可得到∠2=90°﹣∠3=40°．
6．如图，已知直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是（　　）
A．∠5 B．∠4 C．∠3 D．∠2
【答案】D
【解析】【解答】∠1的同位角是∠2，故选：D．
【分析】根据同位角定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角可得答案．
7．如图，下列条件： 中能判断直线 的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本小题符合题意；
②∵∠2+∠4=180°，∴l1∥l2，故本小题符合题意；
③∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本小题符合题意；
④∠2=∠3不能判定l1∥l2，故本小题不符合题意；
⑤∵∠6=∠2+∠3，∴l1∥l2，故本小题符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
8．如图，AB∥CD，CD∥EF，则∠BCE等于（　　）
A．∠2－∠1 B．∠1＋∠2
C．180°＋∠1－∠2 D．180°－∠1＋∠2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠1，
又∵CD∥EF，
∴∠2+∠DCE=180°，
∴∠DCE=180°-∠2，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE，
=∠1+180°-∠2.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质得∠BCD=∠1，∠DCE=180°-∠2，由∠BCE=∠BCD+∠DCE，代入、计算即可得出答案.
9．正安县誉为“吉他之都，音乐之城”．吉他是一种弹拨乐器，通常有六条弦．弦与品柱相交，品柱与品柱互相平行（如图①），其部分截图如图②所示，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、由推出和的对顶角互补，得到和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意；
B、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出和互补，和不一定相等，故此选项不符合题意；
C、和不是同旁内角，由不能判定，故此选项不符合题意；
D、由两直线平行，同旁内角互补，邻补角的性质推出，故此选项符合题意．
故选：D．
【分析】根据由平行线的性质“两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等”逐项判定即可．
10．如图，AB CD，∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（　　）
A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°
C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°
【答案】A
【解析】【解答】解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，
∵∠ABE＝ ∠EBF，∠DCE＝ ∠ECF，∠ABE＝α，
∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，
∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，
即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，
∴∠ECD＝β﹣α，
∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，
即4β﹣α+γ＝360°，
故答案为：A．
【分析】过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，根据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，根据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可。
二、填空题
11．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查利用平行线的性质，求角度，根据，得到，结合对顶角相等，得到，即可得出结果．
12．用两个相同的三角板如图所示摆放，直线a∥b，画图依据是：　 　．
【答案】内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：如图：
由题意得：∠1=∠2，
∴a∥b（内错角相等，两直线平行），
故答案为：内错角相等，两直线平行．
【分析】利用平行线的判定方法求解即可。
13．某商场重新装修后，准备在门前台阶上铺设地毯，已知这种地毯的批发价为每平方米40元，其台阶的尺寸如图所示，则购买地毯至少需要　 　元．
【答案】192
14．如图，一把直尺沿直线断开并错位，点E、D、B、F在同一直线上，若∠ADE=145°，则∠DBC的度数为　 　．
【答案】35°
【解析】【解答】解：延长CB，解：延长CB，
∵AD∥CB，
∴∠1=∠ADE=145°，
∴∠DBC=180°﹣∠1=180°﹣145°=35°．
故答案为：35°．
【分析】延长CB，根据平行线的性质求得∠1的度数，则∠DBC即可求得．
15．∠A的两边与∠B的两边互相平行，且∠A比∠B的2倍少15°，则∠A的度数为　 　．
【答案】15°或115°
【解析】【解答】解：根据题意，得
或
解方程组得∠A=∠B=15°或∠A=115°，∠B=65°．
故答案为：15°或115°．
【分析】如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补，由∠A比∠B的3倍小20°和∠A与∠B相等或互补，可列方程组求解．
16．如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD=　 　．
【答案】15°或30°或90°
三、综合题
17．如图，直线AB与CD相交于点O， ，射线OE从OC开始绕点O按顺时针方向旋转到OB．
（1）当 时，求 的度数．
（2）当OE平分 时，求 的度数．
【答案】（1）解：∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，∴ ．
∵OE平分 ，∴ ．
∵ ，
∴ ．
【解析】【分析】(1)根据垂直得出∠BOE =90°，再根据对顶角的性质得出∠BOD= 30°，然后根据角的和差关系计算即可；
(2)根据邻补角的性质求出∠COB，根据角平分线的定义求出∠BOE，然后根据角的和差关系计算即可.
18．已知如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，AC为对角线，BM∥AC，过点D作 DE∥CM，交AC的延长线于F，交BM的延长线于E．
（1）求证：△ADF≌△BCM；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四边形ABED的面积（用含a的代数式表示）．
【答案】（1）证明：在平行四边形ABCD中，则AD＝BC，AD//BC，
∵AC∥BM，∴∠AFD＝∠E，∠DAF=∠ACB，
∵CM∥DE，∴∠BMC＝∠E，
∴∠BMC＝∠AFD，
∵AC∥BM，
∴∠ACB=∠MBC，
∴∠FAD＝∠MBC，
则在△ADF与△BCM中．
，
∴△ADF≌△BCM（AAS）．
（2）解：在△ACD中，
∵AC⊥CD，∠ADC＝60°，
∴CD＝ AD＝ a，
则AC＝ a，
∵AC=2CF，
∴CF= a，
∴AF＝ = = a，
又由△ADF≌△BCM，可得BM＝ a，
又∵DE∥CM，BM∥AC，
∴CFEM为平行四边形，
∴EM=CF= a，
∴BE=BM+EM= a+ a= a，
又∵AC⊥DC，
∴DC为△ADF高，
又∵△ADF≌△BCM，
∴△ADF的高的长度等于DC，
SABED＝S△ADF＋SABEF
＝ AF CD＋ （AF＋BE） CD
＝ × a× a＋ （ a＋ a）× a
＝ a2．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质即可得到∠BMC=∠AFD，∠FAD=∠MBC，即可得到答案；
（2）根据题意，将四边形ABED的面积分解为△ADF的面积和四边形ABEF的面积，求出答案即可。
19．已知：，、是上的点，、是上的点，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，为的角平分线，交于点，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，作的角平分线交于点，若平分，且比的多，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：如图所示，过点作，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即
∴．
（3）解： 如图所示，
设，则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故的度数为．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠AEF＝∠EFH，由等量代换可得∠AEF＝∠EGH，最后根据平行线的判定可得EF∥GH；
（2）过点N作NR∥CD，根据平行线的性质可得∠NFH＝∠FNR，∠ENR＝∠NEB，由角平分线的定义可得∠NEF＝∠NEB，利用等量代换可得∠ENR＝∠NEF，最后根据平行线的性质可得∠HPN＝∠NEF，利用等量代换可得∠ENR＝∠HPN，由角的和差关系可得，等量代换即可得出结论；
（3）如图3，过点N作NR∥CD，设，则，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，利用平行线的性质和等量代换可得，由平角的定义可得根据垂线的定义可得∠M＝90°，利用平行线的性质可得∠EFM+∠M＝180°，从而求出∠EFM＝90°，最后根据平行线的性质和角平分线的定义可得求出，即可得到∠AEF的答案
20．如图，在△ABD中，点C是边BD上一点，点E是△ABD外一点，连结AC、AE、CE，使得CE∥AB，且∠EAC＝∠BAD.
（1）∠ACE与∠EAD相等吗？请说明理由.
（2）若AE∥BD，∠BAC＝2∠CAD，∠D＝48°，求∠B的度数.
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
.
（2）解：，，
，，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】(1)通过角的和差得到相等，再利用平行线的性质证明相等.
(2)本题主要考查了平行线的性质，熟练转换角之间的等量关系是解题关键.
21．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，其对称轴为直线AC．
（1）试在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边；
（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A′B′C′D′．
【答案】（1）解：点D以及四边形ABCD另两条边如图所示．
（2）解：得到的四边形A′B′C′D′如图所示
【解析】【分析】（1）画出点B关于直线AC的对称点D即可解决问题．（2）将四边形ABCD各个点向下平移5个单位即可得到四边形A′B′C′D′．本题考查平移变换、轴对称的性质，解题的关键是理解轴对称的意义，图形的平移实际是点在平移，属于基础题，中考常考题型．
22．如图，已知AB∥CD，∠A=40°，点P是射线B上一动点（与点A不重合），CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD，分别交射线AB于点M，N．
（1）求∠MCN的度数．
（2）当点P运动到某处时，∠AMC=∠ACN，求此时∠ACM的度数．
（3）在点P运动的过程中，∠APC与∠ANC的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值：若变化，请找出变化规律．
【答案】（1）解：∵A B∥CD，
∴∠ACD=180°﹣∠A=140°，
又∵CM，CN分别平分∠ACP和∠PCD，
∴∠MCN=∠MCP+∠NCP= （∠ACP+∠PCD）= ∠ACD=70°，
故答案为：70°．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AMC=∠MCD，
又∵∠AMC=∠ACN，
∴∠MCD=∠ACN，
∴∠ACM=∠ACN﹣∠MCN=∠MCD﹣∠MCN=∠NCD，
∴∠ACM=∠MCP=∠NCP=∠NCD，
∴∠ACM= ∠ACD=35°，
故答案为：35°．
（3）解：不变．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠APC=∠PCD，∠ANC=∠NCD，
又∵CN平分∠PCD，
∴∠ANC=∠NCD= ∠PCD= ∠APC，即∠APC：∠ANC=2：1．
【解析】【分析】（1）由AB∥CD可得∠ACD=180°-∠A，再由CM、CN均为角平分线可求解；（2）由AB∥CD可得∠AMC=∠MCD，再由∠AMC=∠ACN可得∠ACM =∠NCD（3）由AB∥CD可得∠APC=∠PCD，再由CN为角平分线即可解答．
23．现有一块含角的直角三角尺，是直角，其顶点在直线上，请解决下列问题：
（1）如图1，请直接写出、的数量关系；
（2）如图2，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，请写出图中分别与、相等的角，并说明理由；
（3）如图3，平分，将直角三角尺绕着点旋转，当时，请直接写出与直线所成锐角的度数．
【答案】（1）解：由题意得：∠AOB=90°，
∵∠1+∠AOB+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°.
（2）解：∠1=∠OBD，∠2=∠OAC，理由如下：
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACO=∠BDO=90°.
∴∠1+∠OAC=90°，∠2+∠OBD=90°.
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠OBD，∠2=∠OAC.
（3）60°
【解析】【解答】解：（3）解：由题意得：∠B=30°，∠AOB=90°，
∴∠OAB=180°－30°－90°=60°.
∵平分，
∴∠OAC=∠CAB=30°.
当AC//l 时，如图：
则∠OAC=∠AOD=30°，
∴∠BOE=90°－30°=60°.
即与直线所成锐角的度数为60°.
故答案为：60°.
【分析】（1）由题意得：∠AOB=90°，再根据平角的定义即可得到结论；
（2）由AC⊥l，BD⊥l，可得∠ACO=∠BDO=90°.再由直角三角形的两锐角互余可得∠1+∠OAC=90°，∠2+∠OBD=90°，结合（1）的结论即可得到答案.
（3）根据题意和角平分的性质求得∠OAC的度数，再结合（1）的结论即可得到答案.
24．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．
（1）小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=　 　．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．
（2）当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．
【答案】（1）110°
（2）解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（3）解：当P在BA延长线时，∠CPD=∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE﹣∠DPE=∠β﹣∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE﹣∠CPE=∠α﹣∠β．
【解析】【分析】解：过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=180°﹣∠A=50°，∠CPE=180°﹣∠C=60°，
∴∠APC=50°+60°=110°，
故答案为：110°；
∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
（1）如图3，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β﹣∠α；
理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE﹣∠DPE=∠β﹣∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α﹣∠β．
理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，
∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE﹣∠CPE=∠α﹣∠β．
【分析】首先过P作PE∥AB，然后依据平行线的性质可得到∠APC=50°+60°=110°．
（1）过P作PE∥AD交CD于E，依据平行公理的推理可得到AD∥PE∥BC，接下来，再依据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）首先画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），然后根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.
25．如图，已知直线AB∥CD∥EF，∠POQ=90°，它的顶点O在CD上，两边分别与AB、EF相交于点P，点Q，射线OC始终在∠POQ的内部．
（1）求∠1+∠2的度数；
（2）直接写出∠3与∠4的数量关系：　 　．
（3）若∠POQ的度数为α，且0°＜α＜180°，其余条件不变，则∠3与∠4的数量关系为　 　．（用含α的式子表示）
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠POC，
∵CD∥EF，
∴∠2=∠QOC，
∵∠POQ=∠POC+∠QOC=90°，
∴∠1+∠2=90°；
（2）270°
（3）∠3+∠4=360°﹣α
【解析】【解答】（2）∵∠1+∠3=180°，∠4+∠2=180°，
∴∠1+∠3+∠4+∠2=360°，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=270°；
（ 3 ）∵AB∥CD，
∴∠1=∠POC，
∵CD∥EF，
∴∠2=∠QOC，
∵∠POQ=∠POC+∠QOC=α，
∴∠1+∠2=α；
∵∠1+∠3=180°，∠4+∠2=180°，
∴∠1+∠3+∠4+∠2=360°，
又∵∠1+∠2=α，
∴∠3+∠4=360°﹣α．
故答案为：（2）270°；（3）∠3+∠4=360°﹣α．
【分析】根据平行线的传递性，和平行线的性质，总结出结论.
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