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2024-2025 学年辽宁省沈阳 120 中高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { ∈ | 2 2 > 0}，则 =( )
A. { 1,0,1,2} B. {0,1,2} C. {1,2} D. { 1,0}
2.已知 ， ， ∈ ，则下列不等式中一定成立的是( )
A.若 > ，则| | > | | B.若 > > > 0 ，则 + > +
C. 1 1若 < < 0，则 < D.若 > ，则
2( ) > 0
3.已知命题“ ∈ ， 2 + + 1 ≤ 0”为假命题，则实数 的取值范围是( )
A. (0,2) B. ( 2,2) C. [ 2,0] D. [ 2,2]
4.设 ∈ ，则“ < 0”是“ < 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知变量 ， 之间的线性回归方程为 = 0.7 + 10.3，且变量 ， 之间的一组相关数据如表所示，则下
列说法错误的是( )
6 8 10 12
6 3 2

A.变量 ， 之间呈负相关关系 B.可以预测，当 = 20 时， = 3.7
C. = 4.7 D.该回归直线必过点(9,4)
6.已知函数 ( ) = | 2 4 + 3|在[ , ]上的值域为[0,1]，则 的取值范围是( )
A. [1,2] B. [ 2 1,2] C. [1,2 2] D. [ 2 1,2 2]
7.在等比数列{ }中， 3， 7是函数 ( ) =
1
3
3 + 4 2 + 9 1 的极值点，则 5 =( )
A. 4 B. 3 C. 4 D. 9
8 = 1 , = 2 (sin 1.设 5 10 + cos
1 6 6
10 ), = 5 ln 5，则 ， ， 的大小关系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列说法正确的是( )
A.若 ( )的定义域为[ 2,2]，则 (2 1) 1 3的定义域为[ 2 , 2 ]
2
B. ( ) = 和 ( ) = 表示同一个函数
C.函数 = 2 + 1 17的值域为( ∞, 8 ]
D.函数 ( )满足 ( ) 2 ( ) = 2 1，则 ( ) = 23 + 1
10.下列说法正确的是( )
A. 1函数 ( ) = 2 + 2 + 的最小值为 2
2+2
B.已知正实数 ， 满足 + = 2，则 + 1 + + 2的最大值为 10
1
C.已知正实数 ， 满足 + = 1，则2 + 2 的最小值为 8
D.设 ， 为实数，若 9 2 + 2 + = 1，则 3 + 2 21的最大值为 7
2 , 为奇数
11.已知数列{ }满足 1 = 1， +1 =

，则下列说法正确的是( )
+ 2 +1, 为偶数
A. 3 = 7 B. 2022 = 2
C. 2023 = 22023 D. 3 2 +32 +1 = 2 6 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 为等差数列{ }的前 项和， 2 = 2， 4 = 14，则 = ______．
2 + 2 + 2, ≤ 0
13.设函数 ( ) = ，若 ( ( )) = 2，则 = ．
2, > 0
14.若在曲线 = 1( 为自然对数的底数)存在点 ，使其关于 轴的对称点 ′在曲线 = + 上，
则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2 ．
(1)求 ( )的图象在点(0, (0))处的切线方程；
(2)若 ( ) = ′( )( ′( )为函数 ( )的导函数)，求 ( )在区间[0,1]上的最大值和最小值．
16.(本小题 15 分)
已知等差数列{ }满足 ， 2 +1是关于 的方程 4 + = 0 的两个根．
(Ⅰ)求 1；
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(Ⅱ)求数列{ }的通项公式；
(Ⅲ)设 = ( 1)
4
，求数列{ }的前 2 项和 ． 2
17.(本小题 15 分)
已知数列{ }满足 = 2， = 2 + 3 2 +1 1 +1 ．
(1) 证明：数列{ 2 }为等差数列；
(2)设 =
( +1)
3 2 ，记数列{ }的前 项和为 ．
( )求 ；
( )若 ∈ ， < 3 +1成立，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
在一个温馨的周末，甲同学一家人齐聚在宽敞明亮的客厅里进行掷游戏币活动，假设每次掷游戏币出现正
∈ [ 1 2面的概率为 ，且 3 , 3 ]，每次掷游戏币的结果相互独立．
(1) 1当 = 2时，若甲连续投掷了两次，求至少出现一次正面向上的概率；
(2)若规定每轮游戏只要连续不断的出现三次正面向上，则游戏结束，每轮最多连续投掷 6 次．
①甲在一轮游戏中恰好投掷了 5 次游戏结束的概率为 ( )，求 ( )的表达式；
②设甲在一轮游戏中投掷次数为 ，求 ( )的最大值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 1， ∈ ．
(1)讨论函数 ( )的单调区间；
(2)若曲线 ( )在 = 2 处的切线垂直于直线 = 2 ，对任意 ∈ (0, + ∞)， ( ) + 2 ≤ 0 恒成立，求实
数 的最大值；
(3)若 2 0为函数 ( ) = [ ( ) + 2]的极值点，求证：2 0 < 0 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3 4
13. 2
14.[ 1 2 , + ∞)
15.解：(1) ( ) = 2 ，则 ′( ) = 2 ，
(0) = 1， ′(0) = 1，
所以 ( )的图象在点(0, (0))处的切线方程为 ( 1) = 1 × ( 0)，
即 + + 1 = 0．
(2) ( ) = ′( ) = 2 ， ∈ [0,1]，
则 ′( ) = 2 ，
当 ∈ [0, 2]时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ ( 2,1]时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( )的最大值为 ( 2) = 2 2 2，
又 (0) = 1， (1) = 2 > 1，
所以 ( )的最小值为 1．
16.解：(Ⅰ)已知等差数列{ }满足 ， +1是关于 的方程 2 4 + = 0 的两个根．
则 + +1 = 4 ，
则 1 + 2 = 4， 2 + 3 = 8，
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设等差数列{ }的公差为 ，
则 2 = 4，
即 = 2，
则 2 1 + = 4，
即 1 = 1；
(Ⅱ)由(1)得： = 1 + 2( 1) = 2 1，
则 = +1 = (2 1)(2 + 1) = 4 2 1，
即 = 4 2 1；
(Ⅲ)由(2)可得： = ( 1)
4
= ( 1)
4 1 1
4 2 1
= ( 1) ( 2 1 + 2 +1 )，
1 1 1 1 1 1 1 1 4 则 2 = (1 + 3 ) + ( 3 + 5 ) ( 5 + 7 ) + . . . + ( 4 1 + 4 +1 ) = 1 + 4 +1 = 4 +1．
17. (1) 解： 证明：因为 +1 +1 = 2 + 3 2 ，即 +1 2 +1 2 = 3，

所以数列{ 2 }是以 1 为首项，3 为公差的等差数列．
(2)( ) (1) 由 知 2 = 1 + ( 1) 3 = 3 2，
= (3 2) 2 = ( +1) 所以 ， 3 2 = ( + 1) 2 ，
所以 = 2 21 + 3 22 + 4 23 + + 2 1 + ( + 1) 2 ，
2 = 2 22 + 3 23 + 4 24 + + 2 + ( + 1) 2 +1，
所以 = 2 21 + 22 + 23 + + 2 ( + 1) 2 +1
= 21 + 22 + 23 + + 2 ( + 1) 2 +1 + 2

= 2(1 2 )1 2 ( + 1) 2
+1 + 2 = 2 + 2 +1 ( + 1) 2 +1 + 2 = 2 +1，
所以 = 2 +1 ．
( )因为 ∈ , < 3 +1，即 (
2 ) +13 < ，
令 = (
2
3 )
+1，
( 2 ) +1 ≥ ( 1) ( 2 ) 2 ≥ 1
所以 3 3 ，即 3 ，
( 2 ) +1 ≥ ( + 1) ( 2 ) +2 ≥ 2( +1)3 3 3
解得 2 ≤ ≤ 3，
所以{ } 16 的最大值为 2 = 3 = 27，
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所以 > 16 1627，即 的取值范围是( 27 , + ∞)．

18.解：(1)设事件 表示第 次正面向上，其中 = 1，2，3，4，5，6，且 ( ) = ， ( ) = 1 ，
设事件 ：“至少出现一次正面向上”，

则 ( ) = 1 ( 1 2 31 2) = 1 ( 2 ) = 4；
(2)①设事件 ：“恰好投掷了 5 次游戏结束”，

则 = 1 2 3 4 5 + 1 2 3 4 5，

故 ( ) = ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) + ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) = (1 ) 4 + (1 )2 3 = (1
) 3，
所以 ( ) = (1 ) 3；
②由题意知 = 3，4，5，6，

( = 3) = ( 1 2 33) = ， ( = 4) = ( 1 32 3 4) = (1 ) ，
( = 5) = (1 ) 3，
( = 6) = 1 ( = 3) ( = 4) ( = 5) = 1 3(3 2 )，
则 ( ) = 3 3 + 4(1 ) 3 + 5(1 ) 3 + 6[1 3(3 2 )] = 3 4 6 3 + 6，
令 ( ) = 3 4 6 3 + 6，
则 ′( ) = 6 2(2 3)，
当 ∈ [ 13 ,
2
3 ]时， ′( ) < 0
1 2 1 157
，即 ( )在[ 3 , 3 ]上单调递减，故 ( ) ≤ ( 3 ) = 27，
157
因此， ( )的最大值为 27．
19.解：(1) ( ) = + 1，定义域为(0, + ∞)，
所以 ′( ) = 1 1 = ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，故 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 > 0 1时，由 ′( ) > 0，得 0 < < ；由 ′( ) < 0
1
，得 > ，
( ) (0, 1故 在 )
1
上单调递增，在( , + ∞)上单调递减，
综上，当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 > 0 时， ( )在(0, 1 )
1
上单调递增，在( , + ∞)上单调递减．
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(2)因为 ′( ) = 1 ，曲线 ( )在 = 2 处的切线垂直于直线 = 2 ，
( ) 1则 在 = 2 处的切线的斜率为 2，
(2) = 1 1即 ′ 2 = 2，解得 = 1，则 ( ) = + 1．
对任意 ∈ (0, + ∞)， ( ) + 2 ≤ 0 恒成立，即对任意 ∈ (0, + ∞)， + 1 ≤ 0，
即对任意 ∈ (0, + ∞), ≤ 1 + + 1 恒成立，
( ) = 1令 + + 1, ∈ (0, + ∞)，∴ ′( ) =
2
2 ，令 ′( ) = 0，得 =
2，
当 ∈ (0, 2)时， ′( ) < 0， ( )为减函数；
当 ∈ ( 2, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )为增函数，
( ) 2 1 1 1所以 = ( ) = 1 2，∴ ≤ 1 2，则实数 的最大值 1 2．
(3)证明：函数 ( ) = [ ( ) + 2] = 2 2 ( ∈ )， ′( ) = 2 2 + 1，
因为 0为函数 ( )的极值点，所以 2 0 2 0 + 1 = 0，所以 2 0 + 1 = 2 0，
要证明不等式 0 > 1 + 2 20成立，只需证 0 > 0 + 1 + 2 0 0，
令 ( ) = + 1, ( ) = 1 ′ ，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；当 > 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( ) ≤ (1) = 0，即 ≤ 1，所以 1 ≥ ， ≥ + 1，
当 0 < 0 < 1 时，因为 0 ≥ 0 + 1,2 0 0 < 0，所以 0 > 0 + 1 + 2 0 0．
当 0 ≥ 1 时，因为 ≤ 1，所以 0 0 ≤ 0( 0 1)，所以 2 0 0 ≤ 2 0( 0 1)，
要证 0 > 0 + 1 + 2 0 0成立，只需证 0 > 0 + 1 + 2 0( 0 1) = 2 20 0 + 1，
2 2 +1
即证 0 0 0 < 1 对 0 ≥ 1 成立．
2 2
( ) = 2 +1 ( ≥ 1) ( ) = 2 +5 2 = ( 2)(2 1)令 ，则 ′ ，
当 1 < < 2 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；当 > 2 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
7
所以 ( ) ≤ (2) = 2 < 1，即

0 ≥ 1 时， 0 > 0 + 1 + 2 0 0成立．
综上所述，原不等式成立．
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