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2024-2025 学年上海市杨浦区控江中学高一（下）4 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合 ， 的关系如图所示，则 ∈ 是 ∈ 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.如果 < < 0，那么下列不等式中成立的是( )
A. 2 < 2 B. < C. | | > | | D. 1 1 <
3 | |, > 0,.已知 ( ) = + 1, ≤ 0.存在实数 < < ，满足 ( ) = ( ) = ( )，则 的取值范围为( )
A. ( 1,0) B. ( 1,0] C. [0,1) D. (0,1)
4.已知函数 = ( )与 = ( )满足：对任意 1， 2 ∈ ，都有| ( 1) ( 2)| ≥ | ( 1) ( 2)|．
命题 ：若 = ( )是增函数，则 = ( ) ( )不是减函数；
命题 ：若 = ( )有最大值和最小值，则 = ( )也有最大值和最小值．
则下列判断正确的是( )
A. 和 都是真命题 B. 和 都是假命题
C. 是真命题， 是假命题 D. 是假命题， 是真命题
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

5.已知全集 = ，若集合 = { | 9 ≥ 0}，则 = ______．
6.已知 ， ∈ ，若 = 1，则 2 + 2的最小值是______，
7.函数 = cos( 2

4 )的最小正周期为______．
8.已知角 的终边经过点 ( 15,8)，则 = ______．
9.设常数 ∈ (0, )，若函数 = sin(2 + ) 3 的图像关于点( 4 , 0)对称，则 = ______．
10.已知常数 > 0 且 ≠ 1，如果无论 取何值，函数 = 2 的图像恒过定点 ，则 的坐标是______．
11.已知log189 = ，18 = 5，若用 、 表示log1815，则log1815 = ______．
12.若 sin( 3 ) =
14
4 ，则 cos( + 6 ) = ______．
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13.设常数 ∈ ，已知关于 的一元二次方程 2 + 2( 1) + 2 = 0 的两个实根分别为 、 ，若 2 +
2 = 12，则 = ______．
14.已知常数 > 0 且 ≠ 1，若函数 = 1 + log 的定义域和值域都是[1,2]，则 = ______．
15.现有一圆形纸片，在纸片上剪出一个三角形，其三个顶点在圆上.已知三角形的一边长 4 ，另一边长 3
且第三条边上的中线长 3 ，则圆形纸片的半径长为______ . (结果精确到 0.1)
+1
16.已知常数 ∈ ，设 ( ) = 2 , ≤ 1, , > 1.若对任意 ∈ ( , + ∞)，在 中满足 ( ( )) = 的 值有且只有一2
个，则 的最小值为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
∈ 1 设常数 ，已知集合 = { | +1 ≥ 0}，集合 = { |( )
2 < 4}．
(1)求集合 ；
(2)若 ∪ = ，求 的取值范围．
18.(本小题 14 分)
为打赢打好脱贫攻坚战，某地加大旅游业投入，准备将扇形空地 分隔成三部分建成花卉观赏区，如图
所示.已知扇形的半径长为 100 米，∠ 是钝角，点 在弧 上，点 在半径 上，且 ⊥ ，设∠ = ，
△ 的周长为 米．
(1)当 = arccos 14，求 的长(单位：米)；
(2)求 的最大值及 取到最大值时 的值．
19.(本小题 14 分)
( ) =
2 + 2 , < 0,
已知
2 + 2 , ≥ 0.
(1)已知 是正整数，求 ( ) + ( )的值；
(2)已知常数 ∈ ( 2, + ∞)，是否存在 ，使函数 = ( )在区间[ 1,1 + ]上是严格增函数？若存在，求
出 的取值范围；若不存在，说明理由．
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20.(本小题 14 分)

已知 ( ) = sin(2 6 )．
(1)求解关于 的方程 ( ) = 1；
(2) 求函数 = ( )， ∈ [ 12 , 3 ]的值域；
(3) 已知常数 ∈ ，设 ( ) = cos(4 3 ) 4 ( ) = ( ) [

，若函数 在区间 12 ,
3
3 ]上的最小值是 2，求
的值．
21.(本小题 14 分)
对于定义在 上的函数 = ( )，若存在 ∈ ，使满足 < < + 1 的整数 存在且 ( ) = ( )，则称函
数 = ( )是“ 函数”．
(1)两个函数 = 1， = 是否是“ 函数”？为什么？
(2)求证：函数 = sin(4 )是“ 函数”；
(3)已知常数 ∈ (0,2)，若函数 = ( 2 )是“ 函数”，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.{ | < 9}
6.2
7.4
8. 1517
9. 2
10.(0, 1)
11. +2 2
12. 144
13. 1
14.2
15.2.1
16.4
17.(1) 1 ≥ 0 (1 )( + 1) ≥ 0由 +1 等价于 + 1 ≠ 0 ，解得 1 < ≤ 1，
所以 = { | 1 < ≤ 1}；
(2)由( )2 < 4，即 2 < < 2，解得 2 < < + 2，
所以 = { |( )2 < 4} = { | 2 < < + 2}，
因为 ∪ = ，所以 ，
+ 2 > 1
所以 2 ≤ 1，解得 1 < ≤ 1，即 的取值范围( 1,1]．
18.(1) = 100 ∠ = = arccos 1依题意 ， 且 4，
所以 cos∠ = 1 14，又 ⊥ ，所以 cos∠ = = 4，所以 = 25，
则 = 2 2 = 25 15(米)．
(2)因为∠ = ， = 100， ⊥ ，△ 的周长为 米，
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所以 = 100 ， = 100 ，
所以 = 100 + 100 + 100
= 100 + 100 2sin( + 4 )，
又 0 < < + = 2，所以当 4 2即 = 4时 取得最大值，且 = 100 + 100 2(米)．
19.(1)当 ≤ 0 时， ≥ 0，
则 ( ) = ( )2 2 = 2 2 = ( )，
当 > 0 时， < 0，
则 ( ) = ( )2 2 = 2 2 = ( )，
故 ( )为奇函数，则 ( ) + ( ) = 0；
(2)存在， ∈ ( 2,0]，理由如下：
当 < 0 时， ( ) = 2 + 2 = ( + 1)2 1，对称轴为 = 1，
故 ( )在 ∈ [ 1,0)上单调递增，
又 ( )为奇函数，且 (0) = 0，
故 ( )在 ∈ [ 1,1]上单调递增，
又 ( )在[ 1,1 + ]上是严格增函数，
故 1 + ≤ 1，解得 ≤ 0，又 ∈ ( 2, + ∞)，
所以 ∈ ( 2,0]．
20.(1)由 sin(2 6 ) = 1，得 2

6 =

2 + 2 ， ∈ ，

解得 = 6 + ， ∈ ；
(2) ∈ [ 12 , 3 ]时，2 6 ∈ [0, 2 ]，

所以 0 ≤ sin(2 6 ) ≤ sin 2，即 sin(2 6 )的值域为[0,1]；

(3) ( ) = cos(4 3 ) 4 ( ) = cos(4 3 ) 4 (2 6 )
= 2(2 6 ) 4 (2

6 ) = 2
2(2 6 ) 1 4 (2

6 )，

令 sin(2 6 ) = ，由(2)知， ∈ [0,1]，
则 = 2 2 4 1 = 2( )2 2 2 1，对称轴为 = ，
当 ≤ 0 时， = 2( )2 2 2 1 在 ∈ [0,1]上单调递增，
故当 = 0 时， = 2( )2 2 2 1 取得最小值，最小值为 1，不满足条件；
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当 0 < < 1 时， = 2( )2 2 2 1 在 = 取得最小值，
最小值为 2 2 1，令 2 2 1 = 3 12，解得 = 2 (舍去负值)；
当 ≥ 1 时， = 2( )2 2 2 1 在 ∈ [0,1]上单调递减，
所以当 = 1 时， = 2( )2 2 2 1 取得最小值，最小值为 = 1 4 ，
令 1 4 = 3 52，解得 = 8，但与 ≥ 1 矛盾，舍去；
综上， = 12．
21.(1)函数 = 1 是“ 函数”，函数 = 不是“ 函数”，理由如下：
= 1 为常数函数，定义域为 ，
设 = 1， = 1.5，显然 1.5 ∈ ，满足 1 < 1.5 < 2，且 (1) = (1.5) = 1，
因此 = 1 是“ 函数”，
函数 ( ) = 的定义域为 ，且该函数严格单调递增，
当 < < + 1 时， ( ) < ( ) < ( + 1)，因此函数 = 不是“ 函数”；
(2)证明：函数 = sin(4 )的定义域为 ，
令 = 0， = 4，满足 0 < 4 < 1，
(0) = 0 = 0, ( ) = sin(4 × ) = 0 (0) = ( 且 4 4 ，因此 4 )，
因此 = sin(4 )是“ 函数”
(3) = ( 2 )定义域为 ，对称轴为 = ∈ (0,2)，
满足 < < + 1 的整数 存在且 ( ) = ( )，
因此函数 = ( 2 )在( , )上不单调，那么 < < < + 1 + ，且 2 = ，
由于(0,2)与( , + 1)交集不能为空集，因此 + 1 > 0 且 < 2，即 1 < < 2，
由于 为整数，因此 = 0 或 = 1，
如果 = 0 0 < < < 1 ，那么 ，根据2 = 得 = 2 ，
1
因此 0 < < 2 < 1，解得 0 < < 2，
若 = 1 1+ ，那么 1 < < < 2，根据 2 = ，得 = 2 1，
因此 0 < < 2 1 < 1，解集为 ．
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1
综上， ∈ (0, 2 ).
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