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第15天 统计与概率
易错易混
1．在选择调查方法和调查形式时通常用“调查问卷”；选择收集数据的方法既要做到简便易行，又要确保收集到的数据真实全面．
2．总体、个体、样本分别是指全体、每一个、部分考察对象，其中“考察对象”指的是“表示事物某一特征的数据”，而不是事物本身．样本容量是指样本中个体的数目，注意样本容量没有单位．用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确．
3．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（2）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（3）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（4）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
方法技巧
1．数据的收集
（1）在选择调查方法和调查形式时通常用“调查问卷”；选择收集数据的方法既要做到简便易行，又要确保收集到的数据真实全面．
（2）总体、个体、样本分别是指全体、每一个、部分考察对象，其中“考察对象”指的是“表示事物某一特征的数据”，而不是事物本身（即不是笼统的某人某物，而是某人某物的某项指标）．样本容量是指样本中个体的数目，注意样本容量没有单位．用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确．
2．数据的分析
（1）当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中．
（2）当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：．
其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x′1=x1-a，x′2=x2-a，…，x′n=xn-a．
是新数据的平均数（通常把，，…，叫做原数据，x′1，x′2，…，x′n叫做新数据）．
（3）新数据法
①若一组数据x1，x2，…，xn的平均数是，则
（Ⅰ）数据ax1，ax2，…，axn的平均数为a；
（Ⅱ）数据x1+b，x2+b，…，xn+b的平均数为+b；
（Ⅲ）数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为a+b．
②一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变．即若一组数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差也是．
③一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的倍．即若一组数据，，…，的方差为，则数据，，…，的方差也是．
3．数据的整理
（1）绘制频数分布直方图的一般步骤：
①计算最大值与最小值的差．
②决定组距与组数（一般取5~12组）．
③确定分点，常使分点比数据多一位小数，并且把第-组的起点稍微减小一点；
④列频数分布表．
⑤用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．
（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计越准确．
4．概率
（1）解答事件的类型问题有两个关键：一是回归生活情境，从生活情境中审视事件发生的可能性；二是理解必然事件、不可能事件、随机事件等概念．
（2）概率取值范围：0≤p≤1．其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
（3）事件发生的可能性越大，概率越接近于1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．
（4）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
①列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
②列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
③树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
④当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
（5）从长期实践中，人们观察到，对一般的随机事件，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，我们可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率．
（6）模拟试验只能用更简便方法完成，验证实验目的，但不能改变实验目的．
强化训练
一．选择题（共12小题）
1．某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”“DeepSeek”“豆包”三个主题，若小红随机选择其中一个主题，则她恰好选中“DeepSeek”的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．在一次训练中，甲、乙、丙三人各射击10次的成绩（单位：环）如图，在这三人中，此次射击成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
3．《越战越勇》是中央电视台综艺频道推出的大型益智游戏类综艺节目，由卡通机器人“球宝”出题，嘉宾答题方式进行．该节目中每个小题均随机设置A、B、C、D、E五个不同的答案选项，其中只有一个是正确选项．某次节目中，嘉宾对“球宝”出的2道题均不知道答案，他采用2次都猜B选项，则他至少猜中1次的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．如图是长沙市一中现代舞蹈社团20名成员的年龄分布统计表，数据不小心被撕掉一块，仍能够分析得出关于这20名成员年龄的统计量是（　　）
A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数
5．小明通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（　　）
A．小明定点投篮1次，一定投不中
B．小明定点投篮4次，一定投中1次
C．小明定点投篮1次，不一定能投中
D．小明定点投篮10次，一定投中4次
6．李老师准备选一名同学代表班级参加数学竞赛，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的数学测试成绩统计如表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准选拔，则应选择的同学是（　　）
类别 甲 乙 丙 丁
平均分 95 95 93 92
方差 2 3.2 3.2 2
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（　　）
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是黑桃
C．一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球（除了颜色都相同），从中任摸出一个球是红球
D．掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是5
8．如图，飞镖游戏板由9个全等的小正方形组成，任意向飞镖游戏板投掷飞镖一次，则飞镖击中阴影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．八卦图最早出自伏羲根据燧人氏造设的《河图洛书》所创．如图，八卦各有三爻，“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”分立八方，每一卦由三根线组成．如果从图中任选一卦，那么这一卦中至少有2根“”的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表：
射击次数 100 200 300 400 500 800 1000
“射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 720 900
“射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.90 0.90
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（　　）
A．0.82 B．0.88 C．0.89 D．0.90
11．节约用水，从我做起．小滨把自己家1月份至6月份的用水量绘制成如图所示的折线图．则小滨家这6个月用水量的中位数是（　　）吨．
A．3.5 B．9 C．9.5 D．11
12．小明在九年级上学期参加了四次单元过关，以及期中和期末考试，所有考试的数学成绩如表所示，若根据如图所示的权重计算本学期的总评成绩，则小明在本学期的总评成绩是多少分（　　）
测试类型 单元测试 期中 期末
1 2 3 4
成绩（分） 90 85 86 89 90 88
A．87.25 B．87.5 C．88 D．88.55
二．填空题（共5小题）
13．若数据1，1，3，x,2的平均数是2，则中位数是______．
14．在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球______个．
15．人类的性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体、用XX表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用XY表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等．则一对夫妇的第一个孩子是女孩的概率是 ______．
16．大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1是蜜蜂的蜂巢，结构非常精巧，实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面均为正六边形．如图2是由7个全等的正六边形组成的巢房截面图，一只蜜蜂随机落在如图2所示的某个巢房中，则落在阴影部分所在巢房中的概率为 ______．
17．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E，H在边AB上，点G，F在边CD上，向 ABCD内部投掷飞镖（每次均落在 ABCD内，且落在 ABCD内任何一点的机会均等），飞镖恰好落在阴影区域的概率为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．甲、乙两名教师积极参加某社区的志愿服务活动．根据社区工作的实际需要，志愿者被随机分配到环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队．
（1）甲被分配到环保志愿服务队的概率为 ______；
（2）请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率．
19．一个袋中装有6个红球，18个白球，这些球除颜色外都相同，混合均匀后：
（1）从袋中任意取出一个球，取出红球的概率为多少？
（2）如果往袋中放入若干个红球（形状大小与袋中球完全一样），再取出相同数量的白球，从中任意摸出一个球，使摸出红球的概率是摸出白球的两倍，求放入了多少个红球？
20．篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试，如表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据：
投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500
命中的次数 7 40 81 163 249 326 z
命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83
（1）填空：x=______，y=______，z=______；
（2）测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是______（精确到0.1）；
（3）根据估计的概率，该运动员投篮150次，请通过计算估计他命中的次数．
21．随着通信技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种，用A，B，C，D表示四种不同的沟通方式），在全校范围内随机抽查了部分学生，将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）在扇形统计图中，表示D的扇形对应的圆心角的度数为______，并将条形统计图补充完整．
（2）该校共有1500名学生，请估计该校最喜欢用C种方式进行沟通的学生有多少名．
（3）某天甲、乙两名学生都想从A，C，D三种沟通方式中随机选一种方式与对方联系．请用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名学生恰好选中同一种沟通方式的概率．
22．为了解同学们一段时间以来仰卧起坐的训练情况，老师在班上各选取10位男生和10位女生，进行1分钟仰卧起坐对抗赛．负责统计的同学在女生最后一位选手没比完之前，完成如下不完整的统计表和折线统计图．
选手 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
男生（次） 34 36 37 38 35 31 39 33 39 38
女生（次） 34 37 36 35 34 35 39 39 37
根据所给信息回答下面的问题：
（1）若10位男生和女生成绩的平均数相同．
①将折线统计图补充完整，并根据折线统计图判断男生还是女生的成绩比较稳定；
②求出女生选手成绩的众数；
（2）若男女生选手成绩的中位数相等，求出女生最后一位选手成绩的最小值．
第15天 统计与概率
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、B 3、C 4、C 5、C 6、A 7、D 8、C 9、B 10、D 11、C 12、D
二．填空题（共5小题）
13、2； 14、12； 15、； 16、； 17、；
三．解答题（共5小题）
18、解：（1）甲被分配到环保志愿服务队的概率为：，
故答案为：；
（2）用A，B，C，D表示环保志愿服务队、治安志愿服务队、敬老扶弱志愿服务队、科普宣传志愿服务队，画树状图如下：
共有16种等可能出现的结果，其中甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的结果有4种，
则甲、乙两名教师被分配到同一支志愿服务队的概率是．
19、解：（1）由题意知，共有24种等可能的结果，其中取出红球的结果有6种，
∴取出红球的概率为．
（2）设放入了x个红球，则取出了x个白球，
∴此时袋中的红球有（6+x）个，白球有（18-x）个，球的总数为24个．
∵从中任意摸出一个球，使摸出红球的概率是摸出白球的两倍，
∴，
解得x=10，
∴放入了10个红球．
20、解：（1）x=81÷0.81=100，y=249÷300=0.83，z=500×0.83=415，
故答案为：100，0.83，415；
（2）该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是0.8，
故答案为：0.8；
（3）150×0.8=120（次），
答：通过计算估计他命中的次数为120次．
21、解5．（1）抽查人数：20÷20%=100（名），
表示D的扇形对应的圆心角的度数为360×=108°，
最喜欢用B种方式进行沟通的人数为100×5%=5，
最喜欢用C种方式进行沟通的人数为100-20-5-30-5=40，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：108°；
（2）（名），
答：估计该校最喜欢用C种方式进行沟通的学生有600名；
（3）画如下树状图如图所示：
由树状图可知，所有可能的结果共有9种，这些结果出现的可能性相等，其中甲、乙两名学生恰好选中同一种沟通方式的结果有3种，
∴．
22、解：（1）①10位男生成绩的平均数为（次），
设女生最后一位选手的成绩为x次，
∴，
∴x=34．
根据折线统计图可得，女生的成绩比较稳定．
②由统计表可知，女生选手成绩的众数为34次．
（2）将男生的成绩从小到大顺序排列，中位数为第5位和第6位的平均数，
∴男生选手成绩的中位数为（次），
将女生的成绩从小到大顺序排列，中位数为第5位和第6位的平均数，
设女生最后一位选手的成绩为y次，
若y≤35，则女生选手成绩的中位数为（次），不符合题意；
若y=36，则女生选手成绩的中位数为（次），不符合题意；
若y≥37，则女生选手成绩的中位数为（次），符合题意；
∴y的范围为y≥37，即y的最小值为37．

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