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2024-2025 学年福建省泉州市高一（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个几何体由 5 个面围成，则该几何体可能是( )
A.三棱锥 B.四棱柱 C.三棱台 D.五棱锥
2 3.已知 ， ， 分别为△ 三个内角 ， ， 的对边，且 = 3， = 5， = 4，则 =( )
A. 5 B. 5 C. 2 5 D. 4 54 3 9 9
3 1.若 ， 均是单位向量，且 = 3，则|2 3
| =( )
A. 6 B. 3 C. 6 D. 9
4 = 7

.已知复数 3 4 ，则 在复平面内对应的点位于( )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
5 1 .把函数 ( ) = cos( 2 + 8 )的图象向右平移 个单位长度后得到偶函数 ( )的图象，则 的最小正值为( )
A. 8 B. 16 C.

2 D.

4
6.在正四棱台 1 1 1 1的 12 条棱所在的直线及直线 ， 1 1， 1 1中，与直线 是异面直线的
直线共有( )
A. 6 条 B. 7 条 C. 8 条 D. 9 条
7.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < ) [0, ] [ 7 2 在 3 上单调递增，在 3 , 12 ]上单调递减，且 (0) +
( 6 ) = 0，则 =( )
A. B. C. 6 6 3 D.

3
8.在平行四边形 中， = 3， = 2，∠ = 60°， 为线段 上靠近 的三等分点，线段 与
相交于点 ，则 cos∠ =( )
A. 19 B. 19 C. 19 D. 1938 38 19 19
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.质量是向量
B.相等向量的起点不一定相同
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C.物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量
D.若某质点受到 1， 2， 3的作用处于平衡状态，则 1 + 2 + 3 = 0
10.△ 的内角 ， ， = 的对边分别为 ， ， ，若满足 4， = 8 的△ 有两解，则 的值可能为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 6， 是 的中点， 是正方体
1 1 1 1的表面及其内部一动点，则下列说 法正确的是( )
A.正方体 1 1 1 1内切球的表面积为 36
B.若 = 3，则动点 的轨迹与该正方体围成的较小部分的体积为 9
C.若点 是△ 1 1的外心，则 1 = 36
D.若动点 满足 = + 1( + = 1)，则 + 1的最小值为
3 7 + 2 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 175° 55°.1+ 175 55 的值为______．
13.如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形 的直观图，其中
′ ′// ′ ′， ′ ′ = 2 ′ ′ = 8，梯形 ′ ′ ′ ′的面积
为 30，则梯形 的高为______．
14.某日 12：00 甲船以 24 / 的速度沿北偏东 60°的方向驶离码头 ，
下午 1：00 乙船沿东偏南 49°的方向匀速驶离码头 ，下午 5：00 甲船到达 地，乙船到达 地，且 在 的
西偏南 67° 3 9的方向上，则乙船的航行速度是______ / . (取 37° = 5， 64° = 10 )
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 2 2 + ( 2 7 + 10) ， ∈ ．
(1)若 为实数，求 ；
(2)若 为虚数，求 的取值范围；
(3)若 为纯虚数，求 ．
16.(本小题 15 分)
如图，在平行四边形 中， = 3 ， = 4 ， = ．
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(1)用 ， 表示 ， ；
| (2) | = 3若 4，判断△ 的形状，并用向量的方法证明你的结论．| |
17.(本小题 15 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 11， = 6，求△ 的面积．
18.(本小题 17 分)
如图，长方体 1 1 1 1的长、宽、高分别为 ， ，2，且 ≥ ， + = 2．
(1)当底面 为正方形时，求长方体 1 1 1 1的表面积和体积；
(2)求三棱锥 1 1 体积的最大值；
(3)记三棱锥 1 1

外接球的表面积为 1，底面 的面积为 2，求 1 的取值范围．2
19.(本小题 17 分)
设 为非空数集，实数 满足以下两个条件：(ⅰ) ∈ ， ≤ ；(ⅱ)对任意给定的 > 0，总存在 0 ∈ ，
使得 0 + > .这时，称 为集合 的上确界．
(1) 直接写出集合 1 = { | = 3 2 , 8 ≤ ≤ 8 }的上确界．
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(2)在函数 ( ) = sin( + )与 ( ) = 3cos( + )( > 0, > 0)的图象的交点中，距离最短的两个交
点的距离为 2 3．
①求 ；
②求集合 2 = { | = 3 ( ) + (
3 ), 7 3 2 2 < <
13
2
3
}的上确界，并证明你的结论．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.10 2
14.20
15.(1)复数 = 2 2 + ( 2 7 + 10) ， ∈ ，
若 为实数，则 2 7 + 10 = 0，即 = 2 或 = 5；
(2)若 为虚数，则 2 7 + 10 ≠ 0，即 ≠ 2 且 ≠ 5，
∴ 的取值范围为( ∞,2) ∪ (2,5) ∪ (5, + ∞)；
2
(3)若 为纯虚数，则 2 = 02 ，即 = 0． 7 + 10 ≠ 0
16.(1)如图，取 的中点 ，
因为在平行四边形 中， = 3 ， = 4 ， = ，
所以 为 //的中点， ，
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所以 = + = 1 2 +
；
= + = 1 4 + ；
(2)由(1)可得，
= + = 1 1 4 + 3 ，
= + = 2 + 1 3 2 ，
| | = 3又 4，| |
设| | = 3 , | | = 4 ，( > 0)，
2 1 2 2
所以 = ( 4
+ )2 = 1 1 16 + 2
+ = 2 + 9 2 + 1 ，2

2 2
= 1 1 1
2 2 1
16 6 + 9 = 6
+ 2，
2 2
= 4 + 2 + 1
2
9 3 4 = 4
2 + 2 2，3 + 4
2所以 =
2
+
2
，
即△ 为直角三角形．
17.(1)因为 2 = 0，
所以 2 = 0，
因为 > 0，
所以 2 = 0，即 = 22 ，
= 1 = 1故 1+tan2 1 =
6
；
1+ 32
(2)若 = 11， = 6，
2 2 2 2
则 = 6 = + = 6+ 113 2 2 6 ，
解得 = 5，
2 3
因为 = 1 cos2 = 1 3 = 3 ，
则△ = 1 = 1 × 6 × 5 × 3 = 5 2的面积 2 2 3 2 ．
18.(1)因为底面 为正方形，所以 = = 1，
则长方体 1 1 1 1的表面积为 2 × 1 × 1 + 4 × 1 × 2 = 10，体积为 1 × 1 × 2 = 2；
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(2)由图可知 1 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= 2 1 × 1 2 2 + 2 23 2 × 2 × 4 = 3 ≤ 3 ( 2 ) = 3，
当且仅当 = = 1 时，等号成立，
2
故三棱锥 1 1 体积的最大值为3．
(3)由题可知，三棱锥 1 1 的外接球即长方体 1 1 1 1的外接球，
设该外接球的半径为 ，
则 2 = 2 + 2 + 4，
所以 1 = 4 2 = ( 2 + 2 + 4)， 2 = ，
1 = (
2+ 2+4) [ 2+ 2+( + )2] 2 2
则 2
= = ( + + 2)．
= 令 ，则 ≥ 1，
1
= 2 ( +
1
+ 1)．2
因为 + 1 ≥ 2，当且仅当 = 1，
即 = = 1 时，等号成立，

所以 1 的取值范围为[6 , + ∞)．2
19.(1)由于 ≤ ≤ 8 8，
∴ 4 ≤ 2 ≤

4 , 2 ∈ [ 1,1]，
进而 1 = [ 3,3]，故 1 = { | = 3 2 ,

8 ≤ ≤

8 }的上确界为 3．
(2)由 ( ) = ( )可得 sin( + ) = 3cos( + )，故 tan( + ) = 3，则 + = 3 + , ∈ ，
设距离最短的两个交点为 ( 1, ( 1))， ( 2, ( 2))，
则 1 + =

3 + , 2 + =
4
3 + , ( ∈ )，

因此 | 1 2| = ，即| 1 2| = ，
得| ( 4 1) ( 2)| = |sin( 3 + ) sin( 3 + )| = 3, ∈ ，
则| | = ( 21 2) + [ ( 1) ( 2)]2 = (
2
) + 3 = 2 3，

解得 = 3，
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②由题意可得 = 3sin( 3 + ) + 3cos[
3
3 ( 2 ) + ] = 3sin(

3 + ) + 3cos(

3 2 + ) =
2 3sin( 3 + )，
7 3
由2 < <
13 3 2 得3 + ∈ (
7
6 ,
13
6 )，
所以 = 2 3sin( 3 + ) ∈ [ 2 3, 3)，故 2 = [ 2 3, 3),
接下来证明 3是 2的上确界，
∈ 2, ≤ 3，
对任意给定的 > 0，若 0 < < 3 = 3 ，可取 0 2 ∈

2，使得 0 + = 3 + 2 > 3，
若 ≥ 3，可取 0 = 1 ∈ 2，使得 0 + = 1 + > 3，
综上可得 2的上确界是 3．
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