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第10天 特殊的四边形
易错易混
1．矩形
（1）不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形才是矩形，矩形是特殊的平行四边形．
用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．
（2）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．
2．不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．
3．菱形
（1）菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等．
（2）在求菱形的面积时，要根据图形特点及已知条件，灵活选择面积公式来解决问题．
（3）在利用对角线长求菱形的面积时，要特别注意，不要漏掉计算公式中的拓展任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都等于两条对角线长乘积的一半．
方法技巧
1．判定矩形的常见思路
（1）
（2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．
（3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．
2．菱形中的等面积法
因为菱形的面积既等于一边这条边上的高，又等于两条对角线长乘积的一半，所以在求菱形一条边上的高时，我们可以借助等面积法求解
3．确定中点四边形的形状的方法
任意四边形的中点四边形都是平行四边形；对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形．
强化训练
一．选择题（共12小题）
1．已知正方形ABCD的边长为2，E为BC延长线上一点，且CE=2，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形ABCD中，E、F分别为CD、AB上的点，且ED=2BF，连结CF、EF、DF，其中∠CFE=∠CDF，CF=2，则DF=（　　）
A． B．3 C． D．
3．如图：菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16，BD=12，求菱形ABCD的高DH的长是（　　）
A．10 B．96 C．9.6 D．以上都不对
4．如图，已知E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是（　　）
A．8 B． C． D．4
5．如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AC与BD交于点O，E是BC边的中点，EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．8
6．如图，长方形ABCD中，AE平分∠BAC，交BC于点E，EF垂直平分AC，分别交AC，AD于点O和F，若EO=2，则长方形ABCD的周长为（　　）
A． B． C．18 D．19
7．如图，已知四边形ACBD是矩形，点B在直线MN上，若BD平分∠ABN，则下列结论不能推出的是（　　）
A．BC平分∠ABM B．CD∥MN
C．△BOC是等边三角形 D．∠COB=2∠ABD
8．如图，在正方形ABCD中，连结AC，点E是线段AC上一点（CE＜AE），连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F，连结BF，AE2+CE2=6，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点．若AB=8，OM=3，则线段OB的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．1
10．如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE为边向下作正方形DEFG．则DE+CG+CF的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
11．（2025 浙江二模）如图，矩形ABCD，点E在边AD上，连结BE，CE．若AB=3，BC=BE=5，则CE的长为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在边长为5的正方形ABCD中，BE=AF=3，连接AE，DF交于点H，连接AC交DF于点G，连接BG交AE于点M，则HM=（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．如图，等边△ADE的顶点E与矩形ABCD的中心重合，若AB=2，则AE的长为 ______．
14．已知：如图，正方形ABCD中，点E、M、N分别在AB、BC、AD边上，CE=MN，∠MCE=35°，求∠ANM的度数______．
15．如图，在正方形ABCD中，点E是DC边的中点，FG⊥AE分别交AD，BC边于点F，G．若AB=4，则FG的长为 ______．
16．如图，在菱形ABCD中，点O为对角线BD的中点，点P为平面内一点，且，则∠BPD=______°，若．连接AP，则AP的最大值为______．
17．如图，在正方形ABCD中，AB=3，点F是AB边上一点，点E是BC延长线上一点，AF=CE，BF=2AF．连接DF、DE、EF，EF与对角线AC相交于点G，则线段BG的长是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，菱形ABCD对角线AC与BD的交于点O，CD=10，OD=6，过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．
（1）则OC的长 ______．
（2）求证：四边形OBEC是矩形．
19．如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF=BE，连接DF，AF与DE交于点O．
（1）求证：四边形AEFD为矩形；
（2）若AB=6，OE=4，∠BAE=∠DEF，求BF、DF的长．
20．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作CE∥OD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形．
（2）若AB=8，∠ABC=60°，求矩形OCED的面积．
21．（2025 蚌埠三模）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，过点D作AC的垂线，交BC于点E，垂足为点F，过点E作EG∥AC交AB于点G，连接GD交AC于点H，且∠GDE=45°．
（1）求证：△GBE≌△ECD；
（2）若BC=2，求CD的长；
（3）求证：AH=FC．
22．如图， ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在边AD上，延长EO交BC于点F，连接BE、DF，∠CBD与∠DEF互余．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）再选择添加以下条件中的一个且只添加一个，能使菱形BEDF为正方形的是______（填序号），并请加以证明．
①AC=2OE；
②；
③AE=3，BE=4，CD=5．
第10天 特殊的四边形
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、A 3、C 4、B 5、A 6、A 7、C 8、B 9、A 10、D 11、A 12、D
二．填空题（共5小题）
13、； 14、55°； 15、2； 16、90；； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、（1）解：∵菱形ABCD对角线AC与BD的交于点O，
∴AC⊥BD，
在Rt△COD中，CD=10，OD=6，则由勾股定理可得，
故答案为：8；
（2）证明：∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC是平行四边形，
由（1）知AC⊥BD，即∠BOC=90°，
∴四边形OBEC是矩形．
19、（1）证明：∵BE=CF，
∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AD=BC=EF，
又∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）解：∵四边形AEFD为矩形，
∴，
∴AF=DE=2OE=8，OA=OF=OD=OE，
∴∠DEF=∠AFE，
又∵∠AEF=90°，
∴∠EAF+∠AFE=90°，
又∵∠BAE=∠DEF，∠DEF=∠AFE，
∴∠BAE+∠EAF=90°，
∴∠BAF=90°，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF2=AB2+AF2=62+82=100，
∴BF=10，
∵，
∴，
解得AE=4.8，
∴DF=AE=4.8．
20、（1）证明：∵CE∥OD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=8，
又∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=8，
∴，
在Rt△OCD中，由勾股定理得，
∴．
21、（1）证明：在矩形ABCD中，∠B=∠ECD=90°，
∵DE⊥AC，EG∥AC，
∴∠GED=90°，
∵∠GDE=45°，
∴GE=DE，
∵∠BEG+∠CED=∠EDC+∠CED=90°，
∴∠BEG=∠EDC，
在△GBE和△ECD中，
，
∴△GBE≌△ECD（AAS）；
（2）解：由（1）知△GBE≌△ECD，
∴BE=CD，
∵∠EDC+∠ADF=∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠EDC=∠DAC，
又∵∠ECD=∠ADC=90°，
∴△DEC∽△ACD，
∴，
∴CD2=EC AD，即BE2=EC BC，
设BE=CD=x,则x2=2（2-x），
解得，（舍去），
即；
（3）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，AC∥GE，
∴△AGH∽△CDH，△ECF∽△DAF，△DHF∽△DGE，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴AH=FC．
22、（1）证明：∵ ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
∴BO=DO，AD∥BC，
∴∠BDE=∠CBD，∠OED=∠OFB，
∴△OED≌△OFB（AAS），
∴OF=OE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵∠CBD与∠DEF互余．∠DEF=∠BFO，
∴∠CBD与∠BFO互余．
∴∠BOF=90°，
即FE⊥BD，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）添加②，
证明：∵FE⊥BD，
∴DE2=DO2+OE2，
∴，
∴，
解答，
∴OE=OD，
∴BD=2OD=2OE=EF，
∴菱形BEDF是正方形，
添加③AE=3，BE=4，CD=5，
∵AE2+BE2=32+42=25=CD2=AB2，
∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°，
∴∠BED=90°，
∴菱形BEDF是正方形，
故答案为：②或③．

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