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河南省天一大联考2025届高三考前模拟考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，则( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.已知向量，，若，则实数( )
A. B. 1 C. D. 2
4.某城市地铁隧道的宽为8m，为增强隧道的承重能力，需在底部铺设一层厚度为30cm的钢筋混凝土垫层.若铺设钢筋混凝土垫层的费用为1800元，则铺设1km钢筋混凝土垫层的费用为( )
A. 324万元 B. 432万元 C. 540万元 D. 648万元
5.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.记等差数列的前n项和为，若，，则( )
A. 12 B. 21 C. 28 D. 36
7.已知函数恰有一个零点，则实数( )
A. 1 B. C. 0 D.
8.已知函数的图象经过，两点，且，则的最小值为( )
A. B. C. 1 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 各项的二项式系数之和为256 B. 的系数为
C. 各项系数之和为1 D. 奇数项的二项式系数之和为128
10.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，BC边上的高为2，则( )
A. B.
C. 的周长为 D. 的面积为3
11.设函数，则( )
A. 的极大值为2
B. 当时，
C. 图象上任意一点P处的切线与的图象恒有两个公共点
D. 方程有且仅有5个不同的实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 .
13.已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的方程是 .
14.将除颜色外其余完全相同的2颗黑棋子和2颗白棋子全部任意放在如图所示的12个格子内，每个格子内至多放1颗，则相同颜色的棋子既不同行也不同列的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
如图，在正三棱锥中，，D为BC的中点.
Ⅰ求证：
Ⅱ求二面角的余弦值.
16.本小题15分
已知椭圆C的中心与坐标原点O重合，为C的一个焦点，且点在C上.
Ⅰ求C的方程及离心率;
Ⅱ设点P为C在第一象限的部分上一点，求四边形OFPB面积的最大值.
17.本小题15分
投掷一枚六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的均匀正方体骰子4次，得到向上的点数分别为a，b，c，
Ⅰ求，且的概率;
Ⅱ记a，b，c，d中不同数的总个数为如当时，，求X的数学期望
18.本小题17分
已知函数与的图象相交于，两点.
Ⅰ求的图象在点处的切线方程;
Ⅱ若有极小值1，求m的值;
Ⅲ求证：
19.本小题17分
若对于任意的，为数列中小于k的项的个数，则称数列是的“生成数列”.
Ⅰ分别写出数列1，0，3，4及，，2，的“生成数列”的前4项;
Ⅱ若数列满足，且的“生成数列”为，求
Ⅲ若为等比数列，且，公比，的“生成数列”为，的“生成数列”为，求
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由 ，
所以M
故选： D
2.【答案】A
【解析】解：将方程两边同乘2z得：，
整理得：，
则 ，

故选
3.【答案】C
【解析】详解：，，所以，，
所以，解得。
4.【答案】B
【解析】解：由题得垫层为长方体，长，宽，高，
则体积为：，
总费用为：万元，
故选
5.【答案】A
【解析】解：双曲线 的离心率为 ，
可得 ，即 ，
可得 ，
由题意得双曲线的渐近线方程为 ，即为 ，
即为
故选
6.【答案】C
【解析】解：已知，，所以，
，解得
7.【答案】A
【解析】由得，
而
故为偶函数.
由对称性，，从而
当时，
当时，，即无零点，
由对称性，时，也无零点，从而仅有一解，即满足题意.
8.【答案】D
【解析】由代入得：，即为整数
由代入得：，即为整数
联立两式消去，得：
因为，
则，
结合为整数
得到k为奇数
代入得约束条件：

求解表达式中的最小正值
当，时，满足所有条件，且为选项中的最小值，
故选
9.【答案】ACD
【解析】解：选项A：二项式系数之和为，故A正确；
选项B：展开式的通项为，
令，则的系数为，故B错误；
选项C：令，得各项系数之和为，故C正确；
选项D：奇数项的二项式系数和为，故D正确.
10.【答案】AB
【解析】解：已知，由正弦定理得到：，
，因为，
代入上式可得：，
，因为，所以，得到，则，故选项 A正确。
由，且，因为，，所以，
可得，。
已知，由正弦定理得，则，。
，
因为，所以。
设BC边上的高为，因为，，已知，，则，，选项B正确。
因为，，，根据勾股定理，
的周长为，故选项C错误。
的面积，故选项D错误。
11.【答案】ABD
【解析】解：选项A：，求导数，令，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，取极大值， 选项A正确；
选项B：在区间内，极大值点，极小值点，
端点值，，因此，，选项B正确；
选项C：取，切线方程为， 联立方程，仅交于，
说明此时切线与曲线仅有一个公共点，选项C错误；
选项D：解方程，先解，
因式分解得，解为和双重根，
时，解：，双重根；
当时，解：，
构造函数，可得，
由选项A的分析易得该方程存在三个不同实根分布在三个区间
综上，总根数为来自加来自，共5个不同实根，选项D正确.
12.【答案】
【解析】由，知，代入展开式：
由，得，代入得值为
13.【答案】
【解析】点和点的中点为，
点和点的斜率为，
则点和点的垂直平分线的斜率为，
可得点和点的垂直平分线的方程为
设圆心为，由题意联立方程：
解得，，半径，圆方程为。
14.【答案】
【解析】总放法数：
符合条件的放法数：两黑棋不同行不同列有36种，两白棋在剩余10格中共有，同行的有，同列的有，所以不同行不同列有种，
故概率为。
15.【答案】Ⅰ证明：因为，D为BC的中点.所以，
因为正三棱锥中，，D为BC的中点.所以，
又平面PAD，
所以平面PAD，平面PAD，
所以
Ⅱ解：过B作，连接DE，
因为，BD，BE是平面BDE内的两条相交直线，
所以平面BDE，平面BDE，
所以，所以为二面角的大小，
设，则，
所以等腰三角形PAB的底边上的高为，
，，
，
所以二面角的余弦值为

【解析】详细解答和解析过程见【答案】
16.【答案】解：Ⅰ由题可设C的方程为，C的半焦距为，
则，，，
所以C的方程为，
离心率；
Ⅱ设点，，
则
其中为锐角，且，
当时，四边形OFPB的面积取得最大值，且最大值为
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
17.【答案】解：Ⅰ所有组合共有种，
若，则b可取1，若，则b可取1，2，若，则b可取1，2，3，
若，则b可取1，2，3，4，
若，则b可取1，2，3，4，5，
故满足的情况数为 ，
因此，事件的概率也为，由于两事件独立，所求概率为 ；
Ⅱ由题可知X的所有可能取值为1，2，3，
，
，
，
，
所以
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
18.【答案】解：Ⅰ由题可知，则，
又，
故的图象在点处的切线方程为，即
Ⅱ由题可知，
当时，，极小值不可能为1，不符合题意;
当时，设在时取得极小值1，
则①，
且，即②，
由②得，代入①，得，
因为，
所以，解得或，
当时，代入①，得，矛盾，舍去，
当时，代入①，得，
则，，
令，则，
令，得，
当时，，即在上单调递增，
又，
所以当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在时有极小值
综上可得
Ⅲ因为，
所以，
又，
所以，
不妨设，，
令，
则，
故为增函数，
所以当时，，
则，
即
【解析】详细解答和解析过程见【答案】
19.【答案】解：Ⅰ由生成数列的定义可知：数列1，0，3，4的“生成数列”的前4项是1，2，2，3；
数列，，2，的“生成数列”的前4项是0，2，4，4；
Ⅱ为2，4，6，8，，
则中小于1的项的个数，小于2的项的个数，
小于3的项的个数，小于4的项的个数，
小于5的项的个数，小于6的项的个数，，
在中，当n为奇数时，设，，
则小于的偶数有个，
所以
当n为偶数时，设，，
则小于2k的偶数有个，
所以，
所以；
Ⅲ因为为等比数列，且，公比，
所以
下面我们来证明：
因为表示中小于k的项的个数，表示中小于的项的个数，
所以易得，
即，
设，
由，，可得，，
又因为，
所以，
所以
【解析】详细解答和解析过程见【答案】

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