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第11天 圆
易错易混
圆中容易混淆的“两组基本概念”
1．弦与直径：
（1）弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦．
（2）直径是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径．
2．弧与半圆：
（1）圆上任意两点分圆成两段弧，圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条孤，每一条弧叫作半圆．
（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆．
方法技巧
1．圆中求线段的长度
解题思路：将圆中有关线段的问题转化到直角三角形中解决．
解题方法：根据垂径定理，过圆心作弦的垂线，连接半径，利用圆心到弦
2．圆与正多边形
垂线段、过弦端点的半径以及弦长的一半构造直角三角形，进而解决问题．
求圆内接正多边形的半径、边心距或边长时，通常从正多边形的中心向一边作垂线，连接半径构造直角三角形，综合运用垂径定理和勾股定理解决问题．
3．垂径定理应用中常作的辅助线：
（1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形；
（2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形．
4．计算圆心角和圆周角时的注意事项：
（1）在进行有关圆心角与圆周角的计算时，应适当添加辅助线，以方便角度之间的转化．一条弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有无数个，它们都相等；
（2）一条弦所对的圆心角只有一个，但它所对的圆周角却有无数个，在同一条弦的同侧的圆周角相等，在同一条弦的异侧的两个圆周角互补．
强化训练
一．选择题（共12小题）
1．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=37°，则∠ABD等于（　　）
A．53° B．57° C．63° D．67°
2．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接OA，OB，BC．若AO=5，OP=10，则∠C等于（　　）
A．60° B．20° C．30° D．45°
3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，BO∥CD，∠A=25°，则∠O=（　　）
A．120° B．130° C．100° D．125°
4．如图，在⊙O中，直径AB交CE于点F，CD过点O且与BE互相垂直，若∠DCE=α，则∠B的度数为（　　）
A．90-2α B．45° C．45°-α D．2α
5．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点H，E是⊙O上的点，若∠BAD=35°，则∠BEC的度数为（　　）
A．70° B．50° C．35° D．17.5°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC=65°，分别连接AC，BD，若
AC=AD，则∠DBC的度数为（　　）
A．50° B．55° C．65° D．70°
7．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D、E，连接AC、BC，若AD=1，CD=2，则△ABC的面积为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
9．如图，在矩形ABCD中，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AD于点E．以E为圆心，AE长为半径画弧，与BC相切于点F．若AB=1，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，点A的坐标为（-3，3），点P的坐标为（1，0），点B的坐标为（-1，0），⊙A的半径为1，C为圆上一动点，Q为BC的中点，连接PC，OQ，则OQ长的最大值为（　　）
A．5 B．2.5 C．6 D．3
11．如图，已知AB是⊙O的直径，E为CD的中点，CD=BC，若OB=2，则AE的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
12．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA=12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　）
A．8 B．12 C．16 D．18
二．填空题（共5小题）
13．为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角板按如图所示放置于桌面上，其中光盘与直尺、三角板均相切，点A是三角板的一个顶点，B是光盘与直尺的切点．测量得AB=6cm,则这张光盘的直径是 ______cm.
14．如图，AB与⊙O相切于点A，连接OA，点C在⊙O上，连接BC并延长BC交⊙O于点D，连接DO，若∠AOC=80°，∠DOC=40°，则∠B=______度．
15．如图，BD是⊙O的直径，点A在DB的延长线上，AC是⊙O的切线，C为切点，连结CO，CD，若∠D=25°，则∠A的度数为 ______．
16．如图，⊙O的半径是，AB是⊙O直径，过半径OB的中点C作DE⊥OB交⊙O于D、E，点F在⊙O上，连接FD，过点A作HA⊥AB交FD的延长线于H，若，则线段AH的长为______，线段EF的长为______．
17．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC为锐角，AB=5，点E、F分别是BC、AD上的点，连接AE、BF交于点M，以AE为直径的圆O交BM于点G，且，∠DAE+∠C=180°，则GE=______；若BE=6，BG=______．
三．解答题（共5小题）
18．（2025 庐阳区校级二模）如图，在⊙O中，AC是弦，AB是直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于F，过O作AB的垂线交AC于D，交FC的延长线于E．
（1）求证：EC=ED；
（2）若，，求CE长．
19．如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上一动点（不与A、B重合），∠ABC的平分线与AC和半圆O分别交于点D、E，与过点A的切线交于点F．
（1）判断△ADF的形状，并说明理由；
（2）若OA=2，AF=3，求AC的值．
20．如图，△ABC中，AB=BC．以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，且使CE=CD，连接AE．
（1）求证：AE为⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为5，sin∠DAC=，求AD的长．
21．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点M，过点D作DN⊥CD交CA延长线于点N．
（1）求证：AN=BC；
（2）若时，求线段AN的长．
22．如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，DH⊥AB于点H，E是的中点，连接AE并延长交BC于点F，交DH，DB于点M，N．
（1）求证：DM=DN；
（2）AD=4，BD=3，求EF的长．
第11天 圆
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、A 2、C 3、B 4、A 5、C 6、A 7、A 8、C 9、C 10、D 11、A 12、B
二．填空题（共5小题）
13、12； 14、80； 15、40°； 16、9；； 17、；；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：连接OC，如图所示：

∵OA=OC，
∴∠OCA=∠A，
∵OE⊥AB，
∴∠A+∠ODA=90°，
∴∠OCA+∠ODA=90°，
∵∠EDC=∠ODA，
∴∠OCA+∠EDC=90°，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE=∠OCF=90°，
∴∠ECD+∠OCA=90°，
∴∠ECD=∠EDC，
∴EC=ED；
（2）解：∵∠OCF=90°，
∴△OCF是直角三角形，
在Rt△OCF中，tanF==，
设OC=3a,CF=4a,
∴OA=OC=3a,
∵OE⊥AB，∠OCF=90°，
∴∠COE+∠COF=90°，∠F+∠COF=90°，
∴∠COE=∠F，
∴tan∠COE=tanF=，
在Rt△OCE中，tan∠COE==，
∴CE=OC=，
由勾股定理得：OE===，
由（1）可知：CE=ED=，
∴OD=OE-CE==，
在Rt△OAD中，AD=，
由勾股定理得：AD===，
∴，
解得：a=，
∴CE===．
19、解：（1）△ADF是等腰三角形，
理由：∵AB是⊙O的直径，AF与⊙O相切于点A，
∴∠C=90°，AF⊥AB，
∴∠BAF=90°，
∴∠F=90°-∠ABF，∠ADF=∠BDC=90°-∠CBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
∴90°-∠ABF=90°-∠CBF，
∴∠F=∠ADF，
∴AD=AF，
∴△ADF是等腰三角形．
（2）∵OA=2，AD=AF=3，
∴AB=2OA=4，AC=3+CD，
∵∠CBD=∠ABF，
∴=tan∠CBD=tan∠ABF==，
∴BC=CD，
∵AC2+BC2=AB2，
∴（3+CD）2+（CD）2=42，
解得CD=或CD=-3（不符合题意，舍去），
∴AC=3+=，
∴AC的值是．
20、（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵AB=BC，
∴∠ACD=∠BAC，
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠BAC，
∴∠ACE=∠ACD，
∵CE=CD，∠ACE=∠ACD，AC=AC，
∴△ACE≌△ACD（SAS），
∴∠AEC=∠ADC=90°，
∴∠OAE=90°-∠AEC=90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴AE为⊙O的切线．
（2）解：连接BF，则∠AFB=90°，
∴∠ABF=90°-∠BAC=90°-∠ACD=∠DAC，
∴=sin∠ABF=sin∠DAC==，
∵⊙O的半径为5，
∴AB=2×5=10，
∴AF=AB=×10=，
∵AB=BC，BF⊥AC，
∴AF=CF，
∴AC=2AF=2，
∴CD=AC=×2=2，
∴AD===6，
∴AD的长为6．
21、（1）证明：∵四边形ACBD是⊙O的圆内接四边形，
∴∠CAD+∠CBD=180°，
∵∠CAD+∠NAD=180°，
∴∠CBD=∠NAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵DN⊥CD，
∴∠CDN=90°，
∴∠AND=∠ACD=∠BCD=45°，
∴△CDN是等腰直角三角形，
∴CD=DN，
∴△BCD≌△AND（AAS），
∴AN=BC；
（2）解：∵=，
∴∠ACD=∠ABD，∠AMC=∠BMD，
∴△ACM∽△DBM，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
由（1）知∠ACD=∠ABD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
22、（1）证明：∵BC为⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠FAB+∠AFB=90°，
∵DH⊥AB，
∴∠AHD=90°=∠ABC，
∴DH∥BC，
∴∠DMF=∠AFB，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠FAD+∠AND=90°，
∵E是的中点，
∴，
∴∠FAD=∠FAB，
∴∠AND=∠AFB，
∴∠AND=∠DMF=∠AFB=∠FNB，
∴DM=DN；
（2）解：连接BE，过点N作NG⊥AB于点G，
∵，
∴∠FAD=∠FAB，
∵NG⊥AB，∠ADB=90°，
∴DN=GN，
∵AD=4，BD=3，
∴AB==5，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知∠AFB=∠FNB，
∴，
∴，
∴NF=AF-AN=，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴．

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